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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年重慶市南岸區(qū)廣益中學(xué)高二(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線3x+3y?1=0的傾斜角為(
)A.π6 B.π3 C.2π32.已知直線l1:(a?1)x+y+1=0,l2:2ax+y+3=0,若l1//lA.?1或1 B.0或1 C.1 D.?13.設(shè)e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底,則下面四組向量中,不能作為基底的是(
)A.e1與e1?e2 B.e1+e2與e14.已知空間直角坐標(biāo)系O?xyz中的點(diǎn)A(2,?1,?3)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)為B,則|AB|的值為(
)A.14 B.4 C.6 D.5.如圖,四棱錐P?OABC的底面是矩形,設(shè)OA=a,OC=b,OP=c,E是棱PC上一點(diǎn),且PE=2EC,則BEA.1
B.?1
C.?13
6.直線l的方向向量為l,平面α與β的法向量分別為m,n,則下列選項(xiàng)正確的是(
)A.若l⊥α,則l?m=0 B.若l//β,則l=kn
C.若α⊥β,則m?7.已知向量a=(3,?2,?3),b=(?2,x?1,2),且a與b的夾角為鈍角,則x的取值范圍是(
)A.(?5,+∞) B.(?5,73)∪(73,+∞)8.若θ∈R,則直線y=xcosθ?1的傾斜角α的取值范圍為(
)A.[π4,3π4] B.[0,二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的有(
)A.每一條直線都有且僅有一個(gè)傾斜角與之對應(yīng)
B.傾斜角為135°的直線的斜率為1
C.一條直線的傾斜角為α,則其斜率為k=tanα
D.直線斜率的取值范圍是(?∞,+∞)10.如圖所示,ABCD?A1B1CA.AC1⊥平面CB1D1
B.直線B1C與BD所成的角為60°
C.二面角C?11.在三維空間中,a×b叫作向量a與b的外積,它是一個(gè)向量,且滿足下列兩個(gè)條件:
①a⊥(a×b),b⊥(a×b),且a,b,a×b三個(gè)向量構(gòu)成右手系(A.|AB1×AC|=|AD1×DB|三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.如圖所示,直線l1的傾斜角α1=30°,直線l1⊥13.已知兩點(diǎn)A(?3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(2,?1)的直線l與線段AB有公共點(diǎn),則l的斜率的取值范圍為______.14.空間直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)P(x0,y0,z0)且一個(gè)法向量為n=(a,b,c)的平面α的方程為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0,過點(diǎn)P(x0,y四、解答題:本題共5小題,共60分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)
已知:a=(x,4,1),b=(?2,y,?1),c=(3,?2,z),a//b,b⊥c,求:
(1)a,b,16.(本小題12分)
如圖,已知PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,PA=AD=AB=2,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),求證:
(1)MN//平面PAD;
(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值.17.(本小題12分)
如圖,在四棱錐P?ABCD中,PA⊥面ABCD,AB//CD,且CD=2AB=2,BC=22,∠ABC=90°,M為BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面PDM⊥平面PAM;
(2)若二面角P?DM?A為30°,求直線PC與平面PDM18.(本小題12分)
如圖,在三棱錐A?BCD中,△BCD是邊長為2的等邊三角形,AB=AC,O是BC的中點(diǎn),OA⊥CD.
(1)證明:平面ABC⊥平面BCD;
(2)若E是棱AC上的一點(diǎn),從①CE=2EA;②二面角E?BD?C大小為60°;③A?BCD的體積為3,這三個(gè)論斷中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.19.(本小題12分)
如圖2,在四棱錐P?ABCD中,四邊形ABCD的對角線互相平分,AC∩BD=O;在直角邊長為2的等腰直角△ADB中,∠ADB=90°;在等腰直角△PDB中,∠BPD=90°,M為PD的中點(diǎn),PO⊥AC.
(1)求證:OM//平面BCP;
(2)求二面角C?BP?A的正弦值.
