數(shù)學(xué)教材梳理任意角的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)1。任意角的三角函數(shù)（1）任意角的三角函數(shù)由初中所學(xué)可知銳角的三角函數(shù)是通過直角三角形定義的.但角的概念推廣以后，用直角三角形定義一個(gè)角的三角函數(shù)就有了一定的局限性。在上一節(jié)的學(xué)習(xí)中我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中研究了任意角.同樣,我們也可以在直角坐標(biāo)系中定義任意角的三角函數(shù)。聯(lián)想發(fā)散初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)是用直角三角形邊的比值來定義的，受直角三角形的約束,不能類似地定義任意角的三角函數(shù)。如果建立平面直角坐標(biāo)系，就可用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)，以進(jìn)一步研究它的性質(zhì)。對(duì)于一個(gè)任意角α，讓其頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在α的終邊上任取(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(x,y）。記P到原點(diǎn)的距離為r，則P與原點(diǎn)的距離r=（如圖1-2圖1-2當(dāng)α為銳角時(shí)，過P作PM⊥x軸于M，則三角形OMP為直角三角形，則由銳角三角函數(shù)的定義可得sinα=,cosα=，tanα=。此定義與初中所學(xué)的三角函數(shù)的定義實(shí)質(zhì)相同.一般地，對(duì)任意α我們規(guī)定：①比值叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=；②比值叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=；③比值叫做α的正切,記作tanα，即tanα=.此外，比值叫做α的余切，記作cotα=；比值叫做α的正割,記作secα=；比值叫做α的余割，記作cscα=.由初中所學(xué)的三角形相似的知識(shí)可知對(duì)于確定的角α，比值和都是唯一確定的，因此正弦和余弦都是角α的函數(shù)。當(dāng)α=+kπ，k∈Z時(shí),角α的終邊與和—的終邊相同，都落在y軸上，此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x為0，比值無意義,即此時(shí)tanα無意義，除此之外，對(duì)于確定的角α(α≠+kπ,k∈Z),比值也是唯一確定的，所以正切也是角α的函數(shù)。正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)都稱為三角函數(shù).聯(lián)想發(fā)散函數(shù)是由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三部分構(gòu)成的，三角函數(shù)的自變量是角，比值是函數(shù)值，“求正弦”“求余弦”“求正切"等是對(duì)應(yīng)法則.深化升華對(duì)于任意角的三角函數(shù)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①角是“任意角”,當(dāng)β=2kπ+α（k∈Z）時(shí)，β與α的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等；②實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用.③三角函數(shù)是以“比值"為函數(shù)值的函數(shù)；三角函數(shù)的值的大小僅與角有關(guān)，而與終邊上所取的P點(diǎn)的位置無關(guān)，即對(duì)于確定的角α，這些比值都不會(huì)隨點(diǎn)P在角α的終邊上的位置的改變而改變.④r＞0，但x、y的正負(fù)卻隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定（今后將專門研究).誤區(qū)警示sinα、cosα、tanα等三角函數(shù)的記法表示一個(gè)整體，離開自變量α的sin、cos、tan等都是沒有意義的.例如sinα并不表示“sin”與“α”的乘積，就像函數(shù)“f(x)”不表示“f”與“x"的乘積一樣，sinα是一個(gè)比值，如sin，它表示的正弦值，即sin=.同理，cosα、tanα的意義也是一樣的。(2)三角函數(shù)值的符號(hào)由初中所學(xué)過的知識(shí)我們知道銳角的三角函數(shù)均為正值，現(xiàn)在我們把銳角擴(kuò)充為任意角，并且用坐標(biāo)定義了任意角的三角函數(shù)，則任意角的三角函數(shù)的符號(hào)又是怎樣的呢？要回答這個(gè)問題，這就用到了三角函數(shù)的定義：sinα=；cosα=；tanα=.由于r為正值,則角α的正弦值的符號(hào)與y的符號(hào)相同；角α的余弦值的符號(hào)與x的符號(hào)相同;角α的正切值的符號(hào)取決于x、y的符號(hào),當(dāng)x、y相同時(shí)正切值為正值，當(dāng)x、y符號(hào)相異時(shí)正切值為負(fù)值.所以,當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí),由于角α終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)均為正值,故角α的三角函數(shù)為正值；當(dāng)角的終邊在第二象限時(shí)，由于角α終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正值，橫坐標(biāo)為負(fù)值,則角的正弦值為正值，其他的三角函數(shù)值為負(fù)值；當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，由于角α終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)均為負(fù)值，則角的正切值為正值,其他的三角函數(shù)值為負(fù)值;當(dāng)角的終邊在第四象限時(shí)，由于角α終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正值,縱坐標(biāo)為負(fù)值,則角的余弦值為正值，其他的三角函數(shù)值為負(fù)值。