第一章勾股定理單元測試（能力提升）(備作業(yè))2021-2022學年八年級數(shù)學上冊（北師大版）

第一章勾股定理單元測試（能力提升）一、單選題1．下列各組數(shù)中，不能作直角三角形三邊長的是（）．A．3、4、5 B．5、12、13 C．7、24、25 D．7、9、13【答案】D【解析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．解：選項A：∵32+42=52，∴能構成直角三角形三邊，故選項A不符合題意；選項B：∵52+122=132，∴能構成直角三角形三邊，故選項B不符合題意；選項C：∵72+242=252，∴能構成直角三角形三邊，故選項C不符合題意；選項D：∵72+92=49+81=130≠132，∴不能構成直角三角形三邊，故選項D符合題意；故選：D【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．2．如圖，在中，D，E分別是邊BC，AC的中點，已知，，，則AB的長為（）．A． B． C．10 D．【答案】A【解析】設，，在和中，利用勾股定理可證得，在Rt△ABC中，利用即可求解．設，，在中，，①在中，，②①＋②，，∴，在Rt△ABC中，，故選A．【點睛】本題考查了勾股定理，借助中點的定義，靈活運用勾股定理是解答的關鍵．3．如圖正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為()A． B．5 C． D．【答案】D【解析】把此正方體的點所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點和點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于2，另一條直角邊長等于3，利用勾股定理可求得．解：如圖示，將正方體展開，連接、，根據(jù)兩點之間線段最短，．答：螞蟻從點爬行到點的最短距離為．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的拓展應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．4．如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積之和為7，2號、3號兩個正方形的面積之和為4，則a、b、c三個正方形的面積之和為（）A．11 B．15 C．10 D．22【答案】B【解析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面積公式不難發(fā)現(xiàn)：a的面積等于1號的面積加上2號的面積，b的面積等于2號的面積加上3號的面積，c的面積等于3號的面積加上4號的面積，據(jù)此可以求出三個的面積之和.利用勾股定理可得：，，∴故選B【點睛】本題主要考查勾股定理的應用，熟練掌握相關性質(zhì)定理是解題關鍵.5．如圖1是由個全等的邊長為的正方形拼成的圖形，現(xiàn)有兩種不同的方式將它沿著虛線剪開，甲將它分成三塊，乙將它分成四塊，各自要拼一個面積是的大正方形，則（）A．甲、乙都可以 B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都不可以【答案】A【解析】直接利用圖形的剪拼方法結(jié)合正方形的性質(zhì)分別分析得出答案．解：如圖所示：可得甲、乙都可以拼一個面積是5的大正方形．故選：．【點睛】此題主要考查了圖形的剪拼以及正方形的性質(zhì)，正確應用正方形的性質(zhì)是解題關鍵．6．下列命題①如果a，b，c為一組勾股數(shù)，那么4a，4b，4c仍是勾股數(shù)；②如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，那么這個三角形是直角三角形；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【解析】分別利用勾股數(shù)的定義、勾股定理以及等腰直角三角形的邊的關系分別判斷得出即可．解：①如果a，b，c為一組勾股數(shù)，那么4a，4b，4c仍是勾股數(shù)，是真命題；②如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，則這三角形的三個內(nèi)角度數(shù)為：45°，60°,75°，因此這個三角形不是直角三角形，原命題是假命題；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，因為，故此三角形不是直角三角形，故原命題是假命題；④一個等腰直角三角形的三邊是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，是真命題；故選：C．【點睛】此題主要考查了命題與定理，熟練掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關鍵．7．如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于點，．若，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接DE，證明DE=DC=5，推出AB=10，AD=6，進而求出的面積即可得出結(jié)果．如圖，連接，作于F點，是邊上的高線，在中，根據(jù)“斜中半”定理可知，，，，為等腰三角形，且由勾股定理知：，，，是邊上的中線，，，得，，，在中，由“三線合一”性質(zhì)，知G為CE的中點，，故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積等知識點，解決問題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．8．2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓涵和學校國旗護衛(wèi)隊的其他同學們趕到學校舉行了簡樸而降重的升旗儀式．傾聽著雄壯的國歌聲，目送著五星紅旗級緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生．愛動腦筋的王梓涵設計了一個方案來測量學校旗桿的高度．將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5m處，測得此時繩子末端距離地面高度為1m，最后根據(jù)剛剛學習的勾股定理就能算出旗桿的高度為（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】根據(jù)題意畫出示意圖，設旗桿高度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．設旗桿高度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方＝x2+22，右圖，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方＝（x﹣1）2+52，∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故選：B．