數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)第五章§數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入走進(jìn)學(xué)科思想“數(shù)形結(jié)合思想”是本章最具代表性的數(shù)學(xué)思想，借助復(fù)平面使復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而使復(fù)數(shù)實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化,為解決復(fù)數(shù)問題搭建起了一個(gè)極其重要的學(xué)習(xí)平臺(tái)，比如復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)來表示，同時(shí)還可用平面向量來表示.其次,“化歸思想”也是本章中極為重要的一個(gè)數(shù)學(xué)思想.在處理復(fù)數(shù)問題時(shí),通常設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi（x,y∈R）,它在復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)之間架起橋梁,把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化。本章導(dǎo)讀知識(shí)要點(diǎn)重要指數(shù)鏈接考題學(xué)習(xí)策略復(fù)數(shù)概念及復(fù)數(shù)相等★★★★P311，例4（2007海南、寧夏高考，文15）；P311，例5(2006四川高考，理)在學(xué)習(xí)過程中,注意與實(shí)數(shù)有關(guān)概念、性質(zhì)加以對(duì)比,加深對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解,注意體會(huì)復(fù)數(shù)相等的條件在化復(fù)數(shù)問題為實(shí)數(shù)問題中所起到的作用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算★★★★★P299,例1(2006浙江高考，理2）；P300，例5(2007廣東高考，理2文2）；P300，例6（2007高考全國Ⅰ，理2）；P300,例7（2007高考全國Ⅱ，理3）學(xué)習(xí)本節(jié)應(yīng)加強(qiáng)與實(shí)數(shù)有關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系與對(duì)比:學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)加減法的幾何學(xué)意義時(shí),注意聯(lián)系向量的加法的平行四邊形法則（三角形法則）;學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則與復(fù)數(shù)的加減法一樣,可按與兩個(gè)多項(xiàng)式相乘類似的辦法進(jìn)行，而不必專門記憶公式；學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)除法時(shí)，常采用將分母實(shí)數(shù)化的方法,另外要注意運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)及模的有關(guān)性質(zhì)復(fù)數(shù)的應(yīng)用★★★★P312，例7(2006上海高考，理5）；P312，例8(2006上海春季高考，18)；P313，例9（2005高考全國Ⅲ，理13）關(guān)鍵要抓住復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)、原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量（復(fù)數(shù)0與原點(diǎn)、零向量對(duì)應(yīng)）三者之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并充分利用好復(fù)數(shù)模的幾何意義§1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)數(shù)是16世紀(jì)人們?cè)谘芯壳蠼庖辉?、三次方程的問題時(shí)引入的.現(xiàn)在它已在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)以及其他科學(xué)里獲得了廣泛的應(yīng)用。復(fù)數(shù)的初步知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi),它與平面解析幾何、三角函數(shù)、指數(shù)和對(duì)數(shù)等也有密切的聯(lián)系,為解決一些問題提供了方便。高手支招1細(xì)品教材一、虛數(shù)單位i狀元筆記i就是-1的一個(gè)平方根,-i是-1的另一個(gè)平方根.1.我們把平方等于-1的數(shù)用i表示，規(guī)定i2=-1，其中的i叫做虛數(shù)單位。虛數(shù)單位的引入是為了使方程x2+1=0,即x2=—1有解，使實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算總可以實(shí)施（即讓負(fù)數(shù)能開平方根），實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充就從引入平方等于-1的“新數(shù)”開始。2。i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的加、乘運(yùn)算仍然成立。i可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則混合運(yùn)算,是擴(kuò)充數(shù)集的原則之一，這里只提加、乘運(yùn)算，不提減、除運(yùn)算，并不是對(duì)減、除運(yùn)算不成立,這和后面在講復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算時(shí)，只對(duì)加法和乘法法則作出規(guī)定，而把減法、除法運(yùn)算分別定義為加法、乘法的逆運(yùn)算的做法一致的，即在四則運(yùn)算中突出加、乘運(yùn)算,這樣處理更為科學(xué)、合理，分清了主次。二、復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)集我們把形如a+bi（a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。其中i做虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a，b∈R｝叫做復(fù)數(shù)集。2。復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部（1)復(fù)數(shù)通常用字母z來表示，即z=a+bi(a，b∈R）,這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部,分別用Rez與Imz表示，即a=Rez,b=Imz?！臼纠繉懗鱿铝袕?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù),哪些是純虛數(shù)。4,2—3i，0,+i，5+i，6i.思路分析:要指出這些復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，我們首先要弄清楚這些復(fù)數(shù)的完整形式，如2-3i本身已是復(fù)數(shù)的完整形式，其實(shí)部與虛部一目了然，然而像4，6i等形式簡化的復(fù)數(shù)，在指出它們的實(shí)部與虛部時(shí)可先寫出它們的完整的復(fù)數(shù)形式,如4=4+0i,那么，我們便馬上得出4的實(shí)部是4，虛部為0；6i=0+6i,則我們馬上可知其實(shí)部是0,虛部是6.解：4的實(shí)部為4，虛部為0；2—3i的實(shí)部為2,虛部為—3;0的實(shí)部為0,虛部為0；+i的實(shí)部為，虛部為;5+i的實(shí)部為5，虛部為;6i的實(shí)部為0,虛部為6。4,0是實(shí)數(shù)，2—3i,+i,5+i,6i是虛數(shù)，其中6i是純虛數(shù)。狀元筆記1.實(shí)數(shù)集R和虛數(shù)集都是復(fù)數(shù)集C的真子集，且R∪虛數(shù)集=C,R∩虛數(shù)集=.2.z=a+bi（a,b∈R）的虛部是b，而不是bi。3。實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，但是復(fù)數(shù)不一定是實(shí)數(shù)，它可能是虛數(shù).（2)對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi,當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí),它是實(shí)數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)b≠0時(shí),叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)。