廣東省惠州市2024-2025學(xué)年高三第二次調(diào)研考試（期中）數(shù)學(xué)試題

惠州市2025屆高三第二次調(diào)研考試試題數(shù)學(xué)全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.2024.10注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?座位號(hào)?學(xué)校?班級(jí)等考生信息填寫在答題卡上.2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.3B.2C.1D.3.已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為，則（）A.100B.99C.98D.974.在正方體中，棱的中點(diǎn)分別為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.5.已知向量滿足：，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.已知“水滴”的表面是一個(gè)由圓錐的側(cè)面和部分球面（常稱為“球冠”）所圍成的幾何體.如圖所示，將“水滴”的軸截面看成由線段和優(yōu)弧所圍成的平面圖形，其中點(diǎn)所在直線與水平面平行，和與圓弧相切.已知“水滴”的“豎直高度”與“水平寬度”（“水平寬度”指的是平行于水平面的直線截軸截面所得線段的長(zhǎng)度的最大值）的比值為，則（）A.B.C.D.8.在統(tǒng)計(jì)某學(xué)校所有選擇理科和文科的學(xué)生數(shù)據(jù)中，發(fā)現(xiàn)理科生多于文科生，女生多于男生，則關(guān)于本次學(xué)生樣本的數(shù)據(jù)中，結(jié)論一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測(cè)某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：.則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（）A.極差是4B.眾數(shù)小于平均數(shù)C.方差是2D.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為4.510.函數(shù)的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.函數(shù)是奇函數(shù)D.11.如圖，心形曲線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)和均在上B.的最大值和最小值之和為3C.點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)的系數(shù)和為__________.13.橢圓的左?右頂點(diǎn)分別是，左?右焦點(diǎn)分別是，若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率__________.14.若關(guān)于的方程有實(shí)根，則的最小值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本題滿分13分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.16.（本題滿分15分）如圖，四棱錐中，底面，.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.17.（本題滿分15分）已知雙曲線及直線.（1）若與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若與交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求實(shí)數(shù)的值.18.（本題滿分17分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知且均為整數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，求的余弦值.19.（本題滿分17分）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項(xiàng)數(shù)列，由所有項(xiàng)0數(shù)列組成集合.（1）若是12項(xiàng)0數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；（2）從集合中任意取出兩個(gè)數(shù)列，記.①求隨機(jī)變量的分布列，并證明：；②若用某軟件產(chǎn)生項(xiàng)數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，且.若，比較與的大小.惠州市2025屆高三第二次調(diào)研考試試題高三數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分細(xì)則一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.題號(hào)12345678答案BDCBAADC1.【解析】因?yàn)?，所?故選：B.2.【解析】因?yàn)?，即，所以，所?故選：D.3.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得：，解得，所以.故選：C.4.【解析】連接，在正方體中，平面，棱的中點(diǎn)為，則平面，而平面，故，則即為直線與平面所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，則，故.故選：B.5.【解析】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.【解析】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.7.【解析】設(shè)優(yōu)弧所在圓的圓心為，半徑為，連接.易知“水滴”的“豎直高度”為，“水平寬度”為，由題意知，解得.因?yàn)榕c圓弧相切于點(diǎn)，所以.在中，，又，所以，由對(duì)稱性知，，則，所以.故選：D.8.【解析】根據(jù)已知條件設(shè)理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人；根據(jù)題意可知：，根據(jù)同向不等式可加的性質(zhì)有：，即，所以理科女生多于文科男生，C正確.其他選項(xiàng)沒有足夠證據(jù)論證.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)91011全部正確選項(xiàng)ADABDACD9.【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為：.對(duì)于A，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對(duì)于B，眾數(shù)為3，平均數(shù)為，兩者相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方差為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)4.5，故D正確.故選：AD.10.【解析】由圖像可知：；又，故，又，所以，所以A項(xiàng)正確；已知，由五點(diǎn)作圖法可知：，解得：，所以B項(xiàng)正確；故；則，設(shè)，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以D項(xiàng)正確；故選：ABD.11.【解析】A選項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)算，點(diǎn)和的坐標(biāo)滿足曲線的方程：，所以點(diǎn)和均在上，故A項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以，其中，所以，所以的最大值和最小值之和為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則，所以，因求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值，故取，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，故C項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，等價(jià)于點(diǎn)在橢圓內(nèi)（包含橢圓），由B項(xiàng)可知，即滿足：，即，整理得：，即，其中其中，即恒成立，則故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.3213.14.12.【解析】當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)的系數(shù)和為.故答案為：32.13.【解析】由題意知，且三者成等比數(shù)列，則即，所以，所以.故答案為：.14.【解析】設(shè)方程的實(shí)根為，則，所以，即.設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，設(shè)，則，求得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，又，由幾何意義可知，所以.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，由，解得；由，解得，所以則可以取到最小值.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分，其中第一小問6分，第二小問7分.）【解析】（1）因?yàn)椋?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為：，又，所以，即所求切線的斜率為.所以切線方程為：，化簡(jiǎn)得：，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由得；由得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在區(qū)間上的極小值為，也是最小值.所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.16.（本小題滿分15分，其中第一小問5分，第二小問10分.）【解析】（1）證明：已知底面，且底面，所以.由，可得又平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn).由，可得，又因?yàn)椋匀切问钦切?，?在中，，所以.可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得，由（1）可知，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.所以平面與平面夾角的余弦值為.17.（本小題滿分15分，其中第一小問7分，第二小問8分.）【解析】（1）直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)根，整理得.，解得且，雙曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.（2）解法一：設(shè)交點(diǎn)，由（1）知雙曲線與直線聯(lián)立的方程為.由韋達(dá)定理得：，則又到直線的距離，所以的面積，解得或，又因?yàn)榍?，所以?所以當(dāng)或時(shí)，的面積為.解法二：設(shè)交點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，由（1）知雙曲線與直線聯(lián)立的方程為.由韋達(dá)定理得：，當(dāng)在雙曲線的一支上且時(shí)，；當(dāng)在雙曲線的兩支上且時(shí)，綜上，.由已知得，故，即所以，解得或，又因?yàn)榍?，所以?所以當(dāng)或時(shí)，的面積為.18.（本小題滿分17分，其中第一小問10分，第二小問7分.）【解析】（1）由，則.由，則，故，所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，解法一：由，可得.因?yàn)?，所以為銳角，則，所以，所以角均為銳角，所以均為正整數(shù)，又，所以，由，解得，所以.綜上，.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗?，符合題意.解法二：由，可得.因?yàn)?，所以，則，所以.由，則，解得或（舍去），故，又為正整數(shù)，所以，所以，綜上，.（2）由（1）可知，，則，在中，由正弦定理，可得，又的中點(diǎn)為，所以，在中，由余弦定理得：所以，所以.19.（本小題滿分17分，其中第一小問4分