2024-2025學年北京市朝陽區(qū)外國語學校高三上學期質量檢測二數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市朝陽區(qū)外國語學校高三上學期質量檢測二數(shù)學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若全集U=0,1,2,3,4,A=0,1,4,B=1,3A.2,3 B.1,3,4 C.1,2,3 D.0,12.關于函數(shù)fx=log2A.在R上是增函數(shù) B.在R上是減函數(shù)

C.在區(qū)間(14,+∞)上是增函數(shù) D.3.已知角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點2,3，則sin3π+α=(

)A.31313 B.?3134.函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，fx=log2A.12 B.2 C.?125.函數(shù)y=f(x)，其中f(x)=asinx+b，(x∈0,2π)，a,b∈R，它的圖象如圖所示，則y=f(x)的解析式為(

)．A.f(x)=12sinx+1，x∈0,2π B.f(x)=sinx+12，x∈0,2π6.若a，b，l是空間中三條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中真命題是(

)A.若a//β，a?α，α∩β=l，則a//l

B.若α⊥β，α∩β=l，a⊥l，則a⊥β

C.若a?α，b?β，a//b，則α//β

D.若α⊥β，a?α，b?β，則a7.已知x3?y3A.lnyx>0 B.lny?x+1>0

8.設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則“a3>a2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.光線通過一塊玻璃，強度要損失10%.設光線原來的強度為k，通過x塊這樣的玻璃以后強度為y，則經(jīng)過x塊這樣的玻璃后光線強度為：y=k?0.9x，那么至少通過(

)塊這樣的玻璃，光線強度能減弱到原來的14以下A.12 B.13 C.14 D.1510.已知無窮數(shù)列an的各項均為實數(shù)，Sn為其前n項和，若對任意正整數(shù)k>2024都有Sk>A.a1，a3，a5，…，a2n?1為等差數(shù)列，a2，a4，a6，…，a2n為等比數(shù)列

B.a1，a3，a5，…，a2n?1為等比數(shù)列，a2，a4，a6，…，a2n為等差數(shù)列

C.a1，a2，a3，…，a2024為等差數(shù)列，a2024，a2025，…，an，…二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,a2=112.已知向量a=2,1，b=?2,4，則13.已知α∈?π2,π2，且2+3sin14.設正實數(shù)x,y滿足xy=10,lgx?lgy=?34，則15.某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習，假設雙方兵力(戰(zhàn)斗單位數(shù))隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：xt=X0cos?abt?baY0sin?abtyt=Y0cos?①若X0>Y0且②若X0>Y0且③若X0④若X0其中所有正確結論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)已知函數(shù)fx(Ⅰ)若α是第二象限角，且sinα=6(Ⅱ)求函數(shù)fx的定義域和值域．17.(本小題12分)在?ABC中，已知a2(1)求角C的大??；(2)若c=22，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得?ABC存在且唯一確定，求條件①：sinA=條件②：2acos條件③：?ABC的周長是2注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18.(本小題12分)如圖．在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點．(1)求證：平面AEF⊥平面PBC；(2)若F為線段BC上靠近B的三等分點，求平面AFE與平面AFC夾角的余弦值．19.(本小題13分已知函數(shù)fx=a(1)當a=0時，求曲線y=fx在點0,f(2)當a>0時，求fx(3)在(2)的條件下，若對于任意x∈1,3，不等式12≤fx20.(本小題13分)已知函數(shù)fx=ex?12x2(1)求直線l在y軸上的截距的取值范圍：(2)設直線y=a分別與曲線y=f(x)和射線y=x?1(x∈0,+∞)交于M，N兩點，求|MN|的最小值及此時a21.(本小題13分已知An:a1,a2,?,ann≥3為有窮整數(shù)數(shù)列，若An滿足：(1)若p=?1，q=2，那么是否存在具有性質T的A5？若存在，寫出一個這樣的A(2)若p=?1，q=2，且A10具有性質T，求證：a(3)若p+q=1，求證：存在正整數(shù)k，使得對任意具有性質T的Ak，都有a1,參考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.A

