北京首師大附中2024年九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期開學(xué)經(jīng)典試題【含答案】

學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準(zhǔn)考證號學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準(zhǔn)考證號…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共3頁北京首師大附中2024年九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期開學(xué)經(jīng)典試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）下列圖形：平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形中是軸對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2、（4分）為了解我市八年級8000名學(xué)生期中數(shù)學(xué)考試情況,從中抽取了500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計,下列說法正確的是（）A．這種調(diào)查方式是普查 B．每名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是個體C．8000名學(xué)生是總體 D．500名學(xué)生是總體的一個樣本3、（4分）小明得到育才學(xué)校數(shù)學(xué)課外興趣小組成員的年齡情況統(tǒng)計如下表：年齡（歲）13141516人數(shù)（人）515x10-x那么對于不同x的值，則下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生變化的是（）A．眾數(shù)，中位數(shù) B．中位數(shù)，方差 C．平均數(shù)，中位數(shù) D．平均數(shù)，方差4、（4分）如圖，已知四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則順次連接四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形5、（4分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．6、（4分）如圖，正方形的邊長為2，點為的中點，連接，將沿折疊，點的對應(yīng)點為.連接CF，則的長為（）A． B． C． D．7、（4分）下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．8、（4分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝11x﹣12與x軸交點坐標(biāo)為_____.10、（4分）如圖,菱形ABCD的周長為12,∠B=60°,則菱形的面積為_________m211、（4分）如圖，將矩形ABCD沿直線BD折疊，使C點落在C′處，BC′交邊AD于點E，若∠ADC′=40°，則∠ABD的度數(shù)是_____．12、（4分）如圖，將一個正三角形紙片剪成四個全等的小正三角形，再將其中的一個按同樣的方法剪成四個更小的正三角形，……如此繼續(xù)下去，結(jié)果如下表：則an＝__________（用含n的代數(shù)式表示）．所剪次數(shù)1234…n正三角形個數(shù)471013…an13、（4分）在平面直角坐標(biāo)xOy中，點O是坐標(biāo)原點，點B的坐標(biāo)是(m，m-4)，則OB的最小值是__________．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（3，3）．（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）把直線OA向下平移后得到直線l，與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，m），求m的值和直線l的解析式；（3）在（2）中的直線l與x軸、y軸分別交于C、D，求四邊形OABC的面積．15、（8分）如圖1，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AC上一點，連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于F.（1）直接寫出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若點E在AC的延長線上，過點A作AM⊥BE,AM交DB的延長線于點F，其他條件不變.問（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)BC=CE時，求∠EAF的度數(shù).16、（8分）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離為，從甲的頂部處測得乙的頂部處的俯角為48°，測得底部處的俯角為58°，求乙建筑物的高度.（參考數(shù)據(jù)：，，，.結(jié)果取整數(shù)）17、（10分）教材第97頁在證明“兩邊對應(yīng)成比例且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”（如圖，已知，求證：）時，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過添設(shè)輔助線，將未知的判定方法轉(zhuǎn)化為前兩節(jié)課已經(jīng)解決的方法（即已知兩組角對應(yīng)相等推得相似或已知平行推得相似）．利用上述方法完成這個定理的證明．18、（10分）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中每個小正方形的邊長為個單位長度，按要求作圖：①畫出關(guān)于原點的中心對稱圖形；②畫出將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到③請在網(wǎng)格內(nèi)過點畫一條直線將平分成兩個面積相等的部分．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個實根，且滿足，則的值等于__________．20、（4分）一次函數(shù)的圖像在軸上的截距是__________.21、（4分）如圖，如果要使ABCD成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的條件是________.22、（4分）我市某中學(xué)舉辦了一次以“我的中國夢”為主題的演講比賽，最后確定7名同學(xué)參加決賽，他們的決賽成績各不相同，其中李華已經(jīng)知道自己的成績，但能否進(jìn)前四名，他還必須清楚這7名同學(xué)成績的______________（填”平均數(shù)”“眾數(shù)”或“中位數(shù)”）23、（4分）已知邊長為5cm的菱形，一條對角線長為6cm，則另一條對角線的長為________cm．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）計算：（212-13）×25、（10分）（1）因式分解：；（2）計算：26、（12分）如圖，點N(0，6)，點M在x軸負(fù)半軸上，ON＝3OM.A為線段MN上一點，AB⊥x軸，垂足為點B，AC⊥y軸，垂足為點C．(1)寫出點M的坐標(biāo)；(2)求直線MN的表達(dá)式；(3)若點A的橫坐標(biāo)為－1，求矩形ABOC的面積．

