第2章 粉體粒徑分布的函數(shù)形狀指數(shù)

第2章粉末的性能與表征

2.1.2.4粒徑分布函數(shù)

1正態(tài)分布2對數(shù)正態(tài)分布3Rosin-Rammler(WEIBULL分布）第2章粉末的性能與表征（1）正態(tài)分布自然界中，凡是隨機(jī)現(xiàn)象均是許多偶然因素共同作用的總和，一切隨機(jī)現(xiàn)象都具有其必然性，即它們出現(xiàn)的頻率總是符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律地在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的概率模型就是正態(tài)分布。式中:x——自變量；a——平均值；σ——標(biāo)準(zhǔn)偏差。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)（頻率分布的函數(shù)）由式（2.12）給出：（2.12）第2章粉末的性能與表征圖2.10給出了不同參數(shù)的正態(tài)分布密度函數(shù)圖形。其中：a=0，σ=1為標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布，此時(shí)的正態(tài)分布函數(shù)為式（2.13）：

（2.13）a稱為正態(tài)分布的位置參數(shù)，a愈大，函數(shù)圖形越向右側(cè)移動(dòng)。

σ的大小與曲線的形狀有關(guān)，σ越小，曲線越尖陡，粒度分布取值越集中，粒度分布越窄；σ越大，則相反。通常稱σ為正態(tài)分布的形狀系數(shù)。第2章粉末的性能與表征圖2.10正態(tài)分布函數(shù)圖形第2章粉末的性能與表征用正態(tài)分布函數(shù)表征粉體粒徑分布時(shí)，x指顆粒粒徑，a為平均粒徑(Dp)，φ(x)表示顆粒x頻率分布函數(shù)，是指顆粒數(shù)、質(zhì)量或其他參數(shù)對粒徑的導(dǎo)數(shù)。若以個(gè)數(shù)為基準(zhǔn)，粒徑正態(tài)頻率分布函數(shù)式表示為：（2.15）

式中ni——直徑為Dpi的顆粒數(shù)量；N——顆?？倲?shù)；

——與累積含量為50%時(shí)的粒徑相對應(yīng)（Q0=0.5）。

（2.14）

（2.16）其中：

第2章粉末的性能與表征（2）對數(shù)正態(tài)分布粉體的粒徑分布有時(shí)也出現(xiàn)非對稱分布，這時(shí)將正態(tài)分布函數(shù)中的Dp和σ分別用ln和lnσg取代，得到對數(shù)正態(tài)頻率分布函數(shù)式為（2.17）：（2.17）第2章粉末的性能與表征

式2.17的頻率分布函數(shù)也可轉(zhuǎn)變?yōu)槔鄯e分布函數(shù)，如式（2.18）：（2.18）幾何平均粒徑Dg和幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差σg分別由式(2.19)和式(2.20)給出：（2.19）

（2.20）第2章粉末的性能與表征

依據(jù)表2.5數(shù)據(jù)，繪制出圖2.11粒徑的對數(shù)正態(tài)分布圖。虛線和實(shí)線分別表示以質(zhì)量為基準(zhǔn)和以數(shù)量為基準(zhǔn)，顯然兩者分布明顯不同。圖2.11粒徑的對數(shù)正態(tài)分布第2章粉末的性能與表征（3）Rosin-Rammler（WEIBULL）分布

粉碎后粒徑分布范圍很寬

的細(xì)粉，利用對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)計(jì)算時(shí)偏差仍然很大。Rosin、Rammler和Sperling等人通過對煤粉、水泥等物料粉碎實(shí)驗(yàn)的概率和統(tǒng)計(jì)理論研究歸納出用指數(shù)函數(shù)表示的粒徑分布關(guān)系式，稱為RRS方程。累積分布表達(dá)式(2.21)為：

在此基礎(chǔ)上經(jīng)過Bennet研究，取b=，則指數(shù)一項(xiàng)可寫成無因次項(xiàng)，既得到RRB方程，累積分布表達(dá)式為（2.22）：，（2.21）第2章粉末的性能與表征當(dāng)Dp

=De時(shí)，即，De定義為累積分?jǐn)?shù)達(dá)63.2%時(shí)的粒徑。，（2.22）式中:n——均勻性指數(shù)，表示粒徑分布范圍的寬窄，與粉體物料的性質(zhì)及其粉碎設(shè)備有關(guān)，對于同一種粉體，n為常數(shù)；De——特征粒徑，表示顆粒宏觀上的粗細(xì)程度。第2章粉末的性能與表征

