等邊三角形課件

13.3.2等邊三角形（1）

小明想制作一個三角形的相框，他有四根木條長度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設(shè)計出幾種形狀的三角形？情境引入等腰三角形等邊三角形一般三角形在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三邊都相等的三角形叫作等邊三角形.新知探究名稱圖形定義性質(zhì)

判定等腰三角形等邊對等角三線合一等角對等邊兩邊相等兩腰相等軸對稱圖形ABC有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形新知探究ABCABC問題1

等邊三角形的三個內(nèi)角之間有什么關(guān)系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等邊三角形AB=AC=BCAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C內(nèi)角和為180°=60°等邊三角形的性質(zhì)1新知探究結(jié)論：

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°.已知：AB=AC=BC

，

求證：∠A=∠B=∠C=60°.

證明：∵AB=AC.∴∠B=∠C.(等邊對等角)

同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.新知探究ABCABC問題2

等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對稱軸？結(jié)論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對角的平分線都“三線合一”.頂角的平分線、底邊的高底邊的中線三線合一一條對稱軸三條對稱軸新知探究圖形等腰三角形

性質(zhì)

每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合三個角都相等，對稱軸（3條）等邊三角形對稱軸（1條）兩個底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合且都是60o兩條邊相等三條邊都相等新知探究如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連結(jié)BE、DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.例1典例解析方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內(nèi)角都是60°，這個性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，一般需結(jié)合“等邊對等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì).典例解析【變式】如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對等邊）．典例解析△ABC為正三角形，點M是BC邊上任意一點，點N是CA邊上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM

＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.例2典例解析方法總結(jié)：此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)，求角度或證明邊相等.典例解析圖形等腰三角形判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定2小明認(rèn)為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？★等邊三角形的判定方法：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.新知探究辯一辯：根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是新知探究如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC,求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等邊三角形.想一想：本題還有其他證法嗎？例3典例解析證明：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED,∴

∠A=∠ADE=∠AED,∴

△ADE是等邊三角形.【變式1】若點D、E在邊AB、AC的延長線上，且DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？ADEBC典例解析【變式2】若點D、E在邊AB、AC的反向延長線上，且DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？

證明：

∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠BAC=∠B=∠C=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠B=∠D，∠C=∠E,

∴

∠EAD=∠D=∠E,

∴

△ADE是等邊三角形．ADEBC典例解析【變式3】上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等邊三角形.典例解析等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．例4典例解析方法總結(jié)：判定一個三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個內(nèi)角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個內(nèi)角等于60°.典例解析【練習(xí)】

如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF,∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．典例解析

2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點O，DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有（）A.4個

B.5個C.6個

D.7個DACBDEO1.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（）A．105°B．120°C．135°D．150°B當(dāng)堂練習(xí)3.在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數(shù)是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為18cm,EC=2cm，則△ADE的周長是

cm.ACBDE12B當(dāng)堂練習(xí)5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD，E是AB的中點，連結(jié)CE并延長交AD于F．求證：△AEF≌△BEC．證明：∵△ABD是等邊三角形，∴∠DAB=60°.∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．∵E為AB的中點，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．當(dāng)堂練習(xí)6.如圖，A、O、D三點共線，△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三點共線，∴

∠DOB=∠COA=120°，∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.設(shè)OB與EA相交于點F,∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F當(dāng)堂練習(xí)圖1、圖2中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖1，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；(2)如圖2，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．圖1圖2探索拓展解：（1）AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB，∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴AN＝BM.圖1探索拓展（2）△CEF是等邊三角形．證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF，∴△CEF是等邊三角形．圖2探索拓展今天我們學(xué)了什么？今天我們悟到什么？今天的質(zhì)疑和發(fā)現(xiàn)？梳理反思今天我們學(xué)了什么？今天我們悟到什么？等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形定義底=腰特殊性性質(zhì)特殊性邊三邊相等角三個角都等于60°軸對稱性軸對稱圖形，每條邊上都具有“三線合一”性質(zhì)判定特殊性三邊法三角法等腰三角形法梳理反思13.3.2等邊三角形（2）問題1

如圖，將兩個相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？分離拼接ACB情境引入問題2

將一張等邊三角形紙片沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？情境引入▼性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你還能用其他方法證明嗎？含30°角的直角三角形的性質(zhì)1新知探究【證法1】在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長BC到D，使BD=AB，連結(jié)AD，則△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

倍長法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

新知探究EABC【證法2】

在BA上截取BE=BC，連結(jié)EC.

∵∠B=60°，BE=BC，∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°，∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

截半法新知探究★含30°角的直角三角形的性質(zhì)

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.▼應(yīng)用格式：

∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

新知探究判斷下列說法是否正確：（1）直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊的一半.

（2）三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半.

（3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半.

（4）直角三角形的斜邊是30°角所對直角邊的2倍．√新知探究如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.例1典例解析如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC例2典例解析方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運用時，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．典例解析如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB．DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例3典例解析在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.典例解析方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時，要聯(lián)想此性質(zhì)．典例解析想一想：圖中BC、DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D

是斜梁AB的中點，立柱BC、DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多長？ABCDE例4典例解析ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD，∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.典例解析已知:等腰三角形的底角為15°，腰長為20，求腰上的高.ACBD15°15°20解:過C作CD⊥BA,交BA的延長線于點D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.例5典例解析方法總結(jié)：在求三角形邊長的一些問題中，可以構(gòu)造含30°角的直角三角形來解決．本題的關(guān)鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質(zhì)，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決問題.典例解析1.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要()A．300a元