學(xué)法一得三角函數(shù)的符號(hào)是由角終邊所在象限所確定的，要想掌握三角函數(shù)的符號(hào),應(yīng)掌握各象限中的點(diǎn)及坐標(biāo)軸上點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)。記憶要訣綜合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，從取正號(hào)方面來看,可記憶為：“一全正，二正弦，三正切，四余弦",即“一全正"是指在第一象限的各三角函數(shù)值均為正；“二正弦”指的是在第二象限只有正弦值為正值；“三正切”指的是在第三象限只有正切值為正值；“四余弦”指的是在第四象限只有余弦值為正值.2.有向線段與三角函數(shù)線(1）有向線段規(guī)定了方向(即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的線段稱為有向線段。類似地，可以把規(guī)定了正方向的直線稱為有向直線,例如數(shù)軸就是有向直線.當(dāng)有向線段AB在有向直線l上或與有向直線l平行時(shí),根據(jù)有向線段AB與有向直線l的方向相同或相反，分別把它的長(zhǎng)度添上正號(hào)或負(fù)號(hào)所得的數(shù)叫做有向線段的數(shù)量，記為AB，為了區(qū)分有向線段和它的數(shù)量，一般在有向線段前加上“有向線段”。誤區(qū)警示有向線段AB書寫時(shí)不能寫成BA，這種寫法是錯(cuò)誤的.這是因?yàn)樵跁鴮懹邢蚓€段時(shí),一定要將起點(diǎn)寫在前而終點(diǎn)寫在后。深化升華當(dāng)有向線段的方向與有向直線的方向相同時(shí)，有向線段的數(shù)量為正數(shù)；當(dāng)有向線段的方向與有向直線的方法相反時(shí)，有向線段的數(shù)量為負(fù)數(shù).（2)三角函數(shù)線設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，由于角α的三角函數(shù)值與點(diǎn)P在角終邊上的位置無關(guān)，所以為了簡(jiǎn)單起見，取r=1，即選取角α的終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn)O,半徑等于單位長(zhǎng)度的圓)的交點(diǎn)為P點(diǎn)，則sinα=y，cosα=x.如圖1-圖1又不難得出有向線段OM、OP的長(zhǎng)度分別為｜x|、｜y|。若x＞0,則OM看作與x軸同向，OM具有正值x；若x＜0，OM看作與x軸反向，OM具有負(fù)值x，所以總有OM=x，同理，有MP=y，所以有sinα=MP,cosα=OM。則有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線和余弦線。過點(diǎn)A(1,0）作單位圓切線，與α角的終邊（角的終邊在第一或第四象限如圖1-2-3中①④）或其反向延長(zhǎng)線（角的終邊在第二、三象限，如圖1-2—3中①②)交于T（1，y′）,則當(dāng)角的終邊在y軸的右側(cè)時(shí)，tanα==y′；當(dāng)角的終邊在y軸的左側(cè)時(shí)，T（—1，-y′)在角的終邊上，此時(shí)tanα==y′.又有向線段AT的長(zhǎng)度為｜y′｜，當(dāng)y′＞0時(shí)，有向線段AT與y軸方向相同,此時(shí)有y′=AT;當(dāng)y′＜0時(shí)，有向線段AT與y軸方向相反，此時(shí)有y′=AT,所以tanα=有向線段MP、OM、AT統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.誤區(qū)警示書寫正弦線時(shí)，一定要注意不能寫成PM，而應(yīng)寫成MP.這是因?yàn)槿呛瘮?shù)線為有向線段，當(dāng)線段中含有原點(diǎn)時(shí),原點(diǎn)為起點(diǎn)；當(dāng)線段中不含原點(diǎn)時(shí)，垂足為起點(diǎn)，對(duì)于正切線應(yīng)注意其起點(diǎn)坐標(biāo)始終是(1，0).當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，正弦線和正切線分別變成一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，余弦線變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)，而正切線不存在。辨析比較三角函數(shù)線都是有向線段,當(dāng)它們的方向與坐標(biāo)軸的方向相同時(shí),對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值為正值；當(dāng)它們的方向與坐標(biāo)軸的方向相反時(shí)，對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值為負(fù)值.正弦線的起點(diǎn)在x軸上,且與y軸平行，余弦線的起點(diǎn)是原點(diǎn)，它在x軸上，正切線的起點(diǎn)為(1,0），它與y軸平行。學(xué)法一得學(xué)習(xí)三角函數(shù)線，應(yīng)從它的方向和它與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系入手.由于角的集合和實(shí)數(shù)的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此三角函數(shù)可以看作是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，在弧度制下三角函數(shù)的定義域如下：y=sinαRy=cosαRy=tanα{α｜α≠kπ+(k∈Z）｝利用三角函數(shù)線，我們可以比較兩個(gè)角同名三角函數(shù)值的大小、求已知三角函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的角、解簡(jiǎn)單的三角不等式、求三角函數(shù)的定義域等.