【點睛】此題考查勾股定理，題中有兩種拉繩子的方式，故可以構建兩個直角三角形，形狀不同大小不同但都是直角三角形且繩子的長度是不變的，因此根據(jù)繩子建立勾股定理的等式，由此解答問題.9．如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為，則BD的長為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)SAS證明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根據(jù)三角形的面積公式求出AD，根據(jù)勾股定理求出BD即可．解：由折疊得，，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，∴△BAF≌△EAF(SAS)∴BF=EF∴AF⊥BE又∵AF＝4，AB＝5，∴在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，設DE邊上的高線長為h，∴即∵，∴∴∴∴在Rt△BDF中，，，∴故選：A【點睛】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．10．如圖，在中，點D是邊上的中點，連接，將沿著翻折，得到，與交于點F，連接．若，則點C到的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接BE，延長CD交BE于G點，過C作CH⊥AB于H，由折疊的性質(zhì)及中點性質(zhì)，可得△AEB是直角三角形，且G點是BE的中點，從而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的長，則根據(jù)△ABC的面積相等一方面可表示為，另一方面其面積為△BCD與△ACD面積的和，從而可求得CH的長．連接BE，延長CD交BE于G點，過C作CH⊥AB于H，如圖所示由折疊的性質(zhì)，得：BD=ED，CB=CE∴CG是線段BE的垂直平分線∴BG=BE∵D點是AB的中點∴BD=AD，∴AD=ED∴∠DAE=∠DEA∵BD=ED∴∠DEB=∠DBE∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠AEB=90°在Rt△AEB中，由勾股定理得：∴∵∴∴故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形的判定、勾股定理、線段垂直平分線的判定，利用面積相等求線段的長，關鍵是得出CG⊥BE，從而可求得△BCD的面積也即△ABC的面積．二、填空題11．如圖,已知OA=AB,數(shù)軸上點C表示的實數(shù)是_____________，點E表示的實數(shù)是____________.【答案】【解析】利用勾股定理求出OB，即可得到點C表示的實數(shù)；利用勾股定理求出OD可得到點E表示的實數(shù).解：由題意得：，∴，即點C表示的實數(shù)是，∴，∴，即點E表示的實數(shù)是，故答案為：，.【點睛】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，熟練應用勾股定理是解題關鍵.12．如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，BC=6,一個邊長為2的正方形DEFH沿邊CA方向向下平移，平移開始時點F與點C重合，當正方形DEFH的平移距離為__________時，有DC2=AE2+BC2成立，【答案】【解析】連接CD，設平移的距離為x,則CF=x,根據(jù)勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,由∠A=30°，∠B=90°，BC=6,得到AC=12，AE=122x=10x,再根據(jù)DC2=AE2+BC2列出方程即可求解.連接CD，設平移的距離為x,則CF=x,根據(jù)勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,∵∠A=30°，∠B=90°，BC=6,∴AC=12，AE=122x=10x,∴AE2+BC2=（10x）2+62，∵DC2=AE2+BC2∴22+(x+2)2=（10x）2+62，解得x=故填.【點睛】此題主要考查勾股定理的應用，解題的關鍵是構造直角三角形，利用勾股定理進行求解.13．若直角三角形的三邊分別為a、a＋b、a＋2b，則的值為___【答案】3或－5【解析】若b是正數(shù)，則a、a＋b、a＋2b中a+2b最大，即a+2b是斜邊，由勾股定理可得(a+2b)2＝a2＋(a+b)2，化簡得a2－2ab－3b2＝0，所以(a+b)(a3b)＝0，又a+b是一條直角邊，因此a+b>0，所以a＝3b>0，即=3；若b是負數(shù)，則a、a＋b、a＋2b中a最大，即a是斜邊，由勾股定理可得a2＝(a+b)2＋(a+2b)2，化簡得a2＋6ab＋5b2＝0，即(a+b)(a＋5b)＝0，同上a+b>0，所以a＝5b，即=5.所以的值為3或－5.點睛：本題考查了勾股定理的應用，正確分類討論是解決本題的關鍵.14．如圖，在中于點D，點P是線段AD上一個動點，過點P作于點E，連接PB，則的最小值為________.【答案】【解析】根據(jù)題意點B與點C關于AD對稱，所以過點C作AB的垂線，與AD的交點即點P，求出CE即可得到答案∵∴點B與點C關于AD對稱過點C作CE⊥AB于一點即為點P，此時最小∵∴BD=2在Rt△ABC中，∵S△ABC=∴得故此題填【點睛】此題考察最短路徑，根據(jù)題意找到對稱點，作直角三角形，利用勾股定理解決問題15．如圖，滑竿在機械槽內(nèi)運動，∠ACB為直角，已知滑竿AB長2.5米，頂點A在AC上滑動，量得滑竿下端B距C點的距離為1.5米，當端點B向右移動0.5米時，滑竿頂端A下滑________米．【答案】0.5【解析】結(jié)合題意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC===2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE===1.5（米），∴AE=ACEC=0.5（米）．故答案為0.5.點睛：本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵．16．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，則AB=_____.【答案】21【解析】在AB上截取AE=AD，連接CE，過點C作CF⊥AB于點F，先證明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的長度，再設EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根據(jù)AB=AE+EF+FB求得AB的長度．如圖所示，在AB上截取AE=AD，連接CE，過點C作CF⊥AB于點F，∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠EAC．

