第04講 正方形的性質(zhì)和判定（知識解讀+達(dá)標(biāo)檢測）（解析版）-A4

第頁第04講正方形的性質(zhì)和判定【題型1正方形的概念和性質(zhì)】【題型2正方形的判定】【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合】考點(diǎn)1：正方形的概念與性質(zhì)正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形?！叫蔚男再|(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）【題型1正方形形的概念和性質(zhì)】【典例1】（2023秋?順德區(qū)期末）在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，則∠CEF＝（）A．75° B．60° C．50° D．45°【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，故選：D．【變式1-1】（2023秋?禪城區(qū)期末）如圖所示，在正方形ABCD中，E是對角線AC上的一點(diǎn)．連接BE，且AB＝AE，則∠EBC的度數(shù)是（）A．45° B．30° C．22.5° D．20°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝＝67.5°．∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°．故選：C．【變式1-2】（2023秋?淄川區(qū)期末）如圖所示，在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，則EF的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，又∵OE⊥OF，∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，∴∠EOB＝∠COF，∴△BEO≌△CFO（ASA），∴BE＝CF＝3，又∵AB＝BC，∴AE＝BF＝4，∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5．故選：C．【變式1-3】（2023秋?西寧期末）如圖，正方形AOBC的邊OB，OA分別在x軸和y軸上，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)D（4，3）在BC邊上，將△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOD′，AM平分∠DAD′交OB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2.4，0）．【答案】（2.4，0）．【解答】解：連接DM，∵將△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOD′，∴AD'＝AD，D'O＝CD，∵AM平分∠DAD′交OB于點(diǎn)M，∴∠D'AM＝∠DAM，∵AM＝AM，∴△D′AM≌△DAM，∴D'M＝DM，∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)D（4，3），四邊形AOBC是正方形，∴OA＝BC＝4，BD＝3，CD＝1，設(shè)OM＝x，則D'M＝DM＝1+x，BM＝4﹣x，∴DM2＝BM2+BD2，∴（1+x）2＝32+（4﹣x）2，解得x＝2.4，∴M的坐標(biāo)為（2.4，0），故答案為：（2.4，0）．【變式1-4】（2023秋?磐石市期末）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是另一個(gè)正方形A'B'C'O的一個(gè)頂點(diǎn)．若兩個(gè)正方形的邊長均為2，則圖中陰影部分圖形的面積為1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)A′O與AB交于點(diǎn)E，C′O與BC交于點(diǎn)F，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AO＝BO，∠AOB＝90°，∠EAO＝∠FBO．∴∠AOE+∠BOE＝90°．又∠BOF+∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠BOF．所以△AEO≌△BFO（ASA）．∴四邊形EBFO面積＝△BEO面積+△BFO面積＝△BEO面積+△AEO面積＝△ABO面積．因?yàn)檎叫蜛BCD邊長為2，∴正方形面積為4，∴△ABO面積為1．所以陰影部分面積為1．故答案為1．考點(diǎn)2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：【題型2正方形的判定】【典例2】（2023?秦都區(qū)校級二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對角線互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成為正方形．故選：B．【變式2-1】（2023春?黃巖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列四個(gè)判斷不正確的是（）A．四邊形AEDF是平行四邊形 B．如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形【答案】D【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形AEDF是平行四邊形；又有∠BAC＝90°，根據(jù)有一角是直角的平行四邊形是矩形，可得四邊形AEDF是矩形．故A、B正確；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得四邊形AEDF是菱形，故C正確；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四邊形AEDF是菱形．故D錯(cuò)誤．故選：D．【變式2-2】（2023春?楚雄州期末）下列說法正確的是（）A．對角線相等的菱形是正方形 B．有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形 C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形 D．