2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題02（新高考地區(qū)專(zhuān)用集合與邏輯 不等式 函數(shù)） （全解全析）

2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷02注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版2019必修第一冊(cè)第一章~第三章。5．難度系數(shù)：0.55。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則的非空子集個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】A【解析】因?yàn)?，又，所以，所以的元素個(gè)數(shù)為3，其非空子集有個(gè).故選A.2．不等式的解集為（

）A． B．，或C． D．，或【答案】B【解析】由可得，解得或，故不等式的解為或，故選B．3．下列各組函數(shù)是同一組函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】對(duì)于A中，由函數(shù)的定義為，函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一組函數(shù)，所以A不符合題意；對(duì)于B中，由函數(shù)與函數(shù)，其中兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一組函數(shù)，所以B不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)與，兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)是同一組函數(shù)，所以C符合題意；對(duì)于D中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一組函數(shù)，所以D不符合題意.故選C.4．已知：，：，若的充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，因?yàn)榈某浞植槐匾獥l件是，所以是的真子集，所以，且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，當(dāng)時(shí)，，成立，所以.故選A.5．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由不等式有解，得，解得或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選D．6．記實(shí)數(shù)的最小數(shù)為若則函數(shù)的最大值為（

）A．4 B． C．1 D．5【答案】B【解析】如圖所示，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實(shí)線(xiàn)部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)的最大值為．故選B．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，故.故選D.8．已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，，，，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，，，則，由，得，即，因?yàn)?，，得，即，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，因?yàn)椴坏仁?，，則，所以，又函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以不等式的解集為.故選D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．的最小值是2 B．的最小值是1C．的最小值是4 D．的最大值是【答案】AD【解析】A.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確.B.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確.故選AD．10．集合有且僅有兩個(gè)子集，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】AD【解析】集合表示關(guān)于的方程的解集，又集合有且僅有兩個(gè)子集，所以集合有且僅有一個(gè)元素，當(dāng)，即時(shí)，由，解得，即，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，則，解得，此時(shí)，符合題意；綜上可得，或.故選AD.11．是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．的單調(diào)遞增區(qū)間為 B．C．的最大值為4 D．的解集為【答案】ABD【解析】A.兩個(gè)單調(diào)區(qū)間中間要用“和”分開(kāi)，故A錯(cuò)誤；B.因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞減，則，故B錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，最大值為4，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的最大值為4，故C正確；D.如圖所示：的解集為，故D錯(cuò)誤．故選ABD．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．命題：，，則命題的否定為_(kāi)_________．【答案】，【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題知：命題：，的否定為，.故答案為：，.13．若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】函數(shù)，又的值域?yàn)?，，，可得，解?故答案為：.14．函數(shù)在區(qū)間的最大值為_(kāi)_________．【答案】/3.5【解析】（1）由，所以的定義域?yàn)榱?，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是在區(qū)間的最大值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）已知集合．(1)若集合A中僅含有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若集合A中含有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，得．綜上，或．（2）集合A中含有兩個(gè)元素，即關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，且，解得且，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為且．16．（15分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)用定義證明在上為增函數(shù).【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，故.（2）證明：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，，則，故，所以，即，所以在上為增函數(shù).17．（15分）設(shè)函數(shù)．已知關(guān)于的不等式的解集為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所以?和1是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得，所以．（2）因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，所以在區(qū)間內(nèi)有解，令，函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，，，所以．18．（17分）定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：①，②，其中為任意正實(shí)數(shù)：③任意正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足時(shí)，恒成立．(1)求，；(2)試判斷函數(shù)的單調(diào)性：(3)如果，試求的取值范圍．【解析】（1）取得，，；；（2）令，可得，設(shè)，則，所以，即，在上單調(diào)遞增；（3）根據(jù)滿(mǎn)足的條件②及，得，；根據(jù)為增函數(shù)得；再由的定義域得到不等式組，解得，的取值范圍為．19．（17分）若函數(shù)在上的最大值記為，最小值記為，且滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”.(1)函數(shù)①；②；③，哪個(gè)函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù).①函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值.【解析】（1）①因?yàn)?，所以，所以，，得，故是在上的“美好函?shù)”；②因?yàn)?，所以，所以，，得，故不是在上的“美好函?shù)”；③因?yàn)?，所以，所以，，得，故不是在上的“美好函?shù)”（2）①由題得，當(dāng)，可知，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是在上的“美好函數(shù)”，所以有；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是在上的“美好函數(shù)”，所以有；故.②由題可知此時(shí)，函數(shù)，可知此時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為且開(kāi)