同時(shí)它也是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)。深化升華正弦線、余弦線、正切線解釋了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的幾何意義，是從“形”的方面研究三角函數(shù)，直觀、形象.3。同角三角函數(shù)關(guān)系（1)公式的推導(dǎo)方法一：設(shè)角α終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(cosα,sinα)，又由OP的長(zhǎng)度為1不難得出sin2α+cos2α=1；由正切函數(shù)的定義,可知當(dāng)α≠+kπ，k∈Z時(shí)，有tanα=。方法二：由于sinα=,cosα=，tanα=,cotα=，當(dāng)α≠kπ+（k∈Z）時(shí),有=·==tanα;又x2+y2=r2，所以sin2α+cos2α=（)2+(）2===1。由上我們可得以下公式：sin2α+cos2α=1,tanα=。(2）公式的變形如：sin2α+cos2α=1可變形為sin2α=1-cos2α、sinα=±（α為第一、二象限角取正號(hào)；α為第三、四象限角時(shí)取負(fù)號(hào)）等.=tanα可變形為sinα=tanα·cosα、cosα=等.深化升華對(duì)于同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)注意：①“同角"的概念與角的表達(dá)形式無關(guān),它可以是正角、負(fù)角和零角,也可以是具體的角,還可以是字母或代數(shù)式。如:sin23α+cos23α=1，=tan等，均成立.②上述關(guān)系（公式）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)才能成立.③據(jù)此，由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的其余各三角函數(shù)值,且因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式,最終需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)解的情況，因此應(yīng)盡可能少用（實(shí)際上,至多只用一次）。誤區(qū)警示對(duì)于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式應(yīng)以“同角”為大前提，比如sin2α+cos2β=1就不一定成立了，這是因?yàn)榈仁街械膬蓚€(gè)角不相同.此外等式tan=也不成立，這是因?yàn)閠an不存在，因此,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式必須在使三角函數(shù)有意義的范圍內(nèi)使用。（3）公式的應(yīng)用利用同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2α+cos2α=1，tanα=，我們可以求值——即已知一個(gè)三角函數(shù)值求該角的其他三角函數(shù)值；化簡(jiǎn)含有三角函數(shù)的式子和證明三角恒等式。①求值利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值常見的有三種類型：1）已知角α的某一三角函數(shù)值及角α所在的象限，求角α的其他三角函數(shù)值。事實(shí)上，如果已知角α的某一三角函數(shù)值及角α所在的象限,那么角α就是確定的,α的其他三角函數(shù)值也就隨之確定了。解此類題的難點(diǎn)是如何根據(jù)角α終邊所在的象限求出它的其他三角函數(shù)值，其突破點(diǎn)是正確運(yùn)用平方根及象限角的概念.2）已知角α的某一三角函數(shù)值，但不知角α終邊所在的象限,求角α的其他的三角函數(shù)值。事實(shí)上，如果已知角α的某一三角函數(shù)值，但不知角α終邊所在的象限，那么角α的終邊位置一般有兩個(gè).解此類題的難點(diǎn)是如何根據(jù)角的三角函數(shù)值確定角的終邊位置,進(jìn)而求出其他的三角函數(shù)值,其突破點(diǎn)還是正確運(yùn)用平方根及象限角的概念.3)已知角α的某一三角函數(shù)值是用字母給出的，且沒有指定角α所在的象限，求角α的其他三角函數(shù)值。解此類題的一般步驟是:首先對(duì)字母分類;其次在各類中按第（2）類中的解法解題.誤區(qū)警示已知角α的某一三角函數(shù)值，求角α的其他三角函數(shù)值時(shí)，極易產(chǎn)生遺漏，比如已知sinα=，在求cosα的值時(shí),極易得出cosα=這一錯(cuò)誤結(jié)論。產(chǎn)生遺漏的原因：一是沒有確定好或不去確定角α終邊的位置；二是利用平方關(guān)系時(shí)，漏掉了負(fù)的平方根。②化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)實(shí)際上是一種沒有指定答案的恒等變形，但要盡量把結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式.化簡(jiǎn)的思路是：盡可能地化為同類三角函數(shù)后再化簡(jiǎn).對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿足下述要求：函數(shù)的種類盡可能地少；次數(shù)盡可能地低；盡可能地化為積的形式；盡可能地不含三角函數(shù);盡可能地將根號(hào)內(nèi)的式子移到根號(hào)外.③利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式證明三角恒等式證明恒等式的過程實(shí)質(zhì)上就是通過分析、轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊的差異來促成兩邊統(tǒng)一的一個(gè)過程。