新高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)分章節(jié)特訓(xùn)專題13超幾何分布(原卷版+解析)

專題13超幾何分布例1．有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是A． B． C． D．例2．有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①表示取出的最大號(hào)碼；②表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，表示取出的4個(gè)球的總得分；④表示取出的黑球個(gè)數(shù)，這四種變量中服從超幾何分布的是A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④例3．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則．（用數(shù)字表示）例4．有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，至少有2件次品的概率為．例5．設(shè)袋中有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，若從袋中任取4個(gè)球，則其中恰有3個(gè)紅球的概率為．例6．在10件產(chǎn)品中有2件次品，任意抽取3件，則抽到次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值是．例7．在箱子中有10個(gè)小球，其中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球，4個(gè)黑球．從這10個(gè)球中任取3個(gè)．求：（1）取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)的分布列；（2）取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率．例8．某班組織知識(shí)競(jìng)賽，已知題目共有10道，隨機(jī)抽取3道讓某人回答，規(guī)定至少要答對(duì)其中2道才能通過初試，他只能答對(duì)其中6道，試求：（1）抽到他能答對(duì)題目數(shù)的分布列；（2）他能通過初試的概率．例9．某校高二年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試，用表示其中男生的人數(shù)，（1）請(qǐng)列出的分布列；（2）根據(jù)你所列的分布列求選出的4人中至少有3名男生的概率．例10．某批產(chǎn)品共10件，已知從該批產(chǎn)品中任取1件，則取到的是次品的概率為．若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，（1）求取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)的概率分布列與期望．例11．生產(chǎn)方提供50箱的一批產(chǎn)品，其中有2箱不合格產(chǎn)品．采購(gòu)方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品．問：該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？例12．甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲3次，記下國(guó)徽面朝上的次數(shù)為；乙用一枚硬幣擲2次，記下國(guó)徽面朝上的次數(shù)為．（1）算國(guó)徽面朝上不同次數(shù)的概率并填入下表：（2）現(xiàn)規(guī)定：若，則甲勝；若，則乙勝．你認(rèn)為這種規(guī)定合理嗎？為什么？例13．某熱水瓶膽生產(chǎn)的6件產(chǎn)品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外觀上沒有區(qū)別，從這6件產(chǎn)品中任意抽檢2件，計(jì)算（1）2件都是正品的概率（2）至少有一件次品的概率．例14．已知10件不同的產(chǎn)品中共有3件次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試，直到找出所有3件次品為止．（1）求恰好在第5次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出的概率；（2）記恰好在第次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出的概率為，求的最大值和最小值．例15．在袋子中裝有10個(gè)大小相同的小球，其中黑球有3個(gè)，白球有個(gè)，其余的球?yàn)榧t球．（Ⅰ）若，從袋中任取1個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個(gè)紅球的概率；（Ⅱ）從袋里任意取出2個(gè)球，如果這兩個(gè)球的顏色相同的概率是，求紅球的個(gè)數(shù)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從袋里任意取出2個(gè)球．若取出1個(gè)白球記1分，取出1個(gè)黑球記2分，取出1個(gè)紅球記3分．用表示取出的2個(gè)球所得分?jǐn)?shù)的和，寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望．專題13超幾何分布例1．有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是A． B． C． D．【解析】解：設(shè)抽到的次品數(shù)為，則有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)服從超幾何分布即，，，抽到的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值故選：．例2．有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①表示取出的最大號(hào)碼；②表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，表示取出的4個(gè)球的總得分；④表示取出的黑球個(gè)數(shù)，這四種變量中服從超幾何分布的是A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【解析】解：超幾何分布取出某個(gè)對(duì)象的結(jié)果數(shù)不定，也就是說超幾何分布的隨機(jī)變量為實(shí)驗(yàn)次數(shù)，即指某事件發(fā)生次的試驗(yàn)次數(shù)，由此可知③④服從超幾何分布．故選：．例3．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則．（用數(shù)字表示）【解析】解：由題意故答案為：例4．有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，至少有2件次品的概率為．【解析】解：從10件產(chǎn)品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分別為，．因此所求的概率．故答案為．例5．設(shè)袋中有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，若從袋中任取4個(gè)球，則其中恰有3個(gè)紅球的概率為．【解析】解：從袋中10個(gè)球中任取4個(gè)球，共有種取法，則其中恰有3個(gè)紅球的取法為．從袋中任取4個(gè)球，則其中恰有3個(gè)紅球的概率．故答案為．例6．在10件產(chǎn)品中有2件次品，任意抽取3件，則抽到次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值是．【解析】解：設(shè)抽到次品個(gè)數(shù)為，則，2，故答案為：例7．在箱子中有10個(gè)小球，其中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球，4個(gè)黑球．從這10個(gè)球中任取3個(gè)．