在△AEC和△ADC中，

∴△ADC≌△AEC（SAS），

∴AE=AD=9，CE=CD=BC=10，

又∵CF⊥AB，∴EF=BF，

設EF=BF=x．

∵在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2BF2=102x2，

∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，∴CF2=AC2AF2=172（9+x）2，即102x2=172（9+x）2，

∴x=6，

∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，

∴AB的長為21．故答案是：21.【點睛】考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和一元二次方程等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，再運用用方程的思想解決問題．17．定義：如圖，點、點把線段分割成和，若以為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點、點是線段的勾股分割點．已知點點是線段的勾股分割點，，則_____．【答案】或【解析】①當MN為最長線段時，由勾股定理求出BN；②當BN為最長線段時，由勾股定理求出BN即可．解：當為最長線段時，點是線段的勾股分割點，；當為最長線段時，點是線段的勾股分割點，．綜上所述：或．故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理，關鍵是熟悉勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方，注意分類思想的應用．18．如圖，在一次測繪活動中，在港口A的位置觀測停放于B、C兩處的小船，測得船B在港口A北偏東75°方向12海里處，船C在港口A南偏東15°方向9海里處，則船B與船C之間的距離為__________海里．【答案】【解析】根據(jù)題目中的已知角度，求出，再利用勾股定理列方程計算．由題意知，，在中，，，則，解得：故答案為：15【點睛】本題考查了勾股定理的應用，突破口在于找到直接三角形．19．如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和4cm，高為6cm．如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達點B，那么所用細線最短需要_______________cm．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）【答案】2【解析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開，然后利用兩點之間線段最短結(jié)合勾股定理解答．解：將長方體展開，連接A、B．從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達點B，相當于兩條直角邊分別是10n和6，根據(jù)兩點之間線段最短，則AB＝=2cm．故填：2.【點睛】本題主要考查平面展開?最短路徑問題，解題的關鍵是得到兩條直角邊分別是10n和6，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理進行解答．20．如圖，已知，過作，且；再過作且；又過作且；又過作且；……，按照這種方法依次作下去得到一組直角三角形，，，，……，它們的面積分別為，，，，……，那么______．【答案】．【解析】利用勾股定理解直角三角形，然后利用三角形面積公式計算三角形面積，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．解：由題意可得在中，∴同理可得：…∴故答案為：【點睛】本題考查勾股定理解直角三角形及數(shù)字的規(guī)律探索，準確利用勾股定理及三角形面積公式進行計算是解題關鍵．21．如圖，四邊形ABCD中，點E在CD上，交AC于點F，，若，，則__________．【答案】7【解析】證明△ABF≌△DCA可得AD=AF，AC=BF，過點D作DG垂直于AC于點G，可得DG=GC=3，GF=GCFC=1，在△ADG中利用勾股定理即可求得AD，從而求得AC．解：∵BE∥AD，∴∠AFB=∠CAD，∵，∴△ABF≌△DCA（AAS），∴AD=AF，AC=BF，過點D作DG垂直于AC于點G，∠ACD=45°，，∴DG=GC=3，∴GF=GCFC=32=1，設AD=AF=x，則AG=x1，由勾股定理得32+（x1）2=x2，解得x=5，∴AD=5，BF=AC=AF+CF=5+2=7，故答案為：7．【點睛】此題考查勾股定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答．22．如圖，中，，的角平分線，相交于點P，過P作交的延長線于點F，交于點H，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分；其中正確的結(jié)論是___________．（填正確結(jié)論的序號）【答案】①②③【解析】由三角形的角平分線的含義結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可判斷①，先證明△ABP≌△FBP（ASA）與△APH≌△FPD（ASA），結(jié)合可判斷②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再證明HD∥EP，可判斷③，若DH平分∠CDE，推導DE∥AB，這個顯然與條件矛盾，可判斷④；解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=，∴∠APB=135°，故①正確．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，，故②正確，∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△APH=S△AED，故③正確，若DH平分∠CDE，則∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，這個顯然與條件矛盾，故④錯誤；故答案為：①②③．【點睛】本題考查了三角形的角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積，勾股定理的應用等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題23．如圖，已知與有一個公共點C，其中，若，，，，.求證：．【答案】見詳解.【解析】先利用勾股定理求出AC2和CE2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ACE為直角三角形.證明：∵，∴在中，根據(jù)勾股定理同理可求.在中∵..∴.∴為直角三角形.【點睛】本題考查勾股定理和勾股定理逆定理的綜合運用，如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形為直角三角形，本題依次可證.24．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．【答案】證明見解析．【解析】根據(jù)即可得證．如圖，過點D作，交BC延長線于點F，連接BD，則，由全等三角形的性質(zhì)得：，，，，即，整理得：．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握“面積法”是解題關鍵．25．如圖，某小區(qū)對位于小路AC同側(cè)的兩個噴泉A，B的管道進行鋪設．供水點M在小路AC上，噴泉A，B的距離是400米，供水點M到AB的距離MN是150m，BM=250m．（1）供水點M到A，B兩個噴泉鋪設的管道總長是多少米？（2）改變供水M的在AC上的位置，若使管道BM最短，求出此時供水點M到A，B兩個噴泉鋪設的管道總長是多少米？．【答案】（1）500m；（2）560m【解析】（1）根據(jù)勾股定理依次求出BN和AM，供水管道總長即為AM+BM；