常見的證明方法有：1)從等式的一邊開始,證明它等于另一邊；2)先證得另一個(gè)等式成立，從而推出需要證明的等式成立;3）證明左、右兩邊都等于同一個(gè)式子；4）比較的方法證明三角恒等式,即證明兩邊差為零或商為1。4。三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（1)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式由三角函數(shù)的定義可知,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，即有sin(2kπ+α)=sinα，k∈Z,cos(2kπ+α）=cosα，k∈Z,tan(2kπ+α）=tanα,k∈Z,我們稱此組公式為公式一，此外這組公式也可以記為sin(360°k+α）=sinα,k∈Z,cos(360°k+α）=cosα,k∈Z,tan（360°k+α)=tanα,k∈Z。公式一的作用是可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0°—360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù).若角α的終與角β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(如圖1-圖1-2-4sinβ=—sinα，cosβ=cosα。又-α與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，故有sin（—α）=—sinα,cos(-α)=cosα,tan（-α)=—tanα,我們稱此組公式為公式二.由此公式,我們可知正弦函數(shù)和正切函數(shù)是奇函數(shù)，而余弦函數(shù)是偶函數(shù)。聯(lián)想發(fā)散由誘導(dǎo)公式二的推導(dǎo)過程，可知正弦、余弦函數(shù)的圖象分別關(guān)于原點(diǎn)和y軸對(duì)稱。這個(gè)性質(zhì)就是我們后面所講的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性.公式二的作用是將負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù)。若角α的終邊與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱（如圖1—圖1-2-5sinβ=sinα，cosβ=—cosα.又角π—α與α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，故有sin(π—α）=sinα,cos(π-α)=—cosα,tan（π-α)=—tanα，我們稱此組公式為公式三,此外這組公式也可以記為sin(180°—α)=sinα,cos（180°—α)=-cosα,tan(180°-α）=-tanα,公式三的作用是將第二象限角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為第一象限角的三角函數(shù).若角α的終邊與角β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（如圖1-圖1sinβ=—sinα，cosβ=—cosα。又角π+α與α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故有sin(π+α)=—sinα,cos（π+α)=-cosα，tan（π+α）=tanα,我們稱此組公式為公式四，此外這組公式也可以記為sin(180°+α）=-sinα，cos(180°+α）=-cosα，tan（180°+α）=tanα，公式四的作用是將第三象限角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為第一象限角的三角函數(shù).記憶要訣對(duì)上面四組誘導(dǎo)公式，可簡(jiǎn)記為“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.具體方法如下：此四組誘導(dǎo)公式不改變函數(shù)的名稱，在判斷符號(hào)時(shí)，將α視為銳角，然后確定α＋k·360°（k∈Z)，—α，180°±α的終邊位置,利用它們的終邊位置來確定符號(hào).比如sin(180°—α）與sinα的關(guān)系,若將α視為銳角,則180°-α是第二象限，正弦值為正值,則有sin(180°-α)=sinα.若角α的終邊與角β的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱（如圖1—圖1-2-7sinβ=cosα,cosβ=sinα。又角-α與α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，故有sin(-α）=cosα，cos（—α）=sinα.我們稱此組公式為公式五,此外這組公式也可以記為sin(90°—α)=cosα,cos（90°-α)=sinα.又sin（+α）=sin［-（—α)]=cos（—α)=cosα,cos（+α)=cos［—(—α)］=sin(—α）=—sinα.故有sin（+α）=cosα，cos（+α）=—sinα，我們稱此組公式為公式六，此外這組公式也可以記為sin（90°+α）=cosα，cos（90°+α）=—sinα。以上六組公式我們稱它們?yōu)槿呛瘮?shù)的誘導(dǎo)公式。記憶要訣對(duì)上面兩組誘導(dǎo)公式,可簡(jiǎn)記為“函數(shù)名稱變互余，符號(hào)看象限”.具體方法如下:這兩組誘導(dǎo)公式改變函數(shù)的名稱，在判斷符號(hào)時(shí)，將α視為銳角，然后確定90°±α的終邊位置,利用它們的終邊位置來確定符號(hào).比如sin（90°-α）與cosα的關(guān)系,若將α視為銳角,則90°—α是第一象限,余弦值為正值,則有sin（90°—α)=cosα.深化升華上面六組誘導(dǎo)公式可歸納為k·90°±α（k∈Z)的三角函數(shù)值與α三角函數(shù)值之間的關(guān)系，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)得角α的同名三角函數(shù)值,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)得角α的異名三角函數(shù)值。