參考答案1.D
2.D
3.C
4.C
5.B
6.C
7.B
8.C
9.AD
10.AB
11.ACD
12.?13.(?∞,?1]∪[3,+∞)
14.215.解:(1)∵a∴x解得x=2,y=?4,故a=(2,4,1),b又因?yàn)閎⊥c,所以b?c=0故c(2)由(1)可得a+c=(5,2,3)設(shè)向量a+c與b+則cos
16.(1)證明:取PD中點(diǎn)Q,連接AQ,QN,則QN//DC,QN=12DC,
又因?yàn)锳M//DC,AM=12DC,所以四邊形AMNQ為平行四邊形,
所以MN/?/AQ,因?yàn)镸N?平面PAD,AQ?平面PAD,
所以MN/?/平面PAD;
(2)解:建立空間直角坐標(biāo)系如圖,因?yàn)镻A=AD=AB=2,
所以P(0,0,2),D(0,2,0),M(1,0,0),C(2,2,0),PD=(0,2,?2),PM=(1,0,?2),PC=(2,2,?2).
設(shè)平面PMC法向量為:n=(x,y,z),
則n?PC=0,n?PM=0,解得x=2z,y=?z,令z=1,
17.(1)證明:在直角梯形ABCD中,由已知可得,AB=1,CD=2,BM=CM=2,
可得AM2=3,DM2=6,
過A作AE⊥CD,垂足為E,則DE=1,AE=22,求得AD2=9,
則AD2=AM2+DM2,∴DM⊥AM.
∵PA⊥面ABCD,∴DM⊥PA,
又PA∩AM=A,∴DM⊥平面PAM,
∵DM?平面PDM,∴平面PDM⊥平面PAM;
(2)解:由(1)知,PM⊥DM,AM⊥DM,則∠PMA為二面角P?DM?A的平面角為30°,
則PA=AM?tan30°=1.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AE,AB,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,1),D(22,?1,0),C(22,1,0),M(2,1,0),
18.證明:(1)因?yàn)锳B=AC,O是BC的中點(diǎn),
所以O(shè)A⊥BC,又因?yàn)镺A⊥CD,
所以O(shè)A⊥平面BCD,
因?yàn)镺A?平面ABC,
所以平面ABC⊥平面BCD.
(2)連接OD,又因?yàn)椤鰾CD是邊長為2的等邊三角形,
所以DO⊥BC,由(1)知OA⊥平面BCD,所以AO,BC,
DO兩兩互相垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OD所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)|OA|=m,則O(0,0,0),A(0,0,m),B(1,0,0),C(?1,0,0),D(0,3,0),
若選①②作為條件,證明③成立.
因?yàn)镃E=2EA,所以E(?13,0,2m3),易知平面BCD的法向量為n=(0,0,1),
BE=(?43,0,2m3),BD=(?1,3,0),
設(shè)m=(x,y,z)是平面BDE的法向量,
則m?BE=0m?BD=0,所以y=3x3z=2xm,可取m=(1,33,2m),
由二面角E?BD?C大小為60°可得cosθ=m?n|m|×|n|=2m1+13+4m2=12,解得m=3,
所以A?BCD的體積為13×2×3×12×3=3.
若選①③作為條件,證明②成立.
因?yàn)锳?BCD的體積為3,所以13×2×3×12×|OA|=3,解得|OA|=3,
又因?yàn)镃E=2EA,所以E(?13,0,2),易知平面BCD的法向量為n=(0,0,1)19.解:(1)證明:∵四邊形ABCD的對角線互相平分,AC∩BD=O,
∴O為BD的中點(diǎn),
又M為PD的中點(diǎn),
∴OM//PB,
∵OM?平面PBC,PB?平面PBC,
∴OM//平面PBC;
(2)∵在等腰直角△PDB中,又O為BD的中點(diǎn),
∴PO⊥BD,
又PO⊥AC,AC∩BD=O,AC?平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD,
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
∵AD=BD=2,AD⊥BD,
∴BC⊥BD,BC=2,AB=CD=22,
∵PB⊥P
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