四川省德陽市高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測考試（一）數(shù)學(xué)試卷

德陽市高中2022級(jí)質(zhì)量監(jiān)測考試（一）數(shù)學(xué)試卷說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4頁．考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．2．本試卷滿分150分，120分鐘完卷．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知集合,則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù),若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．B．C．D．23．若函數(shù)的兩對稱中心的最小距離為，則的值為（）A．1B．2C．3D．44．已知在直角中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c,若且滿足,且點(diǎn)M在上，則的值為（）A．B．C．D．5．已知,若,則實(shí)數(shù)（）A．1B．2C．3D．46．2024年3月20日，我國成功發(fā)射鵲橋二號(hào)中繼衛(wèi)星，其通過一個(gè)大型可展開的星載天線，實(shí)現(xiàn)了月球背面與地球之間的信號(hào)傳輸．星載天線展開后形成一把直徑（口徑）為的“金色大傘”，它的曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)F處．若“金色大傘”的深度為,則“金色大傘的邊緣A點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為（）A．B．C．D．7．已知一道解答題共有兩小問，第一問5分，第二問8分，現(xiàn)每10個(gè)人有6個(gè)人能夠解答出第一問，在第一問解答不出的情況下，解答出第二問的概率為0.1，第一問解答出來的情況下，第二問解答不出來的概率為0.7，則解答出第二問的概率為（）A．0.04B．0.18C．0.22D．0.468．已知,若a、b、c成等差數(shù)列且,則的值為（）A．0B．C．D．二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分．）9．設(shè),用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)．令函數(shù),以下結(jié)論正確的有（）A．B．為偶函數(shù)C．D．的值域?yàn)?0．已知正方體棱長為2，為正方體內(nèi)切球O的直徑，點(diǎn)P為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，與所成角余弦值為B．當(dāng)面時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長度為C．的取值范圍為D．與所成角的范國為11．若,點(diǎn)Q滿足,記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,直線為l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,則下列說法中正確的是（）A．的最小值為B．線段的最小值為C．的最小值為0D．當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案直接填在答題卡上）12．已知在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,滿足,則的面積的范圍為____________．13．已知向量,則的最小值為____________．14．設(shè)函數(shù),若，則的最大值為____________．四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟．）15．（13分）基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基計(jì)劃的?？加煽荚圏c(diǎn)高校自主命題，某試點(diǎn)高校?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．2024年報(bào)考該考試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差,已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計(jì)總體．（1）假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績高于該校預(yù)期平均成績，求該校預(yù)期的平均成績大約是多少？（2）若筆試成績高于76.5分進(jìn)入面試，若從報(bào)考該考試點(diǎn)的高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，設(shè)其中進(jìn)入面試學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望；（3）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)人了面試，且他們通過面試的概率分別為，設(shè)這4名學(xué)生通過面試的人數(shù)為Y,求隨機(jī)變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若,則．16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若E為中點(diǎn)，證明：平面;（2）若,在線段上是否存在點(diǎn)E使得面與面夾角余弦值為，若存在，求出點(diǎn)E位置，若不存在，說明理由．17．（15分）已知和為橢圓上兩點(diǎn)．（1）求C的離心率；（2）若過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B,且的面積為12，求直線l的方程．18．（17分）已知函數(shù)．（1）若,求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：．19．（17分）已知數(shù)列滿足,數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，且滿足,記,稱為由數(shù)列生成的“—函數(shù)”．（1）求的值；（2）若“1—函數(shù)”，求n的最小值；（3）記函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,證明：“m—函數(shù)”．．附：

德陽市高中2022級(jí)質(zhì)量監(jiān)測考試（一）數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．D2．A3．A4．B5．B6．B7．C8．C二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）9．AC10．ABC11．ACD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．13．14．四、解答題（本大題共5小題，共77分）15．解：（1）由又所以該校預(yù)期的平均成績大約是．4分（2）由得，5分即從所有參加筆試的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生筆試成績76.5以上的概率為所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,所以．7分（3）X的可能取值為0,1,2,3,4．8分9分10分11分Y0123412分所以．13分16．（1）證明：連接交于點(diǎn)O,連接,如圖．因?yàn)镺為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)所以．3分又平面平面所以平面．5分（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫嫠裕?所以兩兩互相垂直故以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖所示．因?yàn)樗栽O(shè)設(shè)面法向量為，則所以10分易知面法向量為11分因?yàn)槊媾c面夾角余弦值為所以或因?yàn)?4分所以存在點(diǎn)E在線段上，當(dāng)時(shí)，使得面與面夾角余弦值為．15分17．解：（1）由題可知,解得故橢圓C離心率為．5分（2）由題可知，直線的方程為,且6分又因?yàn)?所以點(diǎn)B到直線的距離7分設(shè)點(diǎn),所以解得：或所以點(diǎn)B坐標(biāo)為或13分所以直線l的方程為或．15分18．解：（1）當(dāng)時(shí)，所以令;令所以單增區(qū)間為,單減區(qū)間為所以當(dāng)時(shí)，有極大值，無極小值．4分（2）（i）因?yàn)樗?分當(dāng)時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意，舍去6分當(dāng)時(shí)，令,令所以7分又因?yàn)椋?分所以當(dāng)有兩不等實(shí)根時(shí)，9分令恒成立所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)樗缘慕饧癁樗詀的取值范圍為．11分（ii）因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同零點(diǎn),不妨設(shè)所以整理變形得即證13分即證因?yàn)?所以所以即證，即證令,即證15分令恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增所以恒成立，所以恒成立，所以成立．17分19．解：（1）,，公差為2所以2分3分所以．4分（2）,公差為1所以．當(dāng)時(shí)，