參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、D【解析】

根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷后即可得解．【詳解】平行四邊形不是軸對稱圖形，矩形是軸對稱圖形，菱形是軸對稱圖形，等腰梯形是軸對稱圖形，正方形是軸對稱圖形，所以，軸對稱圖形的是：矩形、菱形、等腰梯形、正方形共4個.故選D.此題考查軸對稱圖形，解題關(guān)鍵在于掌握其定義.2、B【解析】

總體是指考察的對象的全體，個體是總體中的每一個考察的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體．本題考察的對象是我校八年級學(xué)生期中數(shù)學(xué)考試成績，從而找出總體、個體，再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量．【詳解】A、很明顯，這種調(diào)查方式是抽樣調(diào)查．故A選項錯誤；B、每名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是個體，正確；C、8000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是總體，故C選項錯誤；D、500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是總體的一個樣本，故D選項錯誤，故選B.本題考查了抽樣調(diào)查與全面調(diào)查，總體、個體與樣本，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本．關(guān)鍵是明確考察的對象，總體、個體與樣本的考察對象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€體的數(shù)目，不能帶單位．3、A【解析】

由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案．【詳解】由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為x+10-x=10，則總?cè)藬?shù)為：5+15+10=30，故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，中位數(shù)為：=14歲，即對于不同的x，關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，故選A．本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計算方法是解題的關(guān)鍵．4、A【解析】試題分析：如圖：∵E、F、G、H分別是邊AD、AB、BC、CD的中點，∴EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，GH=BD，EH=AC，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC=BD，EF=BD，EH=AC，∴EF=EH，∴平行四邊形EFGH是菱形．故選B．考點：1.三角形中位線定理；2.菱形的判定．5、C【解析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可．【詳解】A．|a|與不是同類二次根式；B．與不是同類二次根式；C．2與是同類二次根式；D．與不是同類二次根式．故選C．本題考查了同類二次根式的定義，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．6、D【解析】

連接AF交BE于點O，過點F作MN⊥AB，由勾股定理可求BE的長，由三角形面積公式可求AO的長，由折疊的性質(zhì)可得AO=OH=，AB=BF=2，由勾股定理可求BN，F(xiàn)N的長，由矩形的性質(zhì)可求FM，MC的長，由勾股定理可求CF的長．【詳解】解：如圖，連接AF交BE于點O，過點F作MN⊥AB,∵AB∥CD，MN⊥AB,∴MN⊥CD，∵AB=2=AD，點E是AD中點,∴AE=1，∴EB=,∵S△ABE=×AB×AE=×BE×AO,∴2×1=AO,∴AO=,∵將△ABE沿BE折疊，點A的對應(yīng)點為F,∴AO=OH=，AB=BF=2，∴AF=,∵AF2-AN2=FN2，BF2-BN2=FN2，∴AF2-AN2=BF2-BN2，∴-（2-BN）2=4-BN2，∴BN=,∴FN=,∵M(jìn)N⊥AB，MN⊥CD，∠DCB=90°,∴四邊形MNBC是矩形,∴BN=MC=，BC=MN=2,∴MF=,∴CF=.故選：D．本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，利用勾股定理列出等式求線段的長是本題的關(guān)鍵．7、C【解析】

根據(jù)二次根式的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．無意義，不是二次根式；

B.當(dāng)時，是二次根式，此選項不符合題意；

C.是二次根式，符合題意；

D.不是二次根式，不符合題意；

故選C．本題考查了二次根式的定義，關(guān)鍵是掌握把形如的式子叫做二次根式．8、B【解析】

根據(jù)大于小的小于大的取中間確定不等式組的解集，最后用數(shù)軸表示解集．【詳解】所以這個不等式的解集是-3≤x＜1，用數(shù)軸表示為故選B此題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則.二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、(，0).【解析】