RRB能比較好的反應(yīng)工業(yè)上粉磨產(chǎn)品的粒徑分布特性，被廣泛使用。圖2.12粒徑的Rosin-Rammler累積分布圖依據(jù)表2.5數(shù)據(jù)，繪制出粉末顆粒的Rosin-Rammler累積分布如圖2.12所示。第2章粉末的性能與表征

2.1.3平均粒徑設(shè)顆粒群粒徑分別為：d1，d2，d3，d4，d5…di…dn組成的集合體，其物理特性可表示為函數(shù)f(d)，f(d)由組成粉體的各個(gè)粒徑函數(shù)的加成表示，關(guān)系式為(2.24)：

f(d)=f(d1)+f(d2)+f(d3)+…+

f(dn)（2.24）若將粒徑不等顆粒群想象成由平均粒徑D均一球形顆粒組成，那么其物理特性可表示為f(d)=

f(D)?；谏鲜龆x，可以推導(dǎo)出以個(gè)數(shù)為基準(zhǔn)和質(zhì)量為基準(zhǔn)的平均徑計(jì)算公式。第2章粉末的性能與表征【例1】設(shè)粉末由d1，d2，d3，d4，d5…di…dn顆粒組成，每種顆粒個(gè)數(shù)對應(yīng)為n1，n2，n3，n4，n5…nn，試由顆?？傞L這一特性推導(dǎo)其平均粒徑。解：顆粒群的總長可表示成式（2.25）：n1d1+n2d2+n3d3+…nidi…nndn=∑(nd)=f(d)(2.25)將全部顆粒視為粒徑為D均一顆粒，式(2.25)中的d由D代替，得:

n1D1+n2D2+n3D3+…niDi…nnDn

=∑(nD)=D∑n=f(D)

(2.26)

第2章粉末的性能與表征由f(d)=f(D)可得∑（nd）=D∑n（2.27）整理（2.27）式可得式（2.28）：

D=∑(nd)/∑n

（2.28）此粒徑即為以個(gè)數(shù)為基準(zhǔn)的個(gè)數(shù)平均徑。【例2】設(shè)顆粒是邊長為d的立方體，顆粒群的總質(zhì)量為∑m，顆粒密度為ρp，試由比表面積的定義函數(shù)求平均粒徑。第2章粉末的性能與表征解：比表面積定義為：

f(d)=(2.29)當(dāng)全部顆粒視為邊長為D的立方體時(shí)：定義函數(shù)為式為：（2.30）由f(d)=f(D)可得出式（2.31）：(2.31)

=第2章粉末的性能與表征將方程式（2.31）兩邊同乘以ρpD，整理得：

式(2.32)以質(zhì)量為基準(zhǔn)粉體平均粒徑計(jì)算公式。

(2.32)第2章粉末的性能與表征表2.7個(gè)數(shù)基準(zhǔn)和質(zhì)量基準(zhǔn)的平均粒徑式序號平均徑名稱符號個(gè)數(shù)基準(zhǔn)質(zhì)量基準(zhǔn)物理意義（形狀系數(shù)φs、φv）平均徑1個(gè)數(shù)平均徑D1長度、個(gè)數(shù)平均2長度平均徑D23面積平均徑D3Sw=φ(ρDs)為顆粒群比面積4體積平均徑D4第2章粉末的性能與表征5平均表面積徑DsΦsDs2為平均顆粒表面積6平均體積徑Dv7體積長度徑DvdΦvDv3是平均顆粒的體積，是單位質(zhì)量含有的顆粒數(shù)8重量矩個(gè)數(shù)平均徑Dw9調(diào)和平均徑Dh平均比表面積續(xù)表2.7第2章粉末的性能與表征注：D1

D2=Ds2；D1D2D3=Dv3；D3=Dv3/Ds2；

D4=

(Dw4/Dv3)D2D3=Dvd2；

D4>D3>Dw>（D2=Dv=Dvd）>Ds>D1>Dh。上述單一粒徑和平均粒徑的計(jì)算是為著不同的實(shí)際單元操作過程或某一粉體研究需要的。各平均粒徑間的差別較大，可根據(jù)具體生產(chǎn)過程單元操作過程、粒徑范圍、粒徑應(yīng)用的目的等選擇應(yīng)用。對于分離操作系統(tǒng)的顆粒，最好選用重力沉降和離心沉降方法測定顆粒的Stokes徑，即按照沉降速度求相當(dāng)徑；測量催化劑顆粒粒徑時(shí)，最好采用比表面積及比表面積平均徑。第2章粉末的性能與表征