即:【示例】實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m(m-1）+（m-1）i是(1)實(shí)數(shù)，（2)虛數(shù)，（3)純虛數(shù)。思路分析：由m∈R可知,m（m-1）和m—1都是實(shí)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)a+bi是實(shí)數(shù),虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以分別確定m的值。解：（1)當(dāng)m—1=0，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)。(2)當(dāng)m-1≠0,即m≠1時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).(3)當(dāng)m(m-1)=0，且m-1≠0,即m=0時(shí),復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)。狀元筆記學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)概念時(shí),要注意復(fù)數(shù)是“實(shí)數(shù)部分"與“虛數(shù)部分”的復(fù)合體，這是一種二元化的記數(shù)形式的數(shù)。三、復(fù)數(shù)相等的條件1.復(fù)數(shù)相等(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等（a=c、b=d）.記作a+bi=c+di.即a+bi=c+di（2)根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義知，在a=c且b=d兩式中，如果有一個(gè)不成立，那么a+bi≠c+di。（3)一個(gè)復(fù)數(shù)等于零的充要條件是這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部均為零.即a+bi=0【示例】已知（x+y）+(x—2y）i=(2x—5)+（3x+y)i,求實(shí)數(shù)x,y的值。思路分析：要求實(shí)數(shù)x,y的值,我們只要根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件,使等式兩邊的實(shí)部與虛部分別相等,列出方程組,從而解得實(shí)數(shù)x，y的值.解：根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得狀元筆記復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的重要依據(jù),是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化這一重要數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)。復(fù)數(shù)的引入實(shí)現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充。2。復(fù)數(shù)的大小兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小,但是兩個(gè)復(fù)數(shù)至少有一個(gè)為虛數(shù)時(shí),不可以比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)可以比較大小,那么,這兩個(gè)復(fù)數(shù)必定全是實(shí)數(shù)。四、復(fù)平面1.用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可知,任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）唯一確定，而有序?qū)崝?shù)對(duì)（a,b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.因此,可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a，b)來表示復(fù)數(shù)z=a+bi。如右圖，原點(diǎn)O（0，0)表示實(shí)數(shù)0,x軸上的點(diǎn)A(—2,0)表示實(shí)數(shù)，y軸上的點(diǎn)B(0,1）表示純虛數(shù)i，點(diǎn)C(1，2)表示復(fù)數(shù)1+2i等。狀元筆記復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了聯(lián)系復(fù)數(shù)和解析幾何的橋梁,使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法來解決,而幾何問題可以用復(fù)數(shù)方法來解決(即數(shù)形結(jié)合法）.復(fù)平面內(nèi),一對(duì)共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。2。復(fù)平面的定義當(dāng)直角坐標(biāo)平面用來表示復(fù)數(shù)時(shí),就叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù),除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。3。復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面的對(duì)應(yīng)每一個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都有唯一的點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來,在復(fù)平面內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)也都有唯一的復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合是一一對(duì)應(yīng)的,即任一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b)是對(duì)應(yīng)的。狀元筆記復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及向量三者之間建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是給予復(fù)數(shù)幾何解釋的依據(jù).這里要特別注意到向量是以原點(diǎn)為起點(diǎn)的，否則，就談不上一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)槠矫嫔吓c相等的向量有無窮多個(gè)。五、復(fù)數(shù)的向量表示1。復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與向量三者之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系因?yàn)閺?fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的，而復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）與以原點(diǎn)為起點(diǎn)、以Z(a,b)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng),所以復(fù)數(shù)z=a+bi也與向量是一一對(duì)應(yīng)的.復(fù)數(shù)z=a+bi、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a,b）和平面向量之間的關(guān)系可用下圖來表示。這樣,復(fù)數(shù)z=a+bi就可以用向量來表示.為方便起見，常把復(fù)數(shù)z=a+bi說成點(diǎn)Z或向量，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)?！臼纠吭趶?fù)平面內(nèi)，分別用點(diǎn)和向量表示下列復(fù)數(shù):4，2+i,-i,-1+3i，3-2i。解:如下圖，點(diǎn)A,B，C，D,E分別表示復(fù)數(shù)4,2+i,—i,-1+3i，3—2i。與之對(duì)應(yīng)的向量可用,,來表示。2。復(fù)數(shù)的模設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z（a,b)，點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離叫做復(fù)數(shù)的?；蚪^對(duì)值，記作｜z｜.由向量長度的計(jì)算公式得｜z|=｜a+bi|=.兩個(gè)不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小?！臼纠恳阎獜?fù)數(shù)z1=3+4i,z2=—1+5i,試比較它們模的大小.思路分析：要比較兩復(fù)數(shù)模的大小，