全國統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四函數(shù)與導(dǎo)數(shù)梳理糾錯(cuò)預(yù)測(cè)學(xué)案文含解析

2024年高考“2024年高考“最終三十天”專題透析好教化云平臺(tái)--教化因你我而變④若函數(shù)y=f(x)滿意fa+x=-fb-x，則函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．5．函數(shù)的零點(diǎn)問題（1）函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的根，即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（2）確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：①干脆解方程法；②利用零點(diǎn)存在性定理；③數(shù)形結(jié)合，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．二、導(dǎo)數(shù)1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'x0就是曲線（1）曲線y=fx在點(diǎn)x0，（2）過點(diǎn)x0，y0作曲線y=fx的切線，點(diǎn)x0，切點(diǎn)不確定時(shí)，一般先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，寫出切線方程后，再利用條件來確定切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到切線的方程．2．單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)y=fx在區(qū)間a（1）假如在a，b內(nèi)，恒有f'（2）假如在a，b內(nèi)，恒有f'（3）假如在a，b內(nèi)，恒有f'3．利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）確定定義域（易錯(cuò)點(diǎn)：漏寫定義域）；（2）求導(dǎo)函數(shù)f'（3）解f'x>0（4）在定義域范圍內(nèi)取補(bǔ)集，得到減（增）區(qū)間．4．極值的定義（1）函數(shù)y=fx在點(diǎn)x=a的函數(shù)值比它在點(diǎn)x=a旁邊的函數(shù)值都小，則把a(bǔ)叫做fx的fa叫做fx的若y=fx在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，f'x是其導(dǎo)數(shù)，就可以用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在微小值點(diǎn)旁邊而且在點(diǎn)x=a旁邊的左側(cè)f'x<0（2）函數(shù)y=fx在點(diǎn)x=b的函數(shù)值比它在點(diǎn)x=b旁邊的函數(shù)值都大，則把b叫做ffb叫做f若y=fx在點(diǎn)x=b處可導(dǎo)，f'x是其導(dǎo)數(shù)，就可以用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在極大值點(diǎn)旁邊而且在點(diǎn)x=b旁邊的左側(cè)f'x>0留意：極值點(diǎn)指x的取值，極值指相應(yīng)的fx的取5．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，并推斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）畫表推斷函數(shù)的極值．6．求函數(shù)fx在區(qū)間a（1）求函數(shù)y=fx在a（2）比較函數(shù)y=fx的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f最小的一個(gè)是最小值．

精題集訓(xùn)精題集訓(xùn)（70分鐘）經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-3xA．1，3 B．-3，-1，1【答案】D【解析】因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-3x所以，由，解得x=1或x=3；由，解得x=-2-7或x=-2+7所以函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為-2-7，1，【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用，分段函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，一元二次方程的解法，難度中等．2．已知函數(shù)f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f(x)=xA．10個(gè) B．9個(gè) C．8個(gè) D．1個(gè)【答案】A【解析】由題可知，如圖所示：當(dāng)x=10時(shí)，y=1，依據(jù)圖象可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)型結(jié)合，形象直觀，屬基礎(chǔ)題．3．某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與貯存溫度x（單位：℃）滿意函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是（）A．16小時(shí) B．20小時(shí) C．24小時(shí) D．21小時(shí)【答案】C【解析】依題有：192=?b，48=?解得，，那么，當(dāng)x=33時(shí)，，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì)，考查函數(shù)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，考查整體思想，考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想解決實(shí)際問題的實(shí)力．4．設(shè)函數(shù)，則滿意ffa=2A． B． C． D．【答案】C【解析】令fa=t，則ft=2由gt=3t-1-2當(dāng)t<1時(shí)，g't>0，gt在當(dāng)時(shí)，2t=2t成立，由fa≥1，即3a-1≥1，解得2a≥1，解得a≥0，即為綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分段函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等學(xué)問點(diǎn)的綜合考查，留意考查了分類探討思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及學(xué)生分析問題和解答問題的實(shí)力，試題有肯定的難度，屬于難題，本題的解答中構(gòu)造新的函數(shù)gt5．已知函數(shù)關(guān)于x的方程，m∈R．有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，x4A． B． C． D．