2.1.4顆粒的形狀

2.1.4.1顆粒形狀的概念

顆粒形狀是指一個(gè)顆粒的輪廓邊界或表面上各點(diǎn)所構(gòu)成圖像，它是除粒徑外，顆粒的另一幾何特征。顆粒的形狀對粉末體的許多性質(zhì)均有直接的影響。粉體的比表面積、流動(dòng)性、壓縮性、填充性、研磨性、化學(xué)活性以及涂料的覆蓋能力等直接與粉末在混合、壓制、燒結(jié)、儲(chǔ)存、運(yùn)輸?shù)葐卧^程行為有關(guān)。第2章粉末的性能與表征嚴(yán)格地說，所測得粒徑，只是一種定性表示。常用各種形狀因數(shù)表示顆粒形狀特征。語言術(shù)語描述顆粒形狀的方法數(shù)學(xué)術(shù)語第2章粉末的性能與表征球形spherical粒狀granular立方體cubical棒狀rodlike片狀platy，discal針狀needlelike柱狀perismoidal纖維狀fibrous鱗狀flaky樹枝狀dendritic海綿狀spongy聚集體agglomerate塊狀blocky中空hollow尖角狀sharp粗糙rough圓角狀round光滑smooth多孔porous毛絨fluffy，nappy表2.8顆粒形狀的基本術(shù)語（語言術(shù)語）第2章粉末的性能與表征

2.1.4.2形狀指數(shù)和形狀系數(shù)通常將表示顆粒外形的幾何量的各種無因次組合稱為形狀指數(shù)(ShapeIndex)。

除特殊情況需要三種尺寸以外，一般至少需要兩種數(shù)據(jù)及其組合。常使用的數(shù)據(jù)包括三軸方向顆粒大小的代表值、二維圖像投影的輪廓曲線，以及表面積和體積等立體幾何各有關(guān)數(shù)據(jù)。1）形狀指數(shù)與外形尺寸相關(guān)的形狀指數(shù)與表面積或體積相關(guān)的形狀指數(shù)與顆粒投影周長相關(guān)的形狀指數(shù)形狀指數(shù)第2章粉末的性能與表征常用的形狀指數(shù)有三種：第2章粉末的性能與表征（1）與顆粒外形尺寸相關(guān)的形狀指數(shù)

均齊度：一個(gè)不規(guī)則的顆粒放在一平面上，一般情形是顆粒的最大投影面（也就是最穩(wěn)定的平面）與支撐平面相黏合。這時(shí)顆粒具有最大的穩(wěn)定度。以長方體為顆粒的基準(zhǔn)幾何形狀，根據(jù)長、寬、高三軸徑l、b、h之間的比值，導(dǎo)出下面形狀指數(shù)：

扁平度=短徑/高度=b/h（≥1）

(2.34)

長短度=長徑/短徑=l/b（≥1）

(2.35)第2章粉末的性能與表征（2）與表面積或體積相關(guān)的形狀指數(shù)①體積充滿度fv：表示外接長方體體積與顆粒體積Vp之比，數(shù)學(xué)表達(dá)式:fv=lbh/Vp

（≥1）（2.35）②面積充滿度fb：表示顆粒投影面積A與最小外接矩形面積之比，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

fb=A/lb（≤1）(2.36)③球形度φ0：表示顆粒接近球體的程度。第2章粉末的性能與表征球形度φ0是一個(gè)應(yīng)用較廣泛的形狀系數(shù)，定義為：一個(gè)與待測顆粒體積相等的球體表面積與該顆粒的表面積之比。表達(dá)式為（2.37）φ0=與顆粒體積相等的球體表面積/顆粒表面積

(2.37)