（2）根據(jù)垂線段的性質(zhì)可畫出對應圖，再根據(jù)勾股定理分別在Rt△BMM'和Rt△BAM'中表示，列出方程求解即可求得MM'，由此可求得和AM'即可求解．解：（1）由題意可得：MN⊥AB，∴∠MNA=∠MNB=90°，在Rt△MNB中，∠MNB=90°，BN＝，∵AB＝400，∴AN＝AB﹣BN＝200，在Rt△AMN中，∠MNA=90°，AM＝，∴供水點M到噴泉A，B需要鋪設的管道總長＝250+250＝500m；（2）由題意可得：BM'⊥AC，AM=BM=250，AB=400，∴∠BM'M=90°，設MM'=x，則AM'=x+250，在Rt△BMM'中，∠BM'M=90°，，在Rt△BAM'中，∠BM'M=90°，，∴，∴，∴，∴，∴供水點M'到噴泉A，B需要鋪設的管道總長＝320+240＝560m.【點睛】本題考查勾股定理的應用，線段垂線段的性質(zhì)．（2）中能正確作出圖形，并熟練掌握方程思想是解題關鍵．26．如圖1，在中，，，是的高，且．（1）求的長；（2）是邊上的一點，作射線，分別過點，作于點，于點，如圖2，若，求與的和．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）根據(jù)勾股定理可求AD，再根據(jù)勾股定理可求CD，根據(jù)BC=BD+CD即可求解；（2）根據(jù)三角形面積公式可求AF與CG的和．（1）在Rt△ABD中，ADB=90，由勾股定理得：AD=，在Rt△ACD中，ADC=90，由勾股定理得：CD=，∴BC=BD+CD=1+2=3，∴BC的長為3；（2）∵AF⊥BE，CG⊥BE，BE=，∴，=，=，而=，∴=，即AF與CG的和為．【點睛】本題考查了勾股定理、三角形面積法的應用，正確運用勾股定理是解題的關鍵．27．如圖，某城市接到臺風警報，在該市正南方向的處有一臺風中心，沿方向以的速度移動，已知城市到的距離．（1）臺風中心經(jīng)過多長時間從移動到點？（2）已知在距臺風中心的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，若在點的工作人員早上6:00接到臺風警報，臺風開始影響到臺風結(jié)束影響要做預防工作，則他們要在什么時間段內(nèi)做預防工作？【答案】（1）臺風中心經(jīng)過16小時時間從B移動到D點；（2）他們要在20時到24時時間段內(nèi)做預防工作【解析】（1）首先根據(jù)勾股定理計算BD的長，再根據(jù)時間＝路程÷速度進行計算；（2）根據(jù)在30千米范圍內(nèi)都要受到影響，先求出從點B到受影響的距離與結(jié)束影響的距離，再根據(jù)時間＝路程÷速度計算，然后求出時間段即可．解：（1）在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD==240km，所以，臺風中心經(jīng)過240÷15=16小時從B移動到D點，答：臺風中心經(jīng)過16小時時間從B移動到D點；（2）如圖，∵距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，∴BE=BDDE=24030=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵臺風速度為15km/h，∴210÷15=14時，270÷15=18，∵早上6：00接到臺風警報，∴6+14=20時，6+18=24時，∴他們要在20時到24時時間段內(nèi)做預防工作．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，此題的難點在于第二問，需要正確理解題意，根據(jù)各自的速度計算時間，然后進行正確分析．28．如圖，在中，過點A作，BE平分交AC于點E．（1）如圖1，已知，，，求BD的長；（2）如圖2，點F在線段BC上，連接EF、ED，若，，，求證：．【答案】（1）BD=5；（2）證明見解析【解析】（1）利用勾股定理運算即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)可得到，證出得到，，再通過角的等量代換證出，取的中點，連接，即可證出，從而得到結(jié)論．解：（1）∵∴∴∴（2）∵平分∴又∵，∴∴，∴∴∵∴取的中點，連接，如圖2所示：則∴∵∴∴∴∴∴【點睛】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)及判定等，合理做出輔助線靈活證明全等是解題的關鍵．29．（1）探索：請你利用圖（1）驗證勾股定理．（2）應用：如圖（2），已知在中，，，分別以AC，BC為直徑作半圓，半圓的面積分別記為，，則______.（請直接寫出結(jié)果）．（3）拓展：如圖（3），MN表示一條鐵路，A，B是兩個城市，它們到鐵路所在直線MN的垂直距離分別為千米，千米，且千米．現(xiàn)要在CD之間建一個中轉(zhuǎn)站O，求O應建在離C點多少千米處，才能使它到A，B兩個城市的距離相等．【答案】（1）見解析；（2）；（3）O應建在離C點52.5千米處．【解析】（1）此直角梯形的面積由三部分組成，利用直角梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和列出方程并整理即可；