然后在前面加上一個(gè)把角α看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)?？珊?jiǎn)記為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。辨析比較誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊具有對(duì)稱關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系。它實(shí)現(xiàn)了不同角的三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，而同角三角函數(shù)關(guān)系式所揭示的是同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)的則是同角的三角函數(shù)名稱之間的轉(zhuǎn)化.對(duì)于誘導(dǎo)公式應(yīng)注意：公式中的角α為任意角，它可以是正角、負(fù)角和零角,也可以是具體的角,還可以是字母或代數(shù)式。(2）誘導(dǎo)公式的作用與應(yīng)用誘導(dǎo)公式的作用在于化任意角的三角函數(shù)為0°—90°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù).其步驟為：將任意角的三角函數(shù)化為相應(yīng)正角的三角函數(shù),再化為0°—360°范圍內(nèi)角的三角函數(shù),進(jìn)而化為銳角的三角函數(shù)。這一轉(zhuǎn)化過程充分體現(xiàn)了將未知化為已知的化歸思想.記憶要訣上述步驟可簡(jiǎn)記為“負(fù)化正,大化小,最后化銳角".利用誘導(dǎo)公式,我們可以處理三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明的有關(guān)問題。典題·熱題知識(shí)點(diǎn)1任意角的三角函數(shù)例1（1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(7m，-24m(2）已知角α的終邊經(jīng)過P(4a,-3a思路分析：本題主要利用三角函數(shù)的定義.(1)中點(diǎn)位置確定，則可先設(shè)出一點(diǎn)，求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用定義求解即可；（2）中點(diǎn)的坐標(biāo)中含參數(shù)，則需分類討論.解：（1）由定義及已知可得r==-25m，所以sinα==，cosα==。所以sinα+cosα=。(2）由于r==5|a｜。若a＞0，r=5a,則sinα==-,cosα==，∴2sinα+cosα=。若a＜0，r=—5a，則sinα==,cosα==-,∴2sinα+cosα=.方法歸納如果角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)已經(jīng)確定，則可根據(jù)三角函數(shù)的定義求其三角函數(shù)值。若點(diǎn)坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，可根據(jù)具體情況來決定是否進(jìn)行分類討論.例2已知點(diǎn)P（x,3）在角α的終邊上，且sinα=,求tanα。思路分析:由三角函數(shù)的定義可以通過sinα=得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo),從而再用tanα=求出tanα的值.解：由于r=，則有sinα==，由此可得x=±4。所以tanα===±.方法歸納本題的關(guān)鍵是根據(jù)角α的正弦列出方程，從而根據(jù)三角函數(shù)的定義來求角的正切值。例3已知θ是第三象限角且cos＜0，問是第幾象限角？思路分析：解題的關(guān)鍵是將角θ的范圍表示出來，進(jìn)而表示出的范圍，再根據(jù)cos＜0來確定的終邊位置。解：由于θ是第三象限角，則有（2k+1)π＜θ＜（2k+1）π+(k∈Z）,∴kπ+＜＜kπ+(k∈Z)，則是第二或第四象限角.又∵cos＜0，則是第二或第三象限角?！啾貫榈诙笙藿?方法歸納已知角的范圍可知其三角函數(shù)的符號(hào),反過來，已知一個(gè)角的三角函數(shù)的符號(hào)，我們也可以判斷出其大致范圍.深化升華當(dāng)角的正弦值為正值,則角的終邊在第一、二象限或y軸的正半軸上，當(dāng)角的正弦值為負(fù)值,則角的終邊在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上;當(dāng)角的余弦值為正值，則角的終邊在第一、四象限或x軸的正半軸上，當(dāng)角的余弦值為負(fù)值,則角的終邊在第二、三象限或x軸的負(fù)半軸上；當(dāng)角的正切值為正值，則角的終邊在第一、三象限，當(dāng)角的正切值為負(fù)值，則角的終邊在第二、四象限。知識(shí)點(diǎn)2有向線段與三角函數(shù)線例4分別作出和-的正弦線、余弦線和正切線．思路分析：利用單位圓中三角函數(shù)線的作法作圖．解：(1)在直角坐標(biāo)系中作單位圓，如圖1—2—8，以O(shè)x軸為始邊作角，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，作PM⊥Ox軸，垂足為M,由單位圓與Ox軸正方向的交點(diǎn)A作Ox軸的垂線與OP的反向延長(zhǎng)線交于T點(diǎn)，則sin=MP,cos=OM,tan=AT，即的正弦線為有向線段MP,余弦線為有向線段OM,正切線為有向線段AT．圖1（2)同理可作出-的正弦線、余弦線和正切線,如圖1—2sin(—)=M1P1，cos(-)=O1M1，tan(-）=A1T1，即-的正弦線為有向線段M1P1,余弦線為有向線段O1M1,正切線為有向線段A1T1．圖1-2方法歸納三角函數(shù)線是單位圓中的有向線段，在作某角的三角函數(shù)線時(shí)，一定要先作單位圓。