2023-2024學(xué)年北京陳經(jīng)綸中學(xué)高一10月月考數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2023北京陳經(jīng)綸中學(xué)高一10月月考數(shù)學(xué)本試卷共8頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)90分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若函數(shù)，且，則（

）A．7 B．8 C．9 D．103．設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為（

）A． B．C． D．4．若，下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域是（）A． B． C． D．6．已知實(shí)數(shù)、、滿足，那么“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，如圖所示，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．8．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．0 C．或0 D．9．若存在，有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．對(duì)集合的每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)唯一確定的“交替和”，概念如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大的開(kāi)始，交替減加后面的數(shù)所得的結(jié)果．例如：集合的“交替和”為，集合的“交替和”為，集合的“交替和”為6，則集合所有非空子集的“交替和”的和為（

）A． B． C． D．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______．12．已知，，且，則的取值范圍是________．13．已知不等式的解集為或，則不等式的解集是________．14．已知函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．15．若，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為.16．高斯函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要函數(shù)，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影．設(shè)，用符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，如稱函數(shù)叫做高斯函數(shù)．給出下列關(guān)于高斯函數(shù)的說(shuō)法：①②若，則③函數(shù)的值域是④函數(shù)在上單調(diào)遞增其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是________．三、解答題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。17．設(shè)全集為，集合，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，是否滿足？說(shuō)明理由；（Ⅲ）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）

18．設(shè).（Ⅰ）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）已知，解關(guān)于的不等式．19．某游戲廠商對(duì)新出品的一款游戲設(shè)定了“防沉迷系統(tǒng)”規(guī)則如下：①3小時(shí)內(nèi)（含3小時(shí)）為健康時(shí)間，玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的累積經(jīng)驗(yàn)值E（單位：）與游玩時(shí)間t（單位：小時(shí)）滿足關(guān)系式：；②3到5小時(shí)（含5小時(shí)）為疲勞時(shí)間，玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的經(jīng)驗(yàn)值為0（即累積經(jīng)驗(yàn)值不變）；③超過(guò)5小時(shí)為不健康時(shí)間，累積經(jīng)驗(yàn)值開(kāi)始損失，損失的經(jīng)驗(yàn)值與不健康時(shí)間成正比例關(guān)系，正比例系數(shù)為50．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出累積經(jīng)驗(yàn)值E與游玩時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，求出游玩6小時(shí)的累積經(jīng)驗(yàn)值；（Ⅱ）該游戲廠商把累積經(jīng)驗(yàn)值E與游玩時(shí)間t的比值稱為“玩家愉悅指數(shù)”，記為，若，且該游戲廠商希望在健康時(shí)間內(nèi)，這款游戲的“玩家愉悅指數(shù)”不低于24，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)；（Ⅱ）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（Ⅲ）若時(shí)，恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．21．設(shè)集合為非空數(shù)集，定義，，，．（Ⅰ）若集合，，直接寫出集合及；（Ⅱ）若集合，，，，，且，求證；（Ⅲ）若集合，且，求中元素個(gè)數(shù)的最大值．參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】C【分析】將此集合分成兩類，并在兩類集合之間建立一一映射關(guān)系后根據(jù)“交替和”的定義即可求出答案.【詳解】解：由題意得：集合的非空子集中，除去集合，還有個(gè)非空集合，將這個(gè)子集分成兩類：第一類:包含的子集；第二類：不包含的子集；在第二類和第一類子集之間建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：，其中是第二類子集，顯然這種對(duì)應(yīng)是一一映射設(shè)的“交替和”為，則的“交替和”為，這一對(duì)集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空集合的“交替和”總和為故選：B二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．【答案】12．【答案】13．【答案】14．【答案】15．【答案】（答案不唯一）16．【答案】①②④，對(duì)1個(gè)給3分，對(duì)2個(gè)給4分，全對(duì)給5分，有錯(cuò)不得分三、解答題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。17．解：（Ⅰ）全集為，集合或（1分），所以（2分）；又時(shí)，集合（3分），所以；（5分，若結(jié)果開(kāi)閉區(qū)間錯(cuò)扣1分）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不滿足，（6分）理由如下：，，故（8分）．（Ⅲ）選擇①作為已知條件．（選擇②③的解法同①）因?yàn)?，所以?分），又由或得，當(dāng)時(shí)，（10分），解得；（11分）當(dāng)時(shí)，或，（12分）所以或，所以或．（13分）綜上，可得的取值范圍為，，．（14分）18．（Ⅰ）解：由對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，（1分）當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；（2分）當(dāng)時(shí)，則滿足（4分），解得（5分），綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為（6分）.（2）解：由不等式，即，（8分）方程的兩個(gè)根為，（9分，此步驟不寫不扣分）①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（10分）②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（12分）③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（14分）若①②合并討論，結(jié)果正確也給分19．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，（1分）當(dāng)時(shí)，（2分），故當(dāng)時(shí)，，（3分）當(dāng)時(shí)，，（5分，列式1分，化簡(jiǎn)1分）所以，（6分）當(dāng)時(shí)，.（7分）（2）當(dāng)時(shí)，，（9分）整理得：恒成立，（10分）令函數(shù)的對(duì)稱軸是，當(dāng)時(shí)，取得最小值（12分），即，.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（14分）用其他方法酌情給分.20．（1）解：因?yàn)?，所以，?分，若結(jié)果正確，此步不寫不扣分）令，則有，即，解得或；（3分）（2）證明：任取，（4分）則,（6分）因?yàn)?，所以，?分）即，（8分）所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（9分）（3）解：若時(shí)，恒成立，即恒成立（10分）因?yàn)椋?，又函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以“恒成立”等價(jià)于“恒成立”（12分）即在上恒成立，故的取值范圍為.（14分，開(kāi)閉區(qū)間錯(cuò)扣1分）21．解：（Ⅰ），0，，，；（4分，每個(gè)2分）（Ⅱ）由于集合，，，，，且，所以中也只包含四個(gè)元素，即，，，，（6分）剩下的，所以；（8分）（Ⅲ）設(shè)，，滿足題意，其中，則，所以，，所以，因?yàn)?，由?/p>