數(shù)學(xué)教案：圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精示范教案eq\o（\s\up7(），\s\do5（整體設(shè)計(jì)）)教學(xué)分析本節(jié)教材展示大量幾何體的實(shí)物、模型、圖片等，讓學(xué)生感受圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征，從整體上認(rèn)識(shí)空間幾何體，再深入細(xì)節(jié)認(rèn)識(shí)，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．值得注意的是：由于沒(méi)有點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的有關(guān)知識(shí)，所以本節(jié)的學(xué)習(xí)不能建立在嚴(yán)格的邏輯推理的基礎(chǔ)上，這與以往的教材有較大的區(qū)別，教師在教學(xué)中要充分注意到這一點(diǎn)．本節(jié)教學(xué)盡量使用信息技術(shù)等手段，向?qū)W生展示更多具有典型幾何結(jié)構(gòu)特征的空間物體，增強(qiáng)學(xué)生的感受．三維目標(biāo)1．掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形,提高空間想象能力和幾何直觀能力．2．能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)建立幾何模型研究空間圖形，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征．教學(xué)難點(diǎn)：歸納圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o（\s\up7（)，\s\do5(教學(xué)過(guò)程)）導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.在小學(xué)和初中,我們已經(jīng)接觸到了圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球，那么這些幾何體有什么特征性質(zhì)呢？教師點(diǎn)出課題．設(shè)計(jì)2。從古至今，各個(gè)國(guó)家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，現(xiàn)有各城市大廈的旋轉(zhuǎn)酒吧、旋轉(zhuǎn)餐廳，上海東方明珠塔上的兩個(gè)球形建筑等．它們都是獨(dú)具匠心、整體協(xié)調(diào)的建筑物，是建筑師們集體智慧的結(jié)晶．今天我們?nèi)绾螐臄?shù)學(xué)的角度來(lái)看待這些建筑物呢？教師點(diǎn)出課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問(wèn)題)）（1)觀察下圖所示的幾何體，分別是圓柱、圓錐、圓臺(tái),那么圓柱、圓錐、圓臺(tái)有什么結(jié)構(gòu)特征呢?（2)閱讀教材,給出幾何體的軸、高、底面、側(cè)面、母線(xiàn)的定義．討論結(jié)果：（1）通過(guò)觀察可以看出，圓柱、圓錐和圓臺(tái)可以分別看作以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸,將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體(如下圖）．（2)旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸；在軸上的這條邊（或它的長(zhǎng)度）叫做這個(gè)幾何體的高；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做這個(gè)幾何體的底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做這個(gè)幾何體的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做側(cè)面的母線(xiàn)．如上圖中,直線(xiàn)O′O，SO是軸，線(xiàn)段O′O，SO是高，A′A，SA是母線(xiàn)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問(wèn)題）)eq\a\vs4\al（1球是大家非常熟悉的幾何體，那么球集合具有什么特征性質(zhì)呢？，2閱讀教材,給出球心、球的半徑和直徑的定義？,3球的截面是什么形狀？具有什么性質(zhì)?,4閱讀教材，什么叫球面上的兩點(diǎn)距離？)討論結(jié)果：（1)讓我們做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，研究半圓運(yùn)動(dòng)的軌跡是怎樣的空間圖形．通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn),球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，球面圍成的幾何體，叫做球（如下圖)．(2)形成球的半圓的圓心叫球心；連結(jié)球面上一點(diǎn)和球心的線(xiàn)段叫球的半徑；連結(jié)球面上兩點(diǎn)且通過(guò)球心的線(xiàn)段叫球的直徑．如下圖中點(diǎn)O為球心，OA為球的半徑,AB為球O的直徑．一個(gè)球用表示它的球心的字母來(lái)表示，例如球O.球面也可以看作空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．（3）用一個(gè)平面α去截半徑為R的球O（下圖)，不妨設(shè)平面α水平放置且不過(guò)球心，OO′為平面α的垂線(xiàn),并與平面α交于點(diǎn)O′，OO′＝d，則對(duì)于平面α與球面的交線(xiàn)上任意一點(diǎn)P，都有O′P＝eq\r（R2－d2）,是一個(gè)定值．這說(shuō)明截面與球面的交線(xiàn)是在平面α內(nèi)，并且到定點(diǎn)O′的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．因此平面α截球面所得到的交線(xiàn)是以O(shè)′為圓心，以r＝eq\r（R2－d2)（R是球的半徑）為半徑的一個(gè)圓．