數(shù)學(xué)教材習(xí)題點(diǎn)撥：第二章平面向量

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥復(fù)習(xí)參考題A組1．(1）√(2)√(3）×（4)×2．(1)D(2)B（3）D（4）C（5）D(6)B3．解：eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\f(1，2)（a＋b),eq\o（AB,\s\up6(→））＝eq\f(1，2）（a－b）．（第3題圖)4．解：DE＝BA＝MA－MB＝－eq\f（2，3）a＋eq\f(1，3）b，（第4題圖)AD＝eq\f(2,3）a＋eq\f（2,3）b，BC＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1，3）b，EF＝－eq\f（1，3)a－eq\f(1,3）b，F(xiàn)A＝DC＝eq\f（1,3)a－eq\f(2,3）b，CD＝－eq\f（1,3）a＋eq\f（2,3)b，AB＝eq\f(2，3）a－eq\f(1，3)b，CE＝－a＋b.5．解：（1)eq\o(AB,\s\up6（→))＝(8，－8），|eq\o(AB,\s\up6（→))|＝8eq\r（2）;（2)eq\o（OC,\s\up6（→))＝（2,－16），eq\o(OD,\s\up6（→））＝(－8,8）；(3）eq\o（OA,\s\up6(→））·eq\o（OB，\s\up6(→)）＝33.6．解：eq\o(AB,\s\up6（→))與eq\o(CD，\s\up6(→）)相等．證明如下：eq\o(AB，\s\up6(→））＝（1，0)－(0，1）＝（1，－1),eq\o(CD，\s\up6（→))＝(2，1)－（1，2）＝（1，－1),∴eq\o(AB，\s\up6（→))＝eq\o（CD,\s\up6(→)).7．解：因?yàn)锳(1，1）,B(－1，0)，C（0,1)，D(x，y),所以eq\o(AB，\s\up6(→))＝(－2,－1），eq\o(CD,\s\up6（→)）＝（x,y－1）．又因?yàn)閑q\o（AB,\s\up6(→））＝eq\o（CD，\s\up6（→）)，所以eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝－2，，y－1＝－1.))所以eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－2,,y＝0。))所以D(－2，0）．8．解：由題意知n2＝4，得n＝±2.但n＝－2時(shí),兩向量方向相反．故n＝2。9．解：因?yàn)閍＝(1，0），b＝(1,1)，所以λa＋μb＝λ（1,0)＋μ（1,1）＝(λ,0)＋（μ，μ)＝(λ＋μ，μ)．又因?yàn)閏＝λa＋μb＝(－1,0），所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（－1＝λ＋μ，,0＝μ。））所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝0.)）10．解：因?yàn)锳（1,1）,B（4,1），C(4,5)，所以eq\o（AB,\s\up6(→))＝（3，0），eq\o(AC，\s\up6（→)）＝（3，4)，eq\o（BC,\s\up6（→))＝(0，4）．所以cosA＝eq\f（\o（AB，\s\up6(→））·\o(AC，\s\up6(→)），|\o（AB，\s\up6(→）)|｜\o(AC，\s\up6（→))｜）＝eq\f（9，3×5)＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f（\o（BA,\s\up6（→))·\o（BC，\s\up6（→）)，｜\o（BA，\s\up6(→))｜|\o（BC，\s\up6(→)）｜)＝0，cosC＝eq\f(\o(CA,\s\up6（→）)·\o（CB，\s\up6（→）)，｜\o（CA，\s\up6（→））｜｜\o（CB，\s\up6(→)）｜)＝eq\f(16,5×4)＝eq\f(4，5)。11．證明:因?yàn)椋?n－m)·m＝2n·m－m2＝2×1×1×cos60°－1＝0，所以(2n－m)⊥m.其幾何意義是向量m，2n,2n－m構(gòu)成一個(gè)銳角為60°的直角三角形．12．解：a＋λb＝(1，0)＋λ（1，1）＝（1＋λ,λ)．因?yàn)椋╝＋λb）⊥a,所以（a＋λb）·a＝0，即(1＋λ，λ）·（1，0)＝0。所以1＋λ＝0.所以λ＝－1。13．