2024-2025學(xué)年重慶市南岸區(qū)廣益中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年重慶市南岸區(qū)廣益中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線3x+3y?1=0的傾斜角為(

)A.π6 B.π3 C.2π32.已知直線l1：(a?1)x+y+1=0，l2：2ax+y+3=0，若l1//lA.?1或1 B.0或1 C.1 D.?13.設(shè)e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是(

)A.e1與e1?e2 B.e1+e2與e14.已知空間直角坐標(biāo)系O?xyz中的點(diǎn)A(2,?1,?3)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)為B，則|AB|的值為(

)A.14 B.4 C.6 D.5.如圖，四棱錐P?OABC的底面是矩形，設(shè)OA=a，OC=b，OP=c，E是棱PC上一點(diǎn)，且PE=2EC，則BEA.1

B.?1

C.?13

6.直線l的方向向量為l，平面α與β的法向量分別為m，n，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.若l⊥α，則l?m=0 B.若l//β，則l=kn

C.若α⊥β，則m?7.已知向量a=(3,?2,?3)，b=(?2,x?1,2)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是(

)A.(?5,+∞) B.(?5,73)∪(73,+∞)8.若θ∈R，則直線y=xcosθ?1的傾斜角α的取值范圍為(

)A.[π4,3π4] B.[0,二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的有(

)A.每一條直線都有且僅有一個(gè)傾斜角與之對應(yīng)

B.傾斜角為135°的直線的斜率為1

C.一條直線的傾斜角為α，則其斜率為k=tanα

D.直線斜率的取值范圍是(?∞,+∞)10.如圖所示，ABCD?A1B1CA.AC1⊥平面CB1D1

B.直線B1C與BD所成的角為60°

C.二面角C?11.在三維空間中，a×b叫作向量a與b的外積，它是一個(gè)向量，且滿足下列兩個(gè)條件：

①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b，a×b三個(gè)向量構(gòu)成右手系(A.|AB1×AC|=|AD1×DB|三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖所示，直線l1的傾斜角α1=30°，直線l1⊥13.已知兩點(diǎn)A(?3,4)，B(3,2)，過點(diǎn)P(2,?1)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則l的斜率的取值范圍為______．14.空間直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P(x0,y0,z0)且一個(gè)法向量為n=(a,b,c)的平面α的方程為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0，過點(diǎn)P(x0,y四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知：a=(x,4,1)，b=(?2,y,?1)，c=(3,?2,z)，a//b，b⊥c，求：

(1)a，b，16.(本小題12分)

如圖，已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA=AD=AB=2，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)，求證：

(1)MN//平面PAD；

(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值．17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，AB//CD，且CD=2AB=2，BC=22,∠ABC=90°，M為BC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面PDM⊥平面PAM；

(2)若二面角P?DM?A為30°，求直線PC與平面PDM18.(本小題12分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，OA⊥CD．

(1)證明：平面ABC⊥平面BCD；

(2)若E是棱AC上的一點(diǎn)，從①CE=2EA；②二面角E?BD?C大小為60°；③A?BCD的體積為3，這三個(gè)論斷中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．19.(本小題12分)

如圖2，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD的對角線互相平分，AC∩BD=O；在直角邊長為2的等腰直角△ADB中，∠ADB=90°；在等腰直角△PDB中，∠BPD=90°，M為PD的中點(diǎn)，PO⊥AC．

(1)求證：OM//平面BCP；

(2)求二面角C?BP?A的正弦值．

參考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.B

6.C

7.B

8.C

9.AD

10.AB

11.ACD

12.?13.(?∞,?1]∪[3,+∞)

14.215.解：(1)∵a∴x解得x=2，y=?4，故a=(2,4,1)，b又因?yàn)閎⊥c，所以b?c=0故c(2)由(1)可得a+c=(5,2,3)設(shè)向量a+c與b+則cos

16.(1)證明：取PD中點(diǎn)Q，連接AQ，QN，則QN//DC，QN=12DC，

又因?yàn)锳M//DC，AM=12DC，所以四邊形AMNQ為平行四邊形，

所以MN/?/AQ，因?yàn)镸N?平面PAD，AQ?平面PAD，

所以MN/?/平面PAD；

(2)解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，因?yàn)镻A=AD=AB=2，

所以P(0,0,2)，D(0,2,0)，M(1,0,0)，C(2,2,0)，PD=(0,2,?2)，PM=(1,0,?2)，PC=(2,2,?2)．

設(shè)平面PMC法向量為：n=(x,y,z)，

則n?PC=0，n?PM=0，解得x=2z，y=?z，令z=1，

17.(1)證明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB=1，CD=2，BM=CM=2，

可得AM2=3，DM2=6，

過A作AE⊥CD，垂足為E，則DE=1，AE=22，求得AD2=9，

則AD2=AM2+DM2，∴DM⊥AM．

∵PA⊥面ABCD，∴DM⊥PA，

又PA∩AM=A，∴DM⊥平面PAM，

∵DM?平面PDM，∴平面PDM⊥平面PAM；

(2)解：由(1)知，PM⊥DM，AM⊥DM，則∠PMA為二面角P?DM?A的平面角為30°，

則PA=AM?tan30°=1．

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AE，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1)，D(22,?1,0)，C(22,1,0)，M(2,1,0)，

18.證明：(1)因?yàn)锳B=AC，O是BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)A⊥BC，又因?yàn)镺A⊥CD，

所以O(shè)A⊥平面BCD，

因?yàn)镺A?平面ABC，

所以平面ABC⊥平面BCD．

(2)連接OD，又因?yàn)椤鰾CD是邊長為2的等邊三角形，

所以DO⊥BC，由(1)知OA⊥平面BCD，所以AO，BC，

DO兩兩互相垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)|OA|=m，則O(0,0,0)，A(0,0,m)，B(1,0,0)，C(?1,0,0)，D(0,3,0)，

若選①②作為條件，證明③成立．

因?yàn)镃E=2EA，所以E(?13,0,2m3)，易知平面BCD的法向量為n=(0,0,1)，

BE=(?43,0,2m3)，BD=(?1,3,0)，

設(shè)m=(x,y,z)是平面BDE的法向量，

則m?BE=0m?BD=0，所以y=3x3z=2xm，可取m=(1,33,2m)，

由二面角E?BD?C大小為60°可得cosθ=m?n|m|×|n|=2m1+13+4m2=12，解得m=3，

所以A?BCD的體積為13×2×3×12×3=3．

若選①③作為條件，證明②成立．

因?yàn)锳?BCD的體積為3，所以13×2×3×12×|OA|=3，解得|OA|=3，

又因?yàn)镃E=2EA，所以E(?13,0,2)，易知平面BCD的法向量為n=(0,0,1)19.解：(1)證明：∵四邊形ABCD的對角線互相平分，AC∩BD=O，

∴O為BD的中點(diǎn)，

又M為PD的中點(diǎn)，

∴OM//PB，

∵OM?平面PBC，PB?平面PBC，

∴OM//平面PBC；

(2)∵在等腰直角△PDB中，又O為BD的中點(diǎn)，

∴PO⊥BD，

又PO⊥AC，AC∩BD=O，AC?平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD，

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∵AD=BD=2，AD⊥BD，

∴BC⊥BD，BC=2，AB=CD=22，

∵PB⊥P