也就是說(shuō)，截面是一個(gè)圓面（圓及其內(nèi)部)．如果平面α過(guò)球心，則d＝0，r＝R.截面是半徑等于球的半徑的一個(gè)圓面．球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓；被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的小圓．當(dāng)我們把地球看作一個(gè)球時(shí)，經(jīng)線(xiàn)就是球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；赤道是一個(gè)大圓，其余的緯線(xiàn)都是小圓(如左下圖）．(4）在球面上,兩點(diǎn)之間的最短距離,就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度．事實(shí)上，人們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離．例如，右上圖中劣弧eq\x\to（PQ)的長(zhǎng)度就是P，Q兩點(diǎn)的球面距離．飛機(jī)、輪船都是盡可能地以大圓弧(劣?。楹骄€(xiàn)航行的．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問(wèn)題））eq\a\vs4\al(閱讀教材，給出組合體的定義.）討論結(jié)果：我們觀察周?chē)奈矬w,除了柱、錐、臺(tái)、球等基本幾何體外，還有大量的幾何體是由柱、錐、臺(tái)、球等基本幾何體組合而成的．這些幾何體叫做組合體．如下圖所展示的機(jī)械可以看成是由一些基本幾何體構(gòu)成的組合體．對(duì)組合體可以通過(guò)把它們分解為一些基本幾何體來(lái)研究．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例））思路1例1用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上下底面半徑的比是1∶4，截去的圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)(下圖）．解:設(shè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為y，截得的圓錐底面與原圓錐底面半徑分別是x,4x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得eq\f(3，3＋y）＝eq\f（x,4x），解此方程得y＝9。因此，圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為9cm.點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是利用截面三角形來(lái)解決問(wèn)題．圓錐的母線(xiàn)、高、底面半徑構(gòu)成直角三角形．變式訓(xùn)練1．(2008湖北,理3）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π,則球的體積為(）A.eq\f（8π，3)B.eq\f（8\r（2)π,3）C．8eq\r（2）πD.eq\f（32π，3)解析：設(shè)球半徑為R，截面小圓的半徑為r,則πr2＝πr＝1。又R2＝12＋r2＝2，∴R＝eq\r（2）?！郪＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2)π，3）.答案:B2．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積等于392cm2，母線(xiàn)與軸的夾角是45°,求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線(xiàn)長(zhǎng)和底面半徑．分析：這類(lèi)題目應(yīng)該選取軸截面研究幾何關(guān)系．解：圓臺(tái)的軸截面如下圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為xcm和3xcm,延長(zhǎng)AA1交OO1的延長(zhǎng)線(xiàn)于S.在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，則∠SAO＝45°。所以SO＝AO＝3x。所以O(shè)O1＝2x.又eq\f(1,2）（6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7（負(fù)值舍去），所以圓臺(tái)的高OO1＝14cm，母線(xiàn)長(zhǎng)l＝eq\r(2）OO1＝14eq\r（2)cm,而底面半徑分別為7cm和21cm。答：圓臺(tái)的高14cm，母線(xiàn)長(zhǎng)14eq\r(2)cm，底面半徑分別為7cm和21cm.例2我國(guó)首都北京靠近北緯40°.求北緯40°緯線(xiàn)的長(zhǎng)度（單位：km，地球半徑約為6370km，結(jié)果保留四位有效數(shù)字)．解：如下圖,設(shè)A是北緯40°圈上的一點(diǎn),AK是它的半徑，所以O(shè)K⊥AK。設(shè)c是北緯40°的緯線(xiàn)長(zhǎng)，因?yàn)椤螦OB＝∠OAK＝40°，所以c＝2π·AK＝2π·OA·cos∠OAK＝2π·OA·cos40°≈2×3。1416×6370×0。7660≈3.066×104（km）．即北緯40°的緯線(xiàn)長(zhǎng)約為3。066×104km。點(diǎn)評(píng)：赤道是地球的大圓，緯線(xiàn)（東西方向）是地球的小圓．變式訓(xùn)練1．圓心到球的截面距離d＝3cm,截面圓的半徑r＝4cm,則球的半徑R＝________cm。解析：截面半徑、球的半徑、球心到截面距離構(gòu)成直角三角形，則R2＝d2＋r2,即R2＝32＋42＝25，∴R＝5.答案：52．（2008四川高考，8)（理）設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點(diǎn)，且NP＝MN＝OM,分別過(guò)N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三個(gè)圓,則這三個(gè)圓的面積之比為（)A．3∶5∶6B．3∶6∶8C．5∶7∶9D．5∶8∶9（文）設(shè)M是球O半徑OP的中點(diǎn)，分別過(guò)M、O作垂直于OP的平面，截球面得兩個(gè)圓，則這兩個(gè)圓的面積比值為(）A.eq\f(1，4)B.eq\f（1,2）C.eq\f（2,3)D。