直線與x軸交點的橫坐標(biāo)就是y＝0時，對應(yīng)x的值，從而可求與x軸交點坐標(biāo)．【詳解】解：當(dāng)y＝0時，0＝11x﹣12解得x＝，所以與x軸交點坐標(biāo)為(，0)．故答案為(，0)．本題主要考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，掌握一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點的求法是解題的關(guān)鍵．10、【解析】

首先根據(jù)已知求得菱形的邊長，再根據(jù)勾股定理求得其兩條對角線的長，進(jìn)而求出菱形的面積．【詳解】解：菱形的周長為12，菱形的邊長為3，四邊形是菱形，且，為等邊三角形，，，，菱形的面積，故答案為本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一般，此題難度不大．11、65°【解析】

直接利用翻折變換的性質(zhì)得出∠2=∠3=25°，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意可得：∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠C′ED，故∠1=∠ADC′=40°，則∠2+∠3=50°，∵將矩形ABCD沿直線BD折疊，使C點落在C′處，∴∠2=∠3=25°，∴∠ABD的度數(shù)是：∠1+∠2=65°，故答案為65°．本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，正確得出∠2=∠3=25°是解題關(guān)鍵．12、3n+1．【解析】試題分析：從表格中的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)：多剪一次，多3個三角形．即剪n次時，共有4+3（n-1）=3n+1．試題解析：故剪n次時，共有4+3（n-1）=3n+1．考點：規(guī)律型：圖形的變化類．13、【解析】

利用勾股定理可用m表示出OB的長，根據(jù)平方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)即可得答案．【詳解】∵點B的坐標(biāo)是(m，m-4)，∴OB==，∵(m-2)2≥0，∴2(m-2)2+8≥8，∴的最小值為=，即OB的最小值為，故答案為：本題考查勾股定理的應(yīng)用及平方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)，熟練掌握平方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、(1)正比例函數(shù)的解析式為y=x,反比例函數(shù)的解析式為y=；(2)直線l的解析式為y=x；(3)S四邊形OABC=.【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（3，3），即可求得解析式；

（2）由點B在反比例函數(shù)圖象上，即可求得m的值；又由此一次函數(shù)是正比例函數(shù)平移得到的，可知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的比例系數(shù)相同，代入點B的坐標(biāo)即可求得解析式；

（3）構(gòu)造直角梯形AEFD，則通過求解△ABE、△BDF與直角梯形ADFE的面積即可求得△ABD的面積．【詳解】(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=ax,反比例函數(shù)的解析式為y=，

∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A(3,3)，

∴3=3a,3=，

∴a=1，b=9，

∴正比例函數(shù)的解析式為y=x,反比例函數(shù)的解析式為y=；(2)∵點B在反比例函數(shù)上，

∴m==，

∴B點的坐標(biāo)為(6,)，

∵直線BD是直線OA平移后所得的直線，

∴可設(shè)直線BD的解析式為y=x+c，

∴=6+c，

∴c=，

∴直線l的解析式為y=x；

(3)過點A作AE∥x軸，交直線l于點E，連接AC.

∵直線l的解析式為y=x,A(3,3)，

∴點E的坐標(biāo)為(,3),點C的坐標(biāo)為(,0).