【答案】B【解析】作函數(shù)f(x)的圖象如圖：結(jié)合圖象可知，x1+x2=-2依據(jù)題意，m∈0，1，則，故則，依據(jù)對(duì)勾函數(shù)在(1，2)故在(1，2)所以，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題．6．已知函數(shù)，且在內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令hx=mx+1，分別作出f由圖象知hx=mx+1當(dāng)直線圍著定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與fx當(dāng)直線hx在x軸和直線AB及切線和直線AC之間時(shí)，與f此時(shí)或，故答案選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．7．已知a<5且ae5=5eaA． B．b<c<a C．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c【答案】D【解析】因?yàn)閍e5=5ea令，則，當(dāng)0<x<1時(shí)，f'x<0；當(dāng)x>1故fx在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因?yàn)閍e5=5ea，a<5故0<a<1，同理0<b<1，0<c<1，f4=fb因?yàn)閒5<f4所以0<a<b<c<1，故選D．【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)背景下的大小比較問題，應(yīng)依據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性，此類問題，代數(shù)式變形很關(guān)鍵．8．函數(shù)fxA．a(chǎn)>0，b<0，C．a(chǎn)<0，b<0，【答案】A【解析】由圖象知，因?yàn)閒'(x)=3ax且f(x)在(-∞，x1所以a>0，，，所以b<0，c所以a>0，b<0，c>0，d>0，故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的圖象關(guān)系，理解利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性和極值之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9．若直線l與曲線和都相切，則l的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線l在曲線y=x上的切點(diǎn)為x0，函數(shù)y=x的導(dǎo)數(shù)為，則直線l的斜率，設(shè)直線l的方程為，即x-2x0由于直線l與圓相切，則，兩邊平方并整理得5x02-4x則直線l的方程為，即，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題．10．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】可得f(x)的定義域?yàn)閤x≠0且，∴f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A、C錯(cuò)誤；當(dāng)x>0時(shí)，，故當(dāng)x∈0，e時(shí)，f'當(dāng)x∈e，+∞時(shí)，f'x<0，f故選B．【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置．（2）從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，解除不合要求的圖象．二、填空題．11．曲線y=lnx+x+1的一條切線的斜率為2【答案】y=2x【解析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)所求的切線方程為，即y=2x，故答案為y=2x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題．12．已知函數(shù)f(x)=ax+lnx+1(a（1）若f(x)≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)g(x)=x2-(x+1)lnx-sin假如不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）a≤-1；（2）無零點(diǎn)，理由見解析．【解析】（1）①當(dāng)a≥0時(shí)，，不合題意；②當(dāng)a<0時(shí)，，令f'(x)=0，單調(diào)遞增；單調(diào)遞減，，解得a≤-1，綜上①②可得a≤-1．（2）由（1）可知，當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=-x+ln即lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)，(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立)又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以對(duì)隨意x>0，g(x)>0恒成立．所以函數(shù)g(x)=x【點(diǎn)評(píng)】通過得出，從而推斷出g(x)>0恒成立是解決本題的關(guān)鍵．13．已知函數(shù)fx（1）求曲線在點(diǎn)x=2處的切線方程；（2）若過點(diǎn)A1，mm≠-2可作曲線【答案】（1）9x-y-16=0；（2）-3，【解析】（1）f'x=3x2∴曲線在x=2處的切線方程為y-2=9x-2，∴即9x-y-16=0．（2）過點(diǎn)A1，m向曲線作切線，設(shè)切點(diǎn)為則y0∴切線方程y-x即2x∴2x記gx令g'x=0，x=0或1，則x-∞01g+0-0+g↗極大↘微小↗當(dāng)x=0，gx有極大值m+3；x=1，g因?yàn)檫^點(diǎn)A1，m則，即，解得-3<m<-2，所以m的范圍是-3，【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)零點(diǎn)或函數(shù)圖象交點(diǎn)問題的求解，一般利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，依據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)狀況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一．14．設(shè)函數(shù)f（1）求曲線在點(diǎn)0，f（2）設(shè)a=b=4，若函數(shù)fx有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c（3）求證：是fx有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．【答案】（1）y=bx+c；（2）；（3）證明見解析．