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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)第三十五中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題:本題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面,下列說法正確的是A.若m//α,n//α,則m//n B.若m⊥α,n?α,則m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,則n//α D.若m//α,m⊥n,則n⊥α2.下列說法正確的是(
)A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底
B.空間的基底有且僅有一個(gè)
C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底
D.任一個(gè)向量p在基底a,b,3.若直線l的方向向量為a?=(1,?2,3),平面α的法向量為n?A.l?α B.l//α C.l⊥α D.l與α相交4.如圖,已知斜三棱柱ABC?A1B1C1,設(shè)AB=a,A.?12B.12a+bD.15.已知空間三點(diǎn)A1,3,?2,B2,5,1,Cp+1,7,q共線,則p和A.3,6 B.2,4 C.1,4 D.2,66.在正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為BA.π2 B.π3 C.π4 7.棱長為2的正四面體ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),則BA?CE=A.1 B.?1 C.3 D.8.已知長方體ABCD?A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1A.33 B.22 C.9.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn),M為棱A1B1上的一點(diǎn),且A.3λ B.22 C.10.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,M,N分別為BD1A.點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn) B.線段MP的最大值為32
C.點(diǎn)P的軌跡是正方形 D.二、填空題:本題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知點(diǎn)P?3,1,5,則該點(diǎn)關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為
.12.若a=(2,?3,1),b=(2,0,3),c=(3,4,2),則a?(b+2c)=
,若13.如圖,在長方體ABCD?A1B1C1D1中,設(shè)AD=AA1=1,AB=2,則C14.正四棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為
15.如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E為線段PB的中點(diǎn),F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn),平面AEF與平面PBC
(填“垂直”或“不垂直”);?AEF的面積的最大值為
.
16.如圖,正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直.點(diǎn)P在正方形ABCD及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在矩形ABEF及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).設(shè)AB=2,AF=1,給出下列四個(gè)結(jié)論:①存在點(diǎn)P,Q,使PQ=3;②存在點(diǎn)P,Q,使CQ//EP;③到直線AD和EF的距離相等的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè);④若PA⊥PE,則四面體PAQE體積的最大值為13其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
.三、解答題:本題共3小題,共36分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)如圖,在四棱錐P?ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD//BC,PA=AB=BC=2AD=2.
(1)設(shè)點(diǎn)M為AB上任意一點(diǎn),求證:AD⊥PM;(2)求直線PB和平面PCD所成角的正弦值;(3)求二面角A?PD?C的余弦值.18.(本小題12分)如圖,在三棱柱ABC?A1B1C1中,AA(1)求證:B1M//平面(2)求直線BC1與直線(3)若直線AB1與平面BCM所成角為π4,求點(diǎn)A119.(本小題12分)設(shè)nn≥2為正整數(shù),若α=x1,x2,???,xn滿足:①xi∈0,1,???,n?1,i=1,2,???,n;②對于1≤i<j≤n(1)設(shè)α=0,1,2,若β具有性質(zhì)E3,請寫出一個(gè)β及相應(yīng)的(2)設(shè)α=0,1,2,3,4,請寫出一個(gè)具有性質(zhì)E5的β,滿足(3)設(shè)α=0,1,2,3,4,5,6,是否存在具有性質(zhì)E7的β,使得Tα,β=0,1,2,3,4,5,6參考答案1.B
2.C
3.C
4.D
5.B
6.D
7.A
8.C
9.D
10.D
11.3,1,5
12.?1
3
13.51
14.215.垂直
16.①③④
17.(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PA⊥AD,又因?yàn)锳B⊥AD,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以AD⊥平面PAB,點(diǎn)M為AB上任意一點(diǎn),則PM?平面PAB,所以AD⊥PM.
(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)镻A=AB=BC=2AD=2,所以A0,0,0因?yàn)镻B=設(shè)平面PCD的法向量為n=x,y,z取y=2,可得x=?1,z=1,所以n=設(shè)直線PB和平面PCD所成角的大小為θ,所以sinθ=直線PB和平面PCD所成角的正弦值3(3)平面APD的法向量為m=設(shè)二面角A?PD?C的平面角大小為α,所以cosα=因?yàn)槎娼茿?PD?C的平面角為鈍角,所以二面角A?PD?C的余弦值?
18.(1)連接B1M,由三棱柱性質(zhì)可得平面ABC//平面又B1M?平面A1B1(2)因?yàn)锳A1⊥平面ABC,AB,AC?所以AA1⊥AB,A故AB,AC,AA故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz:
則A(0,0,0),A連接BC1,則由BC1?故直線BC1與直線AB(3)設(shè)M(0,a,1),a∈0,1,則BM設(shè)平面BCM的法向量為n=(x,y,z)有{n??BM?=?x+ay+z=0n即n?因?yàn)橹本€AB1與平面BCM所成角為所以cosA解得a=12,即n=(1,1,所以點(diǎn)A1到平面BCM的距離為A
19.(1)令β=0,1,2,即y1=0,y2=1,y(2)當(dāng)α=0,1,2,3,4,∵4∈Tα,β=0,1,2,3,4,∴β=y1,y2,???,y5中的y1=4或者y5=0,不妨設(shè)y5=0,接下來,3∈T,∴可能y1=3或(3)不存在證明:不妨設(shè)α=0,1,2,3,4,5,6,β=假設(shè)Tα,β∵集合{0,1,2,3,4}中有3個(gè)奇數(shù),4個(gè)偶數(shù).設(shè)數(shù)列α中有x個(gè)奇數(shù)與有序數(shù)組β中x個(gè)偶數(shù)對應(yīng)作差的絕對值,α中y個(gè)偶數(shù)與β中的y個(gè)奇數(shù)對應(yīng)作差的絕對值
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