eq\f（3，4）解析：(理)設(shè)過(guò)N、M、O且垂直于OP的三個(gè)圓的半徑分別為r1，r2，R，則r1＝eq\r（R2－\f(2,3)R2)＝eq\f(\r（5），3)R，r2＝eq\r（R2－\f(1,3)R2)＝eq\f（2\r（2)，3)R.∴三個(gè)圓的面積比等于它們的半徑平方之比,即（eq\f（\r（5），3)R）2∶（eq\f（2\r（2),3)R)2∶R2＝5∶8∶9。(文)如下圖所示，∵M(jìn)為OP中點(diǎn)，∴OM＝eq\f（R，2）.∴MA＝eq\r（OA2－OM2）＝eq\r(R2－\f(R，2)2）＝eq\f(\r(3)，2)R.∴小圓面積S1＝π·（eq\f(\r(3),2）R)2，大圓面積S2＝πR2.∴兩圓面積比為eq\f（S1，S2）＝eq\f(3，4）。答案：（理)D（文)D思路2例3說(shuō)出下列幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征:解：(1）由圓錐與圓臺(tái)構(gòu)成的組合體．(2）由棱錐和四棱柱構(gòu)成的組合體．點(diǎn)評(píng):本題主要考查組合體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及簡(jiǎn)單幾何體的判斷方法．變式訓(xùn)練1.(2008浙江高考，理14）如左下圖，已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r（3),則球O的體積等于________．解析:如右上圖，據(jù)題意可知，球O即棱長(zhǎng)為eq\r(3）的正方體外接球，其半徑r＝eq\f(\r（\r（3)2＋\r（3）2＋\r（3)2),2)＝eq\f（3，2）,V＝eq\f(4，3）πr3＝eq\f（9,2)π.答案:eq\f（9,2）π2．下圖所示是某單位公章，這個(gè)幾何體是由簡(jiǎn)單幾何體中的________組成的．答案：半球、圓柱、圓臺(tái)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))1．下圖所示幾何體由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面,下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得．現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則所截得的圖形可能是(）A．（1)(2)B．(1）(3）C．(1）(4)D．(1）（5)答案：D2．將一個(gè)邊長(zhǎng)分別是2cm和5cm、兩鄰邊夾角為60°的平行四邊形繞其5cm邊上的高所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是(寫(xiě)出一種情況)________．答案：高為eq\r（3),兩底半徑分別為4，5的圓臺(tái)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升)）1.（2008陜西高考，文8）長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的各頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上,其中AB∶AD∶AA1＝2∶1∶eq\r(3），則A，B兩點(diǎn)的球面距離為()A.eq\f(π,4）B。eq\f（π，3)C。eq\f(π,2)D.eq\f(2π，3）解析：由題意知，長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，此時(shí)具有兩個(gè)性質(zhì)：①長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為球體的直徑(由題意，直徑為2)；②長(zhǎng)方體的中心就是球心O。先由性質(zhì)①:BD1＝eq\r(AB2＋AD2＋AA\o\al(2，1))＝2，再結(jié)合條件“AB∶AD∶AA1＝2∶1∶eq\r(3)",可設(shè)AB＝2k，AD＝k，AA1＝eq\r(3)k，所以有eq\r(4k2＋k2＋3k2）＝2,解得k＝eq\f（\r(2）,2)(負(fù)值舍去)．因此AB＝eq\r(2），AD＝eq\f(\r(2），2).再由性質(zhì)②：O是球心同時(shí)也是BD1的中點(diǎn)，∴OB＝eq\f(1,2）BD1＝OA＝1,而OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°.再由球面距離的定義，AB的球面距離就是扇形AOB的劣弧長(zhǎng)．由弧長(zhǎng)公式可得eq\x\to（AB）＝eq\f(90×π×1，180)＝eq\f(π,2).∴AB的球面距離為eq\f(π，2)。答案：Ceq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)））本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征;2．組合體的構(gòu)成．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)）)本節(jié)P13練習(xí)A4，5題；P16練習(xí)A2題．eq\o(\s\up7()，\s\do5（設(shè)計(jì)感想））本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì),重點(diǎn)突出了學(xué)生的“自主性”和“探究性"．因此在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)注意多留給學(xué)生思考的時(shí)間,不要直接給出結(jié)論．eq\o（\s\up7(),\s\do5(備課資料)）知識(shí)總結(jié)：1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征比較,如下表所示：結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺(tái)定義兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體稱(chēng)為棱柱有一面為多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