求：（1）取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)的分布列；（2）取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率．【解析】解：（1）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，且服從參數(shù)為，，的超幾何分布，因此；（1分）所以，，，；（4分）所以的分布列為：0123（6分）（2）設(shè)“取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)”為事件，“恰好取出1個(gè)紅球和2個(gè)黑球”為事件，“恰好取出2個(gè)紅球”為事件，“恰好取出3個(gè)紅球”為事件，（7分）由于事件，，彼此互斥，且，而，，，（10分）所以取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率為：．（11分）答：取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率為．（12分）例8．某班組織知識(shí)競(jìng)賽，已知題目共有10道，隨機(jī)抽取3道讓某人回答，規(guī)定至少要答對(duì)其中2道才能通過初試，他只能答對(duì)其中6道，試求：（1）抽到他能答對(duì)題目數(shù)的分布列；（2）他能通過初試的概率．【解析】解：（1）設(shè)隨機(jī)抽出的三道題目某人能答對(duì)的道數(shù)為，且、1、2、3，服從超幾何分布，分布列如下：0123即0123（2）要答對(duì)其中2道才能通過初試，則可以通過初試包括兩種情況，這兩種情況是互斥的，根據(jù)上一問的計(jì)算可以得到例9．某校高二年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試，用表示其中男生的人數(shù)，（1）請(qǐng)列出的分布列；（2）根據(jù)你所列的分布列求選出的4人中至少有3名男生的概率．【解析】解：（1）依題意得，隨機(jī)變量服從超幾何分布，隨機(jī)變量表示其中男生的人數(shù)，可能取的值為0，1，2，3，4．．所以的分布列為：01234（2）由分布列可知至少選3名男生，即．例10．某批產(chǎn)品共10件，已知從該批產(chǎn)品中任取1件，則取到的是次品的概率為．若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，（1）求取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)的概率分布列與期望．【解析】解：設(shè)該批產(chǎn)品中次品有件，由已知，（2分）（1）設(shè)取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)為，3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為（4分）（2）可能為0，1，2（10分）的分布為：012則（13分）例11．生產(chǎn)方提供50箱的一批產(chǎn)品，其中有2箱不合格產(chǎn)品．采購(gòu)方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品．問：該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？【解析】解：以50箱為一批產(chǎn)品，從中隨機(jī)抽取5箱，用表示“5箱中不合格產(chǎn)品的箱數(shù)”，則服從超幾何分布，2，．這批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中沒有不合格的箱或只有1箱不合格，所以被接收的概率為，即．答：該批產(chǎn)品被接收的概率是．例12．甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲3次，記下國(guó)徽面朝上的次數(shù)為；乙用一枚硬幣擲2次，記下國(guó)徽面朝上的次數(shù)為．（1）算國(guó)徽面朝上不同次數(shù)的概率并填入下表：（2）現(xiàn)規(guī)定：若，則甲勝；若，則乙勝．你認(rèn)為這種規(guī)定合理嗎？為什么？【解析】解：（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式得：（2）這種規(guī)定是合理的．這是因?yàn)榧撰@勝，則當(dāng)時(shí)，，1，0，其概率為當(dāng)時(shí)，，0，其概率為；當(dāng)時(shí)，，其概率為；甲獲勝的概率為若乙獲勝，則當(dāng)時(shí)，，1，0，其概率為；當(dāng)時(shí)，，0，其概率為；當(dāng)時(shí)，，其概率為；乙獲勝的概率為甲和乙獲勝的概率相等，即獲勝機(jī)會(huì)相等，所以這種規(guī)定是合理的．例13．某熱水瓶膽生產(chǎn)的6件產(chǎn)品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外觀上沒有區(qū)別，從這6件產(chǎn)品中任意抽檢2件，計(jì)算（1）2件都是正品的概率（2）至少有一件次品的概率．【解析】解：從6件產(chǎn)品中，抽取2件的概率有種（1）其中兩件都是正品的基本事件有：種故2件都是正品的概率（2）由于“抽檢的2件產(chǎn)品中有次品”與“2件都是正品”為對(duì)立事件故抽檢的2件產(chǎn)品中至少有一件次品的概率即至少有一件次品的概率．例14．已知10件不同的產(chǎn)品中共有3件次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試，直到找出所有3件次品為止．（1）求恰好在第5次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出的概率；（2）記恰好在第次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出的概率為，求的最大值和最小值．【解析】解：（1）若恰好在第5次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出，則第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；則有種情況，從10件產(chǎn)品中順序取出5件，有種情況，則第5次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出的概率，（2）根據(jù)題意，分析可得的范圍是，當(dāng)時(shí)，若恰好在第次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出，則第次取出第3件次品，前次中有2次是次品，次是正品；而從10件產(chǎn)品中順序取出件，有種情況，則，則（3），（4），（5），（6）；當(dāng)時(shí)，即恰好在第7次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出，有兩種情況，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次沒有取出次品，此時(shí)也可以測(cè)出三件次品，則；當(dāng)時(shí)，即恰好在第8次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出，有兩種情況，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次恰有一次次品，第8次取出為合格品，則；當(dāng)時(shí)，即恰好在第9次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出，此時(shí)（9）（3）（4）（5）（6）（7）（8）故，．例15．在袋子中裝有10個(gè)大小相同的小球，其中黑球有3個(gè)，白球有個(gè)，其余的球?yàn)榧t球．（Ⅰ）若，從袋中任取1個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個(gè)紅球的概率；（Ⅱ）從袋里任意取出2個(gè)球，如果這兩個(gè)球的顏色相同的概率是，求紅球的個(gè)數(shù)；（Ⅲ）在（Ⅱ）