正弦線的起點(diǎn)在x軸上且與y軸平行，余弦線在x軸上，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)為(1,0）且與y軸平行,這就是畫三角函數(shù)線的主要依據(jù).例5已知sinα=，求出角α的終邊,然后求出角α的取值集合。思路分析:可利用單位圓中的有向線段-—三角函數(shù)線求角的取值集合.解：如圖1—2—10，已知角α的正弦值為，可知MP=，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以在y軸上取點(diǎn)(0，），過點(diǎn)作x軸的平行線，交單位圓與M、N兩點(diǎn),則OM、ON為角α的終邊，因而角α的取值集合為{α|α=2kπ+或α=2kπ+，k∈Z}.圖1方法歸納利用三角函數(shù)線求已知三角函數(shù)值所對(duì)的角的集合時(shí)，首先在［0，2π)內(nèi)找出符合條件的角，再用終邊相同的角的集合表示出來即可。例6利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：（1）sin與sin;(2)tan與tan.思路分析：畫出三角函數(shù)線，利用三角函數(shù)比較大小.解：如圖1-2-11，作出和的正弦線和正切線，在圖中，P1M1和AT1分別為的正弦線和正切線，P2M2和AT圖1-2由圖可知sin＞sin，tan＜tan.方法歸納三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長(zhǎng)度是三角函數(shù)值的絕對(duì)值。因此,比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小,可以借助三角函數(shù)線。例7求下列函數(shù)的定義域:(1）y=;(2）y=+log2（2sinx-）。思路分析：(1）中要使根號(hào)有意義；(2）中要使根號(hào)和對(duì)數(shù)式都有意義.解：(1）由題意得即由圖1—2-圖1｛x|+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z｝.(2)如圖1-2圖1即所以函數(shù)y=+log2（2sinx—)的定義域?yàn)椋鹸｜-＜x＜—或＜x＜或＜x＜}.方法歸納函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，求函數(shù)的定義域一般是解不等式或不等式組.在求不等式或不等式組的解集時(shí),要注意分清是求交集還是求并集。解簡(jiǎn)單的三角不等式一般是利用單位圓中的有向線段，此外解簡(jiǎn)單的三角不等式也可以利用三角函數(shù)的圖象。在求解時(shí),首先找出它在區(qū)間［0,2π］上的解集，再根據(jù)它的周期性求出其在實(shí)數(shù)范圍或其他范圍內(nèi)的解集.知識(shí)點(diǎn)3同角三角函數(shù)關(guān)系例8(1)已知α是第三象限角，且sinα=-,求角α的余弦、正切.（2）已知cosα=—，求sinα，tanα的值.（3)已知tanα是非零實(shí)數(shù)，用tanα表示sinα，cosα.思路分析:利用基本關(guān)系式、公式變形和分類討論的數(shù)學(xué)思想.解：(1）因?yàn)閟in2α+cos2α=1，所以cos2α=1-sin2α=1-(-)2=.又因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所以cosα＜0.于是cosα=—=—。從而tanα==（—)×（—）=。（2)因?yàn)閏osα＜0,且cosα≠-1,所以α是第二象限或第三象限的角。如果α是第二象限的角，則有sinα=,tanα==×（-）=—。如果α是第三象限的角，則有sinα=—，tanα=.(3)因?yàn)閟in2α+cos2α=1，所以sin2α=1—cos2α.又因?yàn)?tanα，所以tan2α===—1.于是=1+tan2α，cos2α=.由tanα是非零實(shí)數(shù)，可知角α的終邊不在坐標(biāo)軸上。從而cosα=sinα=tanα·cosα=深化升華利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，在已知一個(gè)三角函數(shù)值而求其他三角函數(shù)值時(shí),應(yīng)首先根據(jù)所給三角函數(shù)值和已知條件判斷角的終邊位置,如果沒法判斷的話應(yīng)注意分類討論.而在具體求解時(shí)應(yīng)首先利用平方關(guān)系，再利用其他關(guān)系。例9已知sinα=，cosα=,α是第四象限角,求tanα的值。思路分析：利用同角三角函數(shù)關(guān)系式.解：∵sin2α+cos2α=1，∴()2+()2=1?；?jiǎn)，整理得m（m—8）=0,∴m1=0,m2=8。當(dāng)m=0時(shí),sinα=,cosα=—(與α是第四象限角不符);當(dāng)m=8時(shí),sinα=—,cosα=,∴tanα=-.方法歸納在平時(shí)解題時(shí)要注意題中的隱含條件,如本題中就隱含著（）2+(）2=1這一條件.例10已知sinα=3cosα,求下列各式的值.(1);（2)sinαcosα；(3)3sin2α+2.思路分析：若由sinα=3cosα可得tanα=3，求sinα、cosα的值，則要將α分為一、三象限討論，那么sinα、cosα的正負(fù)號(hào)就不確定了，所以解本題要注意應(yīng)用基本關(guān)系式.對(duì)于(2)（3）兩題還應(yīng)注意“1”的代換.解：由sinα=3cosα,根據(jù)基本關(guān)系式可得tanα=3。(1).(2)∵sinαcosα===，又tanα=3,代入得sinαcosα===.(3)3sin2α+2=3sin2α+2（sin2α+cos2α）=5sin2α+2cos2α==。方法歸納這類題的解法體現(xiàn)了化歸思想的應(yīng)用,即對(duì)只含有正弦、余弦的齊次式，可根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，通過除以某一齊次項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成只含有正切的式子.這種化弦為切的技巧，有著廣泛的應(yīng)用。