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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省深圳第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2(i為虛數(shù)單位),則|z|=(
)A.1 B.2 C.2 D.2.命題“?x∈R,ex+1>0”的否定是(
)A.?x0∈R,ex0+1≤0 B.?x∈R,ex+1≤0
C.3.下列函數(shù)中,是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(
)A.f(x)=x2?|x| B.f(x)=1x24.設(shè)a=0.42,b=log0.43,c=40.3,則a,A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b5.函數(shù)y=x2ln|x|A. B.
C. D.6.設(shè)函數(shù)f(x)=log12(x2?ax+3)在A.[72,4] B.(?∞,72]7.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則a+b的取值范圍是(
)A.[6,+∞) B.[9,+∞) C.(0,6] D.(0,9)8.設(shè)函數(shù)f(x)=?x2+4x,x≤4,|log2(x?4)|,x>4,若關(guān)于x的方程f(x)=t有四個(gè)實(shí)根x1,x2A.455 B.23 C.472 二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.若函數(shù)f(x)=13x3A.f′(1)=1 B.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)
C.曲線y=f(x)的切線的斜率可以為?2 D.點(diǎn)(1,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心10.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(?∞,?2)∪(3,+∞),則下列選項(xiàng)中正確的是A.a<0
B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<?6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx211.已知函數(shù)f(x),g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x),g′(x),若f(x+2)為偶函數(shù),y=g(x+1)?2是奇函數(shù),且f(3?x)+g(x?1)=2,則下列結(jié)論正確的是(
)A.f′(2022)=0 B.g(2023)=0
C.f(x)是R上的奇函數(shù) D.g′(x)是R上的奇函數(shù)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知冪函數(shù)f(x)=(m2?6m+9)xm滿足f′(1)=2,則13.已知正數(shù)a,b滿足a+b=2,則1a+114.已知函數(shù)y=x2?2x+2,x≥0x+ax+3a,x<0四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=2x+a2x+1是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)16.(本小題13分)
已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,anSn=2n(2n+1?2).
(1)17.(本小題15分)
在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知ac=a2+b2?c2b2,且a≠c.
(1)求證:B=2C;
(2)若18.(本小題17分)
如圖,在三棱柱ABC?A1B1C1中,平面AA1C1C⊥平面ABC,AB=AC=BC=AA1=2,A1B=6.
19.(本小題17分)
設(shè)A是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集,如果對(duì)于任意x∈A,都有x?1∈A或x+1∈A,則稱A為自鄰集.記集合An={1,2?…,n}(n>2,n∈N)的所有子集中的自鄰集的個(gè)數(shù)為an.
(1)直接寫出A4的所有自鄰集;
(2)若n為偶數(shù)且n>6,求證:An的所有含5個(gè)元素的子集中,自鄰集的個(gè)數(shù)是偶數(shù);
(3)若n≥4,求證:參考答案1.B
2.A
3.B
4.B
5.D
6.B
7.A
8.B
9.BD
10.BD
11.AD
12.4
13.2
14.(?∞,0)∪[1,+∞)
15.解:(1)因?yàn)閒(x)=2x+a2x+1,
所以f(?x)=2?x+a2?x+1=1+a?2x1+2x,
因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),
所以f(?x)+f(x)=1+a?2x1+2x+a+2x1+2x=(1+a)(1+2x)1+2x=a+1=0,
16.解:(1)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,
由anSn=2n(2n+1?2),可得n=1時(shí),a1S1=a12=2×(4?2)=4,
解得a1=2;
n=2時(shí),a2S2=17.解:(1)證明:因?yàn)閍c=a2+b2?c2b2,
所以由余弦定理可得ac=2abcosCb2=2acosCb,即b=2ccosC,
所以由正弦定理可得sinB=2sinCcosC=sin2C,
所以在△ABC中,B=2C或B+2C=π,
又因?yàn)閍≠c,
所以A≠C,
所以B=2C;
(2)在△BCD中,由正弦定理可得asin∠BDC=BDsinC,a=12,
即12sin∠BDC=BDsinC,
18.(1)證明:因?yàn)镈為AC中點(diǎn),且AB=AC=BC=2,
所以在△ABC中,有BD⊥AC,且BD=3,
又平面ACC1A1⊥平面ABC,且平面ACC1A1∩平面ABC=AC,
所以BD⊥平面ACC1A1,
又A1D?平面ACC1A1,則BD⊥A1D,
由A1B=6,BD=3,得A1D=3,
因?yàn)锳D=1,AA1=2,A1D=3,
所以由勾股定理,得AD⊥A1D,
又AC⊥BD,A1D∩BD=D,
所以AC⊥平面A1DB;
(2)解:如圖所示,以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz,
可得A(1,0,0),A1(0,0,3),B(0,3,0),
19.解:(1)A4的所有自鄰集有:{1,2,3,4},{1,2,3},{2,3,4},{1,2},{2,3},{3,4}.
證明:(2)對(duì)于An的含5個(gè)元素的自鄰集B={x1,x2,x3,x4,x5},
不妨設(shè)x1<x2<x3<x4<x5.
因?yàn)閷?duì)于?xi∈B,都有xi?1∈B
或xi+1∈B,i=1,2,3,4,5,
所以x2=x1+1,x4=x5?1,x3=x2+1
或x3=x4?1.
對(duì)于集合C={n+1?x5,n+1?x4,n+1?x3,n+1?x2,n+1?x1},
因?yàn)?≤x1<x2<x3<x4<x5≤n,所以1≤n+1?xi≤n,i=1,2,3,4,5,
n+1?x5<n+1?x4<n+1?x3<n+1?x2<n+1?x1,
所以C?An.
因?yàn)閤2=x1+1,x4=x5?1,x3=x2+1
或x3=x4?1.
所以
n+1?x2=(n+1?x1)?1,n+1?x4=(,n
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