6.A

7.B

8.D

9.C

10.C

11.7412.5

13.?π2或14.±2

15.①②④

16.解：(1)因為α是第二象限角，且sinα=所以cosα=?所以tanα=所以fα(2)函數(shù)fx的定義域為x化簡，得f==co==sin因為x∈R，且x≠kπ+π2，所以2x+π所以?1≤sin所以函數(shù)fx的值域為?(注：或許有人會認為“因為x≠kπ+π2，所以f

17.(1)因為a2+b可得cosC=且C∈0,π，所以C=(2)因為C=π4，c=2可得a=4sin若選條件①：因為C=π4，sinA=可得A∈π4,若選條件②：因為2acos由正弦定理可得2sin且A∈0,π，則sinA≠0，可得則A=π3，因為兩角和兩邊均已確定，根據(jù)三角形全等可知三角形存在且唯一，又因為sinB=所以?ABC的面積S?ABC若選條件③：因為?ABC的周長是2則a+b+c=a+b+22=2由余弦定理可得c2=a整理可得a2?2可知方程a2?26a+8且a1+a2=2即邊a不唯一，不合題意．綜上，只有選條件②符合題意．

18.(1)因PA=AB，E為PB中點，則AE⊥PB，又PA⊥底面ABCD，而BC?底面ABCD，則有PA⊥BC，又因BC⊥AB，AB∩PA=A，AB,PA?平面PAB，于是得BC⊥平面PAB，而AE?平面PAB，因此BC⊥AE，又BC∩PB=B，BC,PB?平面PBC，從而得AE⊥平面PBCAE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．(2)以點A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A?xyz，不妨設PA=AB=6，則A(0,0,0),E(3,0,3),F(6,2,0),P(0,0,6)，AE=(3,0,3),因PA⊥底面ABCD，則平面AFC的法向量為AP=(0,0,6)設平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，則令x=?1，得n=(?1,3,1)設平面AFE與平面AFC夾角為θ，顯然θ為銳角，則cosθ=|所以二平面AFE與平面AFC夾角的余弦值為11

19.解：(1)因為a=0，所以fx故f′x所以f0=?1，所以曲線y=fx在點0,f0處的切線方程為y+1=2x，

即(2)因為f(x)=a所以f′x因為a>0，令f′x=0，

即解得x1=?1a，x2當x變化時，f′x，fx?∞,???22,+∞f′?0+0?f單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減所以fx的單調遞減區(qū)間為?∞,?1a和2,+∞(3)在(2)的條件下，x∈1,3所以fx在區(qū)間1,2上單調遞增，在區(qū)間2,3因為對于任意x∈1,3，不等式1所以f1≥12，所以f1=ae≥12，得f2=4a+1因為e2所以e2>e3?418．

20.(1)對fx求導數(shù)，得f′x=ex?x，所以切線l的斜率為即y=ex0?x0x+設gx=1?xex+12x列表得：x?1?1,000,11g′?0?g2單調遞減1單調遞減1所以函數(shù)gx在?1,1上單調遞減，所以gxmax所以直線l在y軸上的截距的取值范圍是12(2)過M作x軸的垂線，與射線y=x?1交于點Q，所以?MNQ是等腰直角三角形．所以MN=設?x=ex?令kx=e所以kx=?′x所以?′x≥?′0=0，從而所以?xmin=?0=2所以MN的最小值為2，此時a=1．

21.(1)不存在具有性質T的A5設A5:a1,設a2?a1，a3?a2，a4?a則有a2所以?1×m+24?m=0，解得m=8所以不存在具有性質T的A5(2)設a1，a2，a3，?，a10中的最大值為M，則存在ak若存在ak，使ak=M，下證：ak，ak+1，?，a假設存在正整數(shù)mm<M使得ak，ak+1，?，a令集合B=i|ai>m，設則有ai這與ai+1所以ak，ak+1，?，a10可以取遍0若M=1，則a1，a2，a3，?，a9的取值只能為此時a1，a2，a3，?若M=2，則a1，a2，a3，?，a9的取值只能為0，此時a1，a2，a3，?若M≥3，則a1，a2，a3，?，ak中一定有異于再由ak，ak+1，?，a10可以取遍0所以a1，a2，a3，?當ak=?M，同理可證：a1，a2，?，ak從而a1，a2，a3，?(3)不妨設p<0<q，