各邊都相等的四邊形是正方形【答案】A【解答】解：∵菱形是特殊的平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，∴對角線相等的菱形同時(shí)也是矩形，∴對角線相等的菱形是正方形，故A正確；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，但不一定是正方形，故B錯(cuò)誤；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，但不一定是正方形，故C錯(cuò)誤；根據(jù)菱形的判定定理，各邊都相等的四邊形是菱形，故D錯(cuò)誤，故選：A．【變式2-3】（2023春?江都區(qū)期末）小明在學(xué)習(xí)了中心對稱圖形后，整理了平行四邊形和特殊平行四邊形之間的關(guān)系圖，如圖所示，從下列條件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠DAB中，選擇其中一個(gè)條件填入（）處，補(bǔ)全關(guān)系圖，其中所有正確選項(xiàng)的序號是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】C【解答】解：根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形，可得①符合題意；矩形的對角線本身是相等的，所以添AC＝BD不能判定四邊形ABCD是正方形，故②不符合題意；根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形，可得③符合題意；由AC平分∠DAB，可證明矩形ABCD的四邊相等，根據(jù)四邊相等的矩形是正方形，可得④符合題意，所以所有正確選項(xiàng)的序號是①③④．故選：C．【變式2-4】（2023春?遷安市期末）如圖，一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：a．兩組對邊分別相等b．一組對邊平行且相等c．一組鄰邊相等d．一個(gè)角是直角順次添加的條件：①a→c→d②a→b→c③b→d→c，則正確的添加順序是（）A．僅① B．①② C．①③ D．②③【答案】C【解答】解：①a→c→d，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的四邊形是菱形，有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，符合題意；②a→b→c．只能判定四邊形是菱形，不能判定四邊形是正方形，不符合題意．③b→d→c，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形，符合題意．故選：C．【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合】【典例3】（2023春?秦淮區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝3，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵點(diǎn)E是正方形ABCD對角線上的點(diǎn)，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四邊形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值為6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．【變式3-1】（2023春?建昌縣期末）如圖，Rt△ABC兩條外角平分線交于點(diǎn)D，∠B＝90°，過點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形BFDE是正方形；（2）若BF＝6，點(diǎn)C為BF的中點(diǎn)，直接寫出AE的長．【答案】2．【解答】（1）證明：如圖所示：過點(diǎn)D作DH⊥AC，∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠E＝∠F＝∠B＝90°，∴四邊形BFDE是矩形，∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，∴DE＝DH，∵CD平分∠ACF，DF⊥BC，DH⊥AC，∴DH＝DF，∴DE＝DF，∴四邊形BFDE是正方形；（2）解：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝∠DHC＝90°，由（1）∠E＝∠F＝90°，DE＝DH，DH＝DF，∴∠AHD＝∠DHC＝∠E＝∠F＝90°，在Rt△AED和Rt△AHD中，，∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL），∴AE＝AH，同理可以證明Rt△DFC≌Rt△DHC（HL），∴CH＝CF，∵BF＝6，C為BF中點(diǎn)，∴BC＝CF＝CH＝3，∵四邊形BFDE是正方形，∴BE＝BF＝6，設(shè)AE＝x，則AB＝BE﹣AE＝6﹣x，AC＝AH+CH＝x+3，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解之得：x＝2，∴AE的長為2．【變式3-2】（2023春?青海月考）如圖，已知菱形ABCD，E、F是對角線BD所在直線上的兩點(diǎn)，且∠AED＝45°，DF＝BE，連接CE、AE、AF、CF．（1）求證：四邊形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的周長．【答案】（1）證明見解答過程；（2）4．【解答】解：（1）連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵BE＝DF，∴BE+OB＝DF+DO，∴FO＝EO，∴EF與AC垂直且互相平分，∴四邊形AECF是菱形，∴∠AEF＝∠CEF，又∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形；（2）∵菱形AECF是正方形，BD＝4，BE＝3，∴OD＝2，∴FD＝3，∴EF＝10，∴AC＝10，∴OC＝5，∴CD＝＝＝，∴菱形ABCD的周長＝4CD＝4．答：菱形ABCD的周長為4．【變式3-3】（2022春?贛縣區(qū)期末）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求證：四邊形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四邊形EFMN的周長．【答案】（1）證明過程見解答；（2）20．