【解析】（1）由fx=x因?yàn)閒0=c，所以曲線在點(diǎn)0，f0處的切線方程為（2）當(dāng)a=b=4時(shí)，fx所以f'令f'x=0，得3x2fx與f'x在區(qū)間-∞f+0-0+f↗c↗↗所以，當(dāng)c>0且時(shí)，存在，，，使得fx由fx的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)fx（3）當(dāng)Δ=4a2-12b<0時(shí)，f此時(shí)函數(shù)fx在區(qū)間-∞，+∞上單調(diào)遞增，所以f當(dāng)Δ=4a2-12b=0時(shí)，f當(dāng)x∈-∞，x0時(shí)，f'當(dāng)x∈x0，+∞時(shí)，f'x所以fx不行能有三個(gè)不同零點(diǎn)綜上所述，若函數(shù)fx有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必有Δ=4故a2-3b>0是當(dāng)a=b=4，c=0時(shí)，a2-3b>0，所以a2-3b>0不是因此a2-3b>0是【點(diǎn)評(píng)】1．證明不等式問題可通過作差或作商構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明．2．求參數(shù)范圍問題的常用方法：（1）分別變量；（2）運(yùn)用最值．3．方程根的問題可化為探討相應(yīng)函數(shù)的圖象，而圖象又歸結(jié)為極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間的探討．4．高考中一些不等式的證明須要通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵．高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題一、解答題．1．已知函數(shù)．（1）若a=3，求fx（2）證明：fx【答案】（1）fx在-∞，3-23，3+2（2）證明見解析．【解析】（1）當(dāng)a=3時(shí)，，f'x令f'x=0，解得x=3-2當(dāng)x∈-∞，3-2當(dāng)x∈3-23，故fx在-∞，3-23，（2）由于x2+x+1>0，所以fx=0設(shè)，則，僅當(dāng)x=0時(shí)，，所以gx在-∞故gx至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f又，，故fx有一個(gè)零點(diǎn)綜上，fx【點(diǎn)評(píng)】（1）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相應(yīng)的x的取值范圍，當(dāng)當(dāng)f'(x)<0時(shí)，（2）本題其次問重在考查零點(diǎn)存在性問題，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為求證函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)，可先證明其單調(diào)，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行論證．2．函數(shù)fx（1）探討函數(shù)fx（2）若函數(shù)fx在區(qū)間1，2【答案】（1）a≥1時(shí)，在-∞，+∞是增函數(shù)；0<a<1時(shí)，fx在，上是增函數(shù)，fx在上是減函數(shù)；（2）．【解析】（1）f'(x)=3ax2+6x+3①若a≥1，則f'(x)≥0，且f'(x)=0，當(dāng)且僅當(dāng)a=1，x=-1，故此時(shí)f②由于a≠0，故當(dāng)a<1時(shí)，f'(x)=0有兩個(gè)根：，，若0<a<1，則當(dāng)或時(shí)，f'(x)>0，故fx在，上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f'(x)<0故fx在上是減函數(shù)．（2）當(dāng)a>0，x>0時(shí)，f'(x)>0，所以當(dāng)a>0時(shí)，fx在區(qū)間若a<0時(shí)，fx在區(qū)間1，2是增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)且解得，綜上，a的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，推斷函數(shù)的單調(diào)性以及已知單調(diào)性求解函數(shù)中的變量的范圍，考查分類探討思想的應(yīng)用．精準(zhǔn)精準(zhǔn)預(yù)料題一、選擇題．1．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，由y'=0，解得x=e，當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，y'>0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)x∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值為．方程有5化為，解得或．如圖畫出函數(shù)圖象：，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)推斷，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿意，f(2-x)=f(x)，當(dāng)x∈0，1時(shí)，f(x)=x2A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由題意知：f(x)的周期為2，關(guān)于x=1對(duì)稱，且f(2-(x+2))=f(-x)=f(x+2)=f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，即可得f(x)、g(x)的圖象如下：即f(x)與g(x)交于(-1，1)，【點(diǎn)評(píng)】1．f(m+x)=f(x)有f(x)的周期為m；2．f(n-x)=f(x)有f(x)關(guān)于．二、填空題．3．已知a>0，函數(shù)，若關(guān)于x的方程f(x)=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_________．【答案】4【解析】分類探討：當(dāng)x≤0時(shí)，方程fx=ax，即整理可得：x2很明顯x=-1不是方程的實(shí)數(shù)解，則；當(dāng)x>0時(shí)，方程fx=ax，整理可得：x2很明顯x=2不是方程的實(shí)數(shù)解，則，令，其中，，原問題等價(jià)于函數(shù)gx與函數(shù)y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)gx同時(shí)繪制函數(shù)y=a的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合a>0視察可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是4，【點(diǎn)評(píng)】本題的核心在考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，函數(shù)零點(diǎn)的求解與推斷方法包括：（1）干脆求零點(diǎn)：令fx=0，（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a，b上是連綿不斷的曲線，且fa?fb<0，還（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變