新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)課件新人教A版必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.2直線與平面垂直第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)習(xí)任務(wù)1．通過(guò)直觀感知，歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明．(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)2．能用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單的空間線面位置關(guān)系問(wèn)題．(邏輯推理)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01黑板所在的平面與地面所在的平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？由此，你能得到什么樣的一般結(jié)論呢？

知識(shí)點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的____，那么這條直線與另一個(gè)平面____符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

交線垂直思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β. (

)(2)若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β. (

)(3)若平面α不垂直于平面β，則平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β. (

)×√√關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用類型2線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用類型1面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】如圖，已知V是△ABC所在平面外一點(diǎn)，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC.求證：AB⊥BC.

[證明]

如圖，在平面VAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥VB于點(diǎn)D.∵平面VAB⊥平面VBC，且交線為VB，∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.∵VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC.∵AD∩VA＝A，且VA?平面VAB，AD?平面VAB，∴BC⊥平面VAB.∵AB?平面VAB，∴AB⊥BC.[母題探究]若將本例中的條件變?yōu)椋浩矫鎂AB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB.求證：VA⊥BC.[證明]

∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC?平面ABC，CA⊥AB，∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA.同理，BA⊥VA.又AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，∴VA⊥BC.

反思領(lǐng)悟

在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒(méi)有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣便把面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．求證：(1)BG⊥平面PAD；[證明]

由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.[證明]

由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，∴AD⊥PB.類型2線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用【例2】如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點(diǎn)E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；[證明]

如圖，在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于點(diǎn)F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于點(diǎn)G，同理可證DG⊥PA.∵DG，DF都在平面ABC內(nèi)，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)當(dāng)點(diǎn)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形．[證明]

如圖，連接BE并延長(zhǎng)交PC于點(diǎn)H.∵點(diǎn)E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴PC⊥AE.∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.反思領(lǐng)悟

垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化直線與直線垂直(線線垂直)、直線與平面垂直(線面垂直)、平面與平面垂直(面面垂直)之間可以相互轉(zhuǎn)化，它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可用框圖來(lái)表示．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA.[證明]

由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)0312341．已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的是(

)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βD

[A項(xiàng)中缺少了條件l?α，故A錯(cuò)誤．B項(xiàng)中缺少了條件α⊥β，故B錯(cuò)誤．C項(xiàng)中缺少了條件α∩β＝m，l⊥m，故C錯(cuò)誤．D項(xiàng)具備了面面垂直的性質(zhì)定理中的全部條件，故D正確．]√1234√2．已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一點(diǎn)M，作ME⊥AB于點(diǎn)E，則(

)A．ME⊥平面ABCD

B．ME?平面ABCDC．ME∥平面ABCD

D．以上都有可能A

[因?yàn)镸E?平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.]1234

√

12344．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________．

回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．面面垂直的性質(zhì)定理包含哪些條件？[提示]

面面垂直的性質(zhì)定理必須滿足四條，缺一不可，即①面面垂直；②面和面的交線；③有一條線和交線垂直；④這一條線必須在其中一個(gè)面內(nèi)，這樣才能證明這條線垂直于另一平面，即將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直