【解答】（1）證明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四邊形EFMN是菱形，∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四邊形EFMN是正方形；（2）解：∵AB＝7，AE＝3，∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，∴EN＝＝5，∴正方形EFMN的周長＝4×5＝20．【變式3-4】（2022春?覃塘區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明過程見解析；（2）17．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝45°，∴∠AFD＝∠AEB，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又BE＝1，∠B＝90°，∴由勾股定理得，，∵四邊形ABCD是正方形，∴．【變式3-5】（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，DF∥AC．（1）求證：四邊形AFDE為正方形；（2）若AD＝2，求四邊形AFDE的面積．【答案】（1）見解答．（2）4．【解答】（1）證明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD．∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD．∴∠EDA＝∠EAD．∴AE＝DE．∴四邊形AFDE是菱形．∵∠BAC＝90°，∴四邊形AFDE是正方形．（2）解：∵四邊形AFDE是正方形，AD＝2，∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2．∴四邊形AFDE的面積為2×2＝4一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?沈丘縣期末）用邊長為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的（）A． B． C． D．不能確定【答案】A【解答】解：讀圖可得，陰影部分的面積為原正方形的面積的一半，則陰影部分的面積為1×1÷2＝；是原正方形的面積的一半；故選：A．2．（2023?陵城區(qū)校級一模）如圖，在正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，連接AE、CE，∠BCE＝70°，則∠EAD為（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∵DE＝DE，∴△AED≌△CED（SAS），∴∠EAD＝∠ECD，又∵∠BCE＝70°，方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．方法2：∴∠BEC＝65°，∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，即65°＝45°+∠ECD，∴∠ECD＝20°，∴∠EAD＝20°．故選：C．3．（2023春?許昌期末）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．四個(gè)角都是90° B．四邊相等 C．對角線相等 D．對角線互相平分【答案】B【解答】解：∵正方形的性質(zhì)為：對邊平行且相等，四條邊相等，四個(gè)角為直角，對角線互相垂直平分，相等，且每條對角線平分一組對角，矩形的性質(zhì)為：對邊平行且相等，四個(gè)角為直角，對角線互相平分，相等，∴正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是：四邊相等，故選：B．4．（2023?江津區(qū)二模）如圖，延長正方形ABCD邊B至點(diǎn)E，使AE＝BD，則∠E為（）A．22.5° B．25° C．30° D．45°【答案】A【解答】解：連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝BD，且∠CAB＝45°，又∵BD＝AE，∴AE＝CA，∴∠E＝∠ACE，∵∠CAB＝∠ACE+∠E＝2∠E＝45°，∴∠E＝22.5°．故選：A．5．（2022秋?周村區(qū)期末）在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，這個(gè)條件可以是（）A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC【答案】A【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴當(dāng)BC＝CD時(shí)，四邊形ABCD是正方形，故選：A．6．（2023秋?于洪區(qū)期末）小明用四根相同長度的木條制作了一個(gè)正方形學(xué)具（如圖1），測得對角線，將正方形學(xué)具變形為菱形（如圖2），∠DAB＝60°，則圖2中對角線AC的長為（）A．20cm B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，AC＝10cm，∴AB＝AD＝AC＝10cm，在圖2中，連接BD交AC于O，∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm，∴△ABD是等邊三角形，則BD＝10cm，∵四邊形ABCD是菱形，∴BO＝＝5cm，AO＝CO，AC⊥BD，∴AO＝＝＝5（cm），∴AC＝2AO＝10（cm），故選：C．7．（2023春?武漢期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A（0，1），B（2，0）均在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（1，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，4）【答案】B【解答】解：過C作CH⊥x軸于H，如圖：∵A（0，1），B（2，0），∴OA＝1，OB＝2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠CBH＝∠BCH，∵∠AOB＝∠BHC＝90°，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴OA＝BH＝1，OB＝CH＝2，∴OH＝OB+BH＝3，∴C（3，2）；故選：B．8．（2023春?