數(shù)學(xué)教材梳理隨機現(xiàn)象隨機事件的概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、隨機事件和試驗1。隨機事件的概念在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件。比如：“李強射擊一次,不中靶”,“擲一枚硬幣,出現(xiàn)反面”,“在一定條件下,一粒發(fā)芽的種子會分多少支，1支，2支，還是3支,…”都是隨機事件。不可能事件和必然事件雖然具有穩(wěn)定性，但它們可視為隨機事件的兩個極端情況,這樣我們可完整認識隨機事件,完整地理解概率的意義。誤區(qū)警示“在一定條件下”是不可缺少的，任何事件都是在一定條件下發(fā)生的。如種子在條件（溫度、水分、土壤、陽光）下，就會發(fā)芽接穗，這是必然事件；如果沒有這些條件種子就不發(fā)芽，發(fā)芽就成了不可能事件。2.隨機試驗對于不可能事件、必然事件我們沒有必要專門研究它，生活中只要注意就行了。對于隨機事件，知道它發(fā)生的可能性的大小是非常重要的，它能為我們的決策提供關(guān)鍵性的依據(jù)。要了解隨機事件發(fā)生的可能性的大小，最直接的方法就是試驗（觀察）。隨機試驗需要滿足下述條件：（1）在相同條件下可以重復(fù)進行；(2）試驗的所有可能結(jié)果是明確知道的，并且不止一個;（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在試驗前卻不能肯定會出現(xiàn)哪個結(jié)果.二、隨機事件的概率1。頻率和概率隨機事件的頻率，指該事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，在相同條件下,大量重復(fù)試驗時，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增加，這種擺動幅度越來越小，這個常數(shù)叫做這個隨機事件的概率。概率從數(shù)量上反映了隨機事件可能性的大小.概率意義下的“可能性"是大量隨機現(xiàn)象的客觀規(guī)律,與日常所說的“可能性”是不同的，也就說單獨一次結(jié)果的不肯定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性,才是概率意義下的“可能性".辨析比較事件A的頻率所反映的雖然也是事件A發(fā)生的可能性的大小，但還不是事件A的概率.頻率是隨著試驗次數(shù)的改變而變化的。概率是一個常數(shù)。概率可以看作頻率在理論上的期望值，頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地看作事件發(fā)生的可能性的大小。2.概率的范圍由于事件A在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)至少為0，至多為n,因此頻率0≤≤1。概率也在0與1之間.歸納總結(jié)對于任一事件A,有0≤P(A）≤1，其中P（Ω）=1，P(Φ）=0,Ω表示必然事件，Φ表示不可能事件.典題·熱題知識點一概率概念的理解例1指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件?(1）某地1月1日刮西北風(fēng)；(2）當x是實數(shù)時，x2≥0；（3)手電筒的電池沒電，燈泡發(fā)亮；(4）一個電影院某天的上座率超過50%。思路分析：根據(jù)事件發(fā)生與否，由隨機事件、必然事件、不可能事件的定義作出判斷。在一定條件下，必然發(fā)生的、不可能發(fā)生的、可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件分別稱為必然事件、不可能事件、隨機事件。解:(1)（4)是隨機事件；(2）是必然事件；(3）是不可能事件。深化升華必然事件和不可能事件又稱為確定事件,反映的就是在一定條件下事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果的確定性現(xiàn)象。例2下列說法正確的是（）(1)頻數(shù)和頻率都能反映一個對象在試驗總次數(shù)中出現(xiàn)的頻繁程度.(2）每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)之和等于試驗的樣本總數(shù).(3）每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1。(4）概率就是頻率。A。(1)B。（1）（2）(4）C.(1）（2)D.（3）（4）思路分析：由于在單次試驗中隨機事件的發(fā)生具有不確定性，但在大量重復(fù)試驗中頻率又具有穩(wěn)定性,其穩(wěn)定值才是概率.這是偶然性和必然性的對立統(tǒng)一.答案：C誤區(qū)警示對于（2）和（3），并沒有說明是在同一組試驗下，在不同組的試驗中，隨機事件的頻率不一定相等,試驗次數(shù)如果很多的話，頻率值相近。知識點二隨機事件概率估計例3某射手在同一條件下進行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率(1）填寫表中擊中靶心的頻率;（2）這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？思路分析:本題利用頻率和概率的定義.事件A出現(xiàn)的頻數(shù)nA與試驗次數(shù)n的比值即為事件A的頻率，當事件A發(fā)生的頻率fn（A）穩(wěn)定在某個常數(shù)上時，這個常數(shù)即為事件A的概率。解：（1）表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0。80,0。95，0.88,0.92,0。89,0.91。（2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0。89附近,所以這個射手擊一次，擊中靶心的概率約是0。89.深化升華概率實際上是頻率的科學(xué)抽象，求某事件的概率可以通過求該事件的頻率而得之.例42個人生日在同一天的概率是____________(一年按365天計算）.思路分析：兩個人生日在同一天可能是365天中的任意一天，共有365種可能，而如果去掉限定條件,兩個人的生日均可以在任一天，共可能有365×365種.所以2個人生日在同一天的概率是.答案：變式方法如果研究3個人生日在同一天的概率呢？3個人生日在同一天依然有365種可能.而3個人的生日，其實共可能有365×365×365種。所以3個人生日在同一天的概率是。問題·探究誤區(qū)陷阱探究問題生活中，我們經(jīng)常聽到這樣的議論：“天氣預(yù)報說昨天降水概率為90％,結(jié)果根本一點雨都沒下，天氣預(yù)報也太不準確了?！碧骄窟^程：在一次試驗中某事件發(fā)生的可能性有大小,是不依人們的意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在,直觀上，我們意識到這種可能性的大小，通?？偸潜憩F(xiàn)為大量試驗中該事件出現(xiàn)的頻繁程度，在多次試驗里，出現(xiàn)頻繁的，發(fā)生的可能性大；出現(xiàn)稀少的，發(fā)生的可能性小。經(jīng)過大量試驗后，盡管頻率的值本身不確定,但隨著試驗次數(shù)的增加，頻率愈來愈穩(wěn)定在某一常數(shù)附近，試驗次數(shù)愈大,頻率與這個常數(shù)出現(xiàn)大偏差的情況越稀少，因此,可用這個常數(shù)來刻畫該事件發(fā)生的可能性的大小，把這個常數(shù)作為該事件的概率，而在一次試驗中，即使發(fā)生的概