2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（天津?qū)Ｓ脺y(cè)試范圍：人教A版2019必修第一冊(cè)第一-三章）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（天津）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章5．難度系數(shù)：0.6。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，連結(jié)，因，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，于是，.故選B.2．過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】與直線平行的直線方程可設(shè)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是，故選A3．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為，則，解得，即拋物線的準(zhǔn)線為，故選.4．在平行六面體中，其中，則（

）A．12 B． C．6 D．【答案】D【解析】根據(jù)條件，以，，作為一組基底，因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，所以，所?故選D.5．已知圓與圓相交，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則其圓心，半徑，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則其圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A相交，所以，即，解得，所以的取值范圍為.故選A.6．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作一條漸近線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)與另一條漸近線交于點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】利用已知條件求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)到漸近線的距離，結(jié)合可以得到點(diǎn)到漸近線的距離為，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求出與的關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率.【解析】由題意知，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，，過點(diǎn)且與漸近線垂直的直線方程為，聯(lián)立，可解得，點(diǎn)到漸近線的距離，因?yàn)?，所以點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，即，所以，即雙曲線的離心率為.故選D．7．如圖所示，ABCD—EFGH為邊長(zhǎng)等于1的正方體，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足，則P點(diǎn)到直線BC的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，，，所以點(diǎn)P到的距離．故選B.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓(r>0)上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓上，則r的取值范圍是（

）A．(2，+∞) B．[2，+∞) C．(2，8) D．[2，8]【答案】D【解析】圓心坐標(biāo)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由，可得，所以圓關(guān)于直線對(duì)稱圓的方程為，則條件等價(jià)為：與有交點(diǎn)即可，兩圓圓心為，，半徑分別為，3，則圓心距，則有，由得，由得，綜上：，所以r的取值范圍是，故選D.9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M到直線和的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】雙曲線的漸近線，右焦點(diǎn)，依題意，，解得，因此拋物線的焦點(diǎn)為，方程為，其準(zhǔn)線為，由消去x并整理得：，，即直線與拋物線相離，過點(diǎn)F作于點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)M，過M作于點(diǎn)Q，交直線于點(diǎn)N，則有，在拋物線上任取點(diǎn)，過作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，連，如圖，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，所以拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M到直線和的距離之和的最小值為.故選D第Ⅱ卷二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．10．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為__________．【答案】【解析】直線恒過定點(diǎn)，而圓的圓心為，半徑為2，可得在圓內(nèi)，經(jīng)過點(diǎn)與線段垂直的弦的長(zhǎng)度最短，此時(shí)弦長(zhǎng)為．故答案為：．11．如圖，正四棱柱中，設(shè)，點(diǎn)在線段上，且，則直線與平面所成角的正弦值是__________.【答案】/【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角大小為，則，故答案為：12．已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則的值為__________.【答案】1【解析】依題意可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離，由勾股定理可知，，代入化簡(jiǎn)可得，且，解得．故答案為：．13．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)和連線的斜率之積等于，記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：與交于，兩點(diǎn)，則的方程為__________；若則直線的斜率為__________．【答案】【解析】令，由題意得：，即得，設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)，，聯(lián)立曲線E與直線的方程，整理得：，，∴，而，代入整理：，即有或(舍去），故.故答案為：；14．如圖，在平行六面體中，，，點(diǎn)E為線段上靠近于點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，，則__________（用含有，，的表達(dá)式表示）；若點(diǎn)G為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】/2.75【解析】由題意得；設(shè),則，，由題意可知，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即則的最小值為，故答案為：；.15．若對(duì)圓上任意一點(diǎn)，的取值與無關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】設(shè)，則可以看作點(diǎn)到直線，與到直線的距離之和的倍．因?yàn)榈娜≈蹬c無關(guān)，所以上述距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無關(guān)．如圖，當(dāng)直線m平移時(shí)，點(diǎn)P到直線m，l的距離之和均為m與l間的距離，即此時(shí)圓在兩直線之間．當(dāng)直線m與圓相切時(shí)，，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）．所以，即．故答案為：三、解答題：本題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（14分）已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，.(1)求邊所在直線的方程；(2)求邊上的高所在直線的方程．【解析】（1）直線的斜率為，直線的方程為，即.（7分）（2）由（1）知直線的斜率為，所以由垂直關(guān)系可得邊高線的斜率為，因?yàn)樯系母哌^點(diǎn)，所以上的高線方程為,化為一般式可得：.（14分）17．（15分）已知，.(1)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值;(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）解：因?yàn)?，，所以。∵，，解得；?分）（2）因?yàn)?，所以，所以，解?（15分）18．（15分）已知雙曲線過點(diǎn)，它的漸近線方程為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)和是這雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在這雙曲線上，且，求的大小.【解析】（1）解：根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程為，；雙曲線過點(diǎn)，將的坐標(biāo)代入可得，解得，則所求的雙曲線方程為；（7分）（2）解：設(shè)，，則，又由雙曲線的幾何性質(zhì)知，即有，又，所以是直角三角形，則．（15分）19．（15分）已知拋物線：與離心率為的橢圓：的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.（Ⅰ）求與的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在第一象限內(nèi)，橢圓上是否存在點(diǎn)，使過作的垂線交拋物線于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€方程為，則準(zhǔn)線方程為：，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以有，解得：，拋物線方程為：.則或，且點(diǎn)在橢圓上，有，又橢圓離心率為，即，即，聯(lián)立求解：，所以橢圓方程為.（6分）（Ⅱ）由題意，直線斜率存在且大于0，設(shè)直線的方程為：，因?yàn)?，則有直線的方程為：，由得：，即；由得：，即.（10分）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)樵诘谝幌笙迌?nèi)，滿足，又，所以有，，所以，即為線段中點(diǎn)，所以，即，無解，所以不存在點(diǎn)的坐標(biāo)使得.（15分）20．（16分）如圖，四棱錐中，側(cè)棱平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面是直角梯形，.(1)求證：平面；(2)求異面直線和所成角的余弦值；(3)點(diǎn)在線段上，平面和平面的夾角為，求的值.【解析】（1）證明：平面，以為原點(diǎn)，