解：|a＋b｜＝eq\r（（a＋b）2)＝eq\r（a2＋2a·b＋b2）＝eq\r（3＋4＋2×2×\r（3）×cos30°）＝eq\r(13），|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r（3＋4－2×2×\r（3）×\f(\r(3）,2)）＝1。14．解：cosθ＝eq\f(5,8),cosβ＝eq\f（19，20)，則θ≈51°，β≈18°。B組1．(1）A(2)D(3)B(4)C（5）C（6)C(7）D2．解：a⊥b?a·b＝0?a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2?(a＋b)2＝（a－b）2?｜a＋b|＝｜a－b|。其幾何意義是以向量為鄰邊的矩形的對(duì)角線相等．3．解:c⊥d?(a＋b)·（a－b）＝0?a2－b2＝0?a2＝b2?|a|＝｜b｜。其幾何意義是菱形的對(duì)角線互相垂直．4．解:eq\o（AM,\s\up6(→)）＝eq\f(1，2）a＋eq\f（1,2）b.5．證明：由eq\o(OP1，\s\up6（→））＋eq\o(OP2，\s\up6（→））＋eq\o(OP3,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OP1,\s\up6（→))＋eq\o（OP2，\s\up6(→））＝－eq\o（OP3，\s\up6(→)），∴|eq\o(OP1，\s\up6（→）)＋eq\o（OP2，\s\up6(→）)|＝｜－eq\o(OP3，\s\up6（→）)|＝｜eq\o(OP3，\s\up6（→)）|.∴(eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(OP2，\s\up6（→))）2＝eq\o（OP3,\s\up6（→））2，即eq\o（OP,\s\up6（→）)eq\o\al（2,1)＋eq\o（OP2,\s\up6(→)）2＋2eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2，\s\up6(→)）＝eq\o(OP3,\s\up6(→）)2。由｜eq\o（OP1，\s\up6（→)）｜＝｜eq\o(OP2，\s\up6(→)）|＝|eq\o（OP3,\s\up6(→））|＝1，得eq\o(OP1，\s\up6(→))·eq\o(OP2，\s\up6(→）)＝－eq\f（1,2)。同理可得，eq\o(OP2,\s\up6(→)）·eq\o(OP3，\s\up6（→）)＝eq\o(OP1，\s\up6（→))·eq\o(OP3,\s\up6(→）)＝－eq\f（1，2）.∴△P1P2P3為正三角形．6．解：eq\o（MN，\s\up6(→）)＝2（b－a）．7．解:(1）該人實(shí)際前進(jìn)的速度為8km/h，方向與水流間的夾角為60°；（2）該人實(shí)際游泳的方向與水流成90°＋arccoseq\f(\r(6),3)角,大小為4eq\r(2）km/h.8．解：點(diǎn)O是△ABC的垂心．9．解：（1)a2x－a1y＋a1y0－a2x0＝0.（2)向量(A，B)⊥直線Ax＋By＋C＝0.（3）當(dāng)A1B2－A2B1＝0時(shí),l1∥l2；當(dāng)A1A2＋B1B2＝0時(shí)，l1⊥l2.當(dāng)A1B2≠A2B1時(shí)，直線l1與l2相交，l1與l2的方向向量分別為v1＝(－B1，A1)，v2＝（－B2,A2)．通過兩直線l1與l2的方向向量的夾角即可求得l1與l2的夾角θ，由cosθ＝eq\f(v·v2，|v1｜|v2|)＝eq\f(A1A2＋B1B2，\r(Aeq\o\al（2，2)＋Beq\o\al（2,2))\r(Aeq\o\al（2，1）＋Beq\o\al(2，1)））。(4)如圖所示,P0(x0，y0)是直線外一定點(diǎn)，P(x,y）是直線上任意一點(diǎn),(第9題圖)由直線l:Ax＋By＋C＝0，取它的方向向量v＝（B，－A）．設(shè)n＝（A，B），因?yàn)閚·v＝(A,B)·（B，－A)＝AB－AB＝0，所以n⊥v.故稱n為l的法向量,與n同向的單位向量n0＝eq\f（n,|n|）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（A，\r（A2＋B2))，\f（B,\r（A2＋B2））))。于是，點(diǎn)P0（x0，y0）到直線Ax＋By＋C＝0的距離等于向量eq\o（PP0,\s\up6(→)）在n0方向上射影的長度d＝|eq\o（PP0,\s\up6(→)）·n0｜＝eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（（x0－x，y0－y）·\b\l