（2）根據(jù)半圓面積公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜邊為直徑的半圓面積；

（3）設CO=xkm，則OD=（80x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分別表示出AO和BO的長，根據(jù)AO=BO列出方程，求解即可．（1）由面積相等可得，∴，∴，∴．（2），，∴．故答案為：（3）設千米，則千米．∵到A，B兩個城市的距離相等，∴，即，由勾股定理，得，解得．即O應建在離C點52.5千米處．【點睛】本題考查了勾股定理的證明和勾股定理的應用，運用勾股定理將兩個直角三角形的斜邊表示出來，兩邊相等求解是解題的關鍵．30．閱讀下面的材料，并解決問題：數(shù)學家與勾股數(shù)組定義：勾股數(shù)是指可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)．一般地，若三角形三邊的長都是正整數(shù)，且滿足，那么數(shù)組稱為一組勾股數(shù)．每一組勾股數(shù)都能確定一個邊長都為正整數(shù)的直角三角形，研究勾股數(shù)對研究直角三角形具有重要意義，歷史上很多數(shù)學家都對勾股數(shù)進行了研究：1．我國西周數(shù)學家商高在公元前年發(fā)現(xiàn)了“勾三，股四，弦五”，數(shù)組是世界上發(fā)現(xiàn)最早的一組勾股數(shù)．2．畢達哥拉斯學派提出勾股數(shù)公式為，其中為正整數(shù)．(說明：根據(jù)這個公式不能寫出所有勾股數(shù))3．柏拉圖提出的勾股數(shù)公式為，其中為大于的整數(shù)．(說明：根據(jù)這個公式不能寫出所有勾股數(shù))4．世界