深化升華凡是分子、分母是某個(gè)角的正弦、余弦函數(shù)的齊次多項(xiàng)式，都可以用這個(gè)角的正切函數(shù)來表示。在三角知識(shí)中“1"的變換很多，除了平方關(guān)系之外,還有為了湊出某個(gè)公式的條件，也可以乘以“1”。例11已知f（x)=。若α∈(，π)，則f(cosα)+f（-cosα）可化簡(jiǎn)為_________________。思路解析：本題化簡(jiǎn)的主要目的是去根號(hào)，可首先“湊”同角三角關(guān)系式，以達(dá)到去根號(hào)的目的.由已知可得f(cosα)+f（-cosα)===+。又α∈（，π），f（cosα)+f(—cosα）=+=。答案：方法歸納根式型三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)目的應(yīng)化為“最簡(jiǎn)根式”或不含根號(hào)的式子。在本題化簡(jiǎn)的過程中含有絕對(duì)值,在去絕對(duì)值時(shí)一般要分類討論,由于本題中角的象限已給，故不必討論。例12求證：=。思路分析：本題的證法較多，可從左推右,可證左右歸一，也可由右推左。此題很好地體現(xiàn)了證明三角恒等式的一些常用方法。證明:（方法一)左邊===。右邊====.∴左邊=右邊，原等式成立。（方法二）左邊====+=+==右邊.(方法三）左邊=====右邊.（方法四)左邊=(tanα+sinα)·=（tanα+sinα)·=（tanα+sinα）·=(tanα+sinα）·==右邊.（方法五）∵tan2αsin2α=tan2α（1—cos2α),∴tan2αsin2α=tan2α-sin2α。∴=.方法歸納本題列舉了五種證法，其中證法一是切化弦的思想，這是利用基本式化簡(jiǎn)三角式和證明三角恒等式常用的思想方法;證法二、證法三涉及到了添項(xiàng)的方法，有一定的技巧性；證法四強(qiáng)調(diào)了一個(gè)目標(biāo)意識(shí)，即右邊有tanα+sinα這一項(xiàng)，在左邊運(yùn)算時(shí)保留這一項(xiàng)；證法五利用了證明等價(jià)命題的方法，較為簡(jiǎn)潔.例13已知x=acosα,y=bsinα(a≠0，b≠0)，求證：=1。思路分析:利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,即sin2α+cos2α=1。證明：由已知可得cosα=,sinα=,又sin2α+cos2α=1，所以有=1.方法歸納證明具有條件的三角恒等式，要樹立目標(biāo)意識(shí),仔細(xì)分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)特征，不斷調(diào)整證明過程中式子的結(jié)構(gòu)，向目標(biāo)邁進(jìn).本題中sin2α+cos2α=1起到了架設(shè)橋梁的作用.例14已知tan2α=2tan2β+1,求證:sin2β=2sin2α-1。思路分析：該題是條件恒等式的證明，關(guān)鍵是條件等式的應(yīng)用。證法一:由已知得tan2β=，則sin2β======-1=2sin2α—1。證法二:由已知tan2α=2tan2β+1，得=+1,sin2α·cos2β=2sin2β·cos2α+cos2α·cos2β，即sin2α（1-sin2β）=2sin2β·cos2α+cos2α(1-sin2β），整理得sin2β（sin2α+cos2α）=sin2α-cos2α.∴sin2β=sin2α—（1—sin2α)=2sin2α—1.方法歸納條件等式的證明一般有兩種思路，一是當(dāng)從欲證等式的一邊推向另一邊的適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)l件代入，二是直接將條件等式變形為欲證等式。例15已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），求tanθ及sin3θ—cos3θ的值.思路分析：本題主要應(yīng)用sinα±cosα與sinα·cosα的關(guān)系。解：由sinθcosθ=—，0＜θ＜π，得cosθ＜0,∴θ∈（，π）。（sinθ—cosθ）2=,得sinθ-cosθ=。聯(lián)立tanθ=—.又sin3θ-cos3θ=（）3—（—)3=，或sin3θ—cos3θ=（sinθ—cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）=×(1—)=.方法歸納當(dāng)題目的已知條件中出現(xiàn)“sinx±cosx”或“sinxcosx”時(shí),可考慮利用等式“（sinx±cosx)2=1—2sinxcosx"解題.巧妙變式在上面的題目中，直接給出了已知sinα±cosα的值，然后利用sinα±cosα與sinα·cosα的關(guān)系使題目得到解決。本題也可以變換條件,由于sinα、cosα和差與積有一定的關(guān)系，因此,也可以將它們與一元二次方程聯(lián)系在一起。例如:關(guān)于x的方程2x2—（）x+m=0的兩根為sinα和cosα，且α∈(0,2π)，(1)求+的值；(2)求m的值；(3)求方程的兩根及此時(shí)的角α.思路解析:利用同角基本關(guān)系式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題.對(duì)于(1）先將其化簡(jiǎn),再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系找出sinα和cosα之間的關(guān)系代入求值即可;對(duì)于（2)則直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解;（3)則在(2)的基礎(chǔ)上求出sinα和cosα的值，然后在(0,2π)內(nèi)找角即可.知識(shí)點(diǎn)4誘導(dǎo)公式例16求sin315°-sin(-480°)+cos(-330°)的值。思路分析:利用誘導(dǎo)公式化為銳角的三角函數(shù)值后再求值。解：原式=sin(360°—45°）+sin（360°+120°）+cos(-360°+30°）=-sin45°+sin60°+cos30°=。