對于形狀不規(guī)則顆粒，當(dāng)測定其表面積比較困難時(shí)，可采用實(shí)用球形度來衡量。實(shí)用球形度用式(2.38)表示：

φ0′=與顆粒投影面積相等圓直徑/顆粒投影的最小外接圓直徑（≤1）（2.38）表2.9為理論計(jì)算的一部分形狀規(guī)則顆粒的球形度值和少數(shù)幾種物料的實(shí)測球形度值。第2章粉末的性能與表征表2.9各種顆粒的球形度顆粒形狀(物料名稱球形度φo顆粒形狀或物料名稱球形度φo球形顆粒1.000圓盤體h=r0.827八面體0.847h=r/30.594正方體0.806h=r/100.323長方體L×L×2L(單邊長)0.767天然煤粉0.650L×2L×2L0.761粉碎煤粉0.730L×2L×3L0.725粉碎玻璃0.650圓柱體(h高，r半徑)h=3r0.860參差不齊的遂石砂0.650h=10r0.691參差不齊片狀燧石砂0.430h=20r0.580接近于球體渥太華砂0.95第2章粉末的性能與表征（3）與顆粒投影周長相關(guān)的形狀指數(shù)②表面粗糙度ζ：它表示接近球體的程度，顆粒ζ越大越接近球形，數(shù)學(xué)表達(dá)式為（2.41）：

ζ=顆粒投影周長/相同面積橢圓的周長(2.41)不同形狀顆粒在圓形度和表面粗糙度坐標(biāo)系中的投影如圖2.13所示。(2.40)式中①圓形度φc：表示顆粒投影與圓接近程度，顆粒圓形度越大越接近球形，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：φc=相同投影面積圓周長/顆粒投影周長=DH/L(2.39)第2章粉末的性能與表征圖2.13不同形狀顆粒在圓形度和表面粗糙度坐標(biāo)系中的投影第2章粉末的性能與表征2）形狀系數(shù)體積形狀系數(shù)φv阻力形狀系數(shù)kv動(dòng)力學(xué)形狀系數(shù)k形狀系數(shù)把與顆粒形狀有關(guān)因素概括為一個(gè)修正系數(shù)加以考慮，該修正系數(shù)即為形狀系數(shù)。實(shí)際上形狀系數(shù)是用來衡量實(shí)際顆粒形狀與球形或長方體顆粒形狀的差異程度。（1）體積形狀系數(shù)φv

第2章粉末的性能與表征顆粒的表面積Sp與平均粒徑dp的關(guān)系Sp=φsdp2

（2.44）式中：φs為表面積形狀系數(shù)

顆粒的比表面積形狀系數(shù)定義為：

φ=φs/φv

（2.45）顆粒體積Vp與平均粒徑dp的關(guān)系Vp=φvdp3

（2.43）式中：

φv為體積形狀系數(shù)球形顆粒：球體積Vp=πdp3/6，球體積形狀系數(shù)φv=π/6球體表Sp=πdp2，

球表面積形狀φs=π則：球體形狀系數(shù)φ=φs/φv=6第2章粉末的性能與表征（2）阻力形狀系數(shù)kv

用顆粒在流體中所受到的阻力來表示的顆粒形狀系數(shù)。在層流區(qū)，非球形顆粒受到黏度為μ，相對流速為u的流體阻力FD，按照Stokes定律計(jì)算，數(shù)學(xué)表達(dá)式為（2.46）：

FD=3πμu

Dpkv

（2.46）式中kv——阻力形狀系數(shù)；

Dp——可取Stokes徑Dstk、等表面積相當(dāng)徑Ds或等體積相當(dāng)徑Dv，而得到相應(yīng)不同的阻力形狀系數(shù)，如表2.10所示。表2.10顆粒的形狀系數(shù)顆粒形狀表面積形狀系數(shù)φs體積形狀系數(shù)φv形狀系數(shù)φ球形l=b=h=dππ/66圓板形l=b，h=dl=b，h=0.5dl=b，h=0.2dl=b，h=0.1d3π/2π7π/103π/5π/4π/8π/20π/40681424立方體形l=b=h616方柱及方板形l=bh=bh=0.5bh=0.2bh=0.1b642.82.410.50.20.1681424圓形顆粒(水沖蝕砂子等)2.7~3.40.32~0.41帶棱的顆粒(粉碎石灰石等)2.5~3.20.20~0.28薄片狀顆粒(滑石、石膏等)2.0~2.80.12~0.10極薄的片狀顆粒(云母等)1.6~1.70.01~0.03第2章粉末的性能與表征（3）動(dòng)力學(xué)形狀系數(shù)k

當(dāng)顆粒在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，顆粒的動(dòng)力