方城縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上，AE⊥DP于點(diǎn)E，CF⊥DP于點(diǎn)F，若AE＝4，CF＝7，則EF＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC＝90°，CD＝DA，∴∠CDF+∠ADE＝90°，∵AE⊥DP，CF⊥DP，∴∠AED＝∠DFC＝90°，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠CDF＝∠DAE，在△CDF和△DAE中，∵∠DFC＝∠AED＝90°，∠CDF＝∠DAE，CD＝DA，∴△CDF≌△DAE（AAS），∴CF＝DE＝7，DF＝AE＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故選：C．9．（2023春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊△ABE，連接DE，則∠EDB的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．22.5° D．30°【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝∠ABE＝60°，在△ADE中，AD＝AE，∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝90°+60°＝150°，∴∠EDB＝（180°﹣150°）＝15°，故選：A．10．（2023春?五蓮縣期末）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長為1，則△CEF的周長為（）A．14 B．16 C．18 D．12【答案】B【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F為DE的中點(diǎn)，∴OF為△DBE的中位線，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周長為EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED＝，∴△CEF的周長為EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故選：B．二．填空題（共5小題）11．（2023春?泰興市期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線AC上的一點(diǎn)，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分別為F、G，已知EG＝1，EF＝3，則BE的長度為．【答案】．【解答】解：如圖所示，連接DE，GF，∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°，∠ADC＝90°，又∵CE＝CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），∴BE＝ED，∵EF⊥CD，EG⊥AD，∴∠EGD＝∠GDF＝∠DFE＝90°，∴四邊形GEFD是矩形，∴GF＝DE，在Rt△EFG中，EG＝1，EF＝3，∴FG＝，∴，故答案為：．12．（2023秋?白銀期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E在邊BC上，AF⊥AE交CD的延長線于點(diǎn)F，則四邊形AECF的面積為4．【答案】4．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠DAF＝90°﹣∠DAE＝∠BAE∵∠ADF＝∠ABE＝90°，∴△ADF≌△ABE（ASA），∴△ADF的面積＝△ABE的面積，∴四邊形AECF的面積＝△ADF的面積+四邊形ADCE的面積＝△ABE的面積+四邊形ADCE的面積＝正方形ABCD的面積＝22＝4．故答案為：4．13．（2022秋?錦江區(qū)期末）小穎將能夠活動的菱形學(xué)具活動成為圖1所示形狀，并測得AC＝5，∠B＝60°，接著，她又將這個(gè)學(xué)具活動成為圖2所示正方形，此時(shí)A'C'的長為5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AC＝5，∴AB＝BC＝5，∵四邊形A′B′C′D′為正方形，∴∠A′B′C′＝90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，∴A′C′＝＝5，故答案為：5．14．（2023春?孝義市期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，請你添加一個(gè)條件使它是正方形，你添加的條件是∠ABC＝90°（答案不唯一）．【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）．【解答】解：根據(jù)有一個(gè)內(nèi)角為90°的菱形是正方形可知添加的條件∠ABC＝90°（答案不唯一），故答案為：∠ABC＝90°（答案不唯一）．15．（2023春?西豐縣期中）如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作射線OM，ON，分別交CD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EOF＝90°，連接EF給出下列結(jié)論：①△COE≌△BOF；②四邊形OECF的面積為正方形ABCD面積的；③EF平分∠OEC；④DE2+BF2＝EF2．其中正確的是①②④（填序號）．【答案】①②④．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠BOF，∴△COE≌△BOF（ASA），故①正確；②由①全等可得四邊形CEOF的面積與△OCD面積相等，∴四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的，故②正確；③∵△COE≌△BOF，∴OE＝OF，∴∠OFE＝∠OEF＝45°，∵∠CEO≠90°，∴∠OEF≠∠CEF，故③錯(cuò)誤；④∵△COE≌△BOF，∴CE＝BF，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∴DE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DE2+BF2＝EF2，故④正確；綜上所述，正確的是①②④，故答案為：①②④．三．解答題（共3小題）16．（2023秋?禮泉縣期末）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CM＝DN．求證：四邊形EFMN是正方形．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：四邊形E