∴AE=?3=,OC=，

∴S四邊形OABC=S△OAC+S△ACE?S△ABE=××3+××3?××=.本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式和反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.15、(1)OE=OF;(2)OE=OF仍然成立，理由見解析;(3)67.5°.【解析】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AOF≌△BOE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到OE=OF；（2）類比（1）的方法證得同理得出結(jié)論成立；（3）由BC=CE，可證AB=BF，從而∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，然后根據(jù)∠EAF=∠FAB+∠BAO計算即可.詳解：（1）OE=OF;（2）OE=OF仍然成立，理由是：由正方形ABCD對角線垂直得，∠BOC=90°，∵AM⊥BE∴∠BMF=90°，∴∠BOC=∠BMF.∵∠MBF=∠OBE，∴∠F=∠E，又∵AO=BO，∴△AOF≌△BOE，∴OE=OF;（3）由（2）得OE=OF，且OB=OC，則BF=CE，∵BC=CE，∴AB=BF，∴∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，又∵∠BAO=45°，∴∠EAF=∠FAB+∠BAO=22.5°+45°=67.5°.點睛：本題考查正方形的性質(zhì),三角形全等的判定與性質(zhì),三角形外角的性質(zhì)，是一道結(jié)論探索性問題.解答此類題我們要從變化中探究不變的數(shù)學(xué)本質(zhì),再從不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā),尋求變化的規(guī)律,通過觀察,試驗,歸納,類比等獲得數(shù)學(xué)猜想,并對所作的猜想進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯論證,考查了學(xué)生對知識的遷移能力,分析問題,解決問題的能力.16、38m.【解析】

作AE⊥CD交CD的延長線于點E，根據(jù)正切的定義分別求出CE、DE，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】如圖,作AE⊥CD交CD的延長線于點E,則四邊形ABCE是矩形,∴AE=BC=78m，在Rt△ACE中,tan∠CAE=，∴CE=AE?tan58°≈78×1.60=124.8(m)在Rt△ADE中,tan∠DAE=，∴DE=AE?tan48°≈78×1.11=86.58(m)∴CD=CE?DE=124.8?86.58≈38(m)答：乙建筑物的高度CD約為38m.此題考查解直角三角形，三角函數(shù)，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握三角函數(shù)定義.17、見解析【解析】

在AB上截取AG=DE，作GH∥BC，則可得△AGH∽△ABC，再由已知條件證明△AGH≌△DEF即可證明：△ABC∽△DEF．【詳解】證明：在上截取，作．．．∵，∴，∵，∴，∴．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．18、（1）作圖見解析（2）作圖見解析（3）作圖見解析【解析】

（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．（3）根據(jù)三角形面積公式作圖即可．【詳解】（1）如圖所示，即為所求．（2）如圖所示，即為所求．（3）如圖所示，直線CD即為所求．本題考查了方格作圖的問題，掌握中心對稱的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、-1【解析】

根據(jù)根的存在情況限定△≥0；再將根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡的式子x1?x2＋2（x2＋x1）＋4＝13，即可求解；【詳解】解：∵x1，x2是關(guān)于x一元二次方程x2＋（3a?1）x＋2a2?1＝0的兩個實根，∴△＝a2?6a＋5≥0∴a≥5或a≤1；∴x1＋x2＝?（3a?1）＝1?3a，x1?x2＝2a2?1，∵（x1＋2）（x2＋2）＝13，∴整理得：x1?x2＋2（x2＋x1）＋4＝13，∴2a2?1＋2（1?3a）＋4＝13，∴a＝4或a＝?1，∴a＝?1；故答案為?1.本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．20、1【解析】

求得一次函數(shù)與y軸的交點的縱坐標(biāo)即為一次函數(shù)y=x+1的圖象在y軸上的截距．【詳解】解：令x=0，得y=1；

故答案為：1．本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21、AB＝BC(答案不唯一)【解析】試題解析：因為一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，那么可添加的條件是：AB=BC或AC⊥BD．22、中位數(shù)【解析】

七名選手的成績，如果知道中位數(shù)是多少，與自己的成績相比較，就能知道自己是否能進(jìn)入前四名，因為中位數(shù)是七個數(shù)據(jù)中的第四個數(shù)，【詳解】解：因為七個數(shù)據(jù)從小到大排列后的第四個數(shù)是這七個數(shù)的中位數(shù)，知道中位數(shù)，然后與自己的成績比較，就知道能否進(jìn)入前四，即能否參加決賽．故答案為：中位數(shù)．考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的特征，中位數(shù)反映之間位置的數(shù)，說明比它大的占一半，比它小的占一半；眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平和集中趨