方法歸納應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的一般步驟：1°用“—α”公式化為正角的三角函數(shù)；2°用“2kπ+α"公式化為［0,2π]角的三角函數(shù)；3°用“π±α”或“2π-α"公式化為銳角的三角函數(shù)。例17(1）已知sin(3π+α)=—，求的值.(2）已知cos（-α）=，求cos(+α）—sin2（α—)的值．（3）已知方程sin（α-3π)=2cos(α—4π),求的值.（4)已知tan（π-α）=a2,｜c(diǎn)os(π-α)|=-cosα,求的值.思路分析：(1)（3）先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式將條件和所求化簡(jiǎn)后再求值;(2)應(yīng)注意—α與+α的關(guān)系；(4)要注意題目中的隱含條件。解：（1）∵sin（3π+α）=sin(π+α）=—sinα,∴sinα=。∴原式==—sinα=-.（2）cos(+α）=cos［π-（—α)］=-cos(—α）=-,sin2（α-）=sin2［—（—α）］=1-cos2（-α）＝1—（)2=，∴cos(+α)-sin2(α—）=--=-.(3)∵sin(α-3π)=2cos（α-4π)，∴—sin（3π-α)=2cos（4π-α).∴-sin(π-α)=2cos(-α).∴sinα=-2cosα，且cosα≠0.∴原式==-.(4）由題設(shè)：tanα=—a2≤0,｜c(diǎn)osα|=—cosα,即cosα≤0。由此：當(dāng)a≠0時(shí)，tanα＜0，cosα＜0，α為第二象限角，∴原式=—=-secα=。當(dāng)a=0時(shí)，tanα=0,α=kπ，∴cosα=±1。∵cosα≤0,∴cosα=—1.∴原式=—=1=（a=0）。綜上所述,=.方法歸納對(duì)于條件和結(jié)論比較復(fù)雜的求值問題，一般需要先將條件化簡(jiǎn)后再求值.深化升華利用誘導(dǎo)公式時(shí)要注意公式中的角是任意角，它可以是具體的數(shù),也可以是代數(shù)式,且還應(yīng)注意誘導(dǎo)公式是恒等式可以左右互推.例18求證：=-1,k∈Z。思路分析：利用誘導(dǎo)公式時(shí)，要注意對(duì)k分類討論,即分為奇數(shù)和偶數(shù).證明：若k是偶數(shù)，即k=2n（n∈Z），則左邊===-1，若k是奇數(shù),即k=2n+1（n∈Z),則左邊===—1.∴原式成立。方法歸納本題根據(jù)誘導(dǎo)公式的轉(zhuǎn)化功能，需對(duì)k進(jìn)行分類討論，即分為奇數(shù)、偶數(shù)兩類分別討論,這種分類方法是解題的需要,決不是人為隨意的構(gòu)想.例19設(shè)f（α）＝，求f（）.思路分析：化簡(jiǎn)f(α）后，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式求f（）的值.解：由于sin(360°-α）=sin[360°+(-α）］=sin（—α）=-sinα,sin（90°+α）=cosα，cos(180°+α)=—cosα，所以有f（α）===.又cos=，所以f(）=.方法歸納在求值問題中，當(dāng)所求的是一個(gè)代數(shù)式的值時(shí)，一般先化簡(jiǎn)代數(shù)式,再求值.例20判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1)f(x）=x2+cosx；（2）f（x)=xcosx+sinx。思路分析：應(yīng)用函數(shù)奇偶性的判斷及正余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式。解：(1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f（-x）=(—x）2+cos(—x)=x2+cosx=f（x）,所以函數(shù)f(x）=x2+cosx是偶函數(shù).（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(-x)=（-x）cos（—x）+sin（—x）=-xcosx-sinx=-f（x)，所以函數(shù)f（x)=xcosx+sinx是奇函數(shù).方法歸納判斷函數(shù)的奇偶性主要是利用函數(shù)奇偶性的定義，找出f（x)與f（—x)的關(guān)系，進(jìn)行判斷.深化升華函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一種性質(zhì),所以在研究函數(shù)的奇偶性時(shí)，應(yīng)首先研究函數(shù)的定義域。只有定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)才有可能具有奇偶性，否則它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。巧妙變式本例中所給的函數(shù)的解析式不需要化簡(jiǎn)就可以直接找出f(x)與f(-x）的關(guān)系進(jìn)行判斷,但有些函數(shù)在判斷其奇偶性時(shí),需要將其解析式化簡(jiǎn)后才能判斷。例如判斷函數(shù)y=Asin(+x）(A≠0)的奇偶性．思路解析：先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)的解析式化為最簡(jiǎn)形式，再利用奇偶性的定義進(jìn)行判斷.問題·探究交流討論探究問題1教材中同角基本關(guān)系式只給出“sin2α+cos2α=1”和“tanα=”兩種，結(jié)合所學(xué)過的三角知識(shí),你還能找出什么關(guān)系式？探究過程：學(xué)生甲：由于sinα=，cosα=，secα=，cscα=,則可得出sinαcscα=1,cosαsecα=1.學(xué)生乙：由于cotα=，tanα=，則可以得出tanαcotα=1，cotα==cosαcscα等一些結(jié)論.學(xué)生丙:由于x2+y2=r，則1+tan2α===sec2α.學(xué)生?。撼松厦娴慕Y(jié)論之外還有1+cot2α=csc2α,再根據(jù)上面的結(jié)論還可以得到許多不同的結(jié)論，如cos2α=、sin2α=等。探究結(jié)論：根據(jù)三角函數(shù)的定義可以得到如下一些常見的結(jié)論，如:sinαcscα=1，cosαsecα=1，tanαcotα=1,cotα=