青海西寧二十一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

青海西寧二十一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)任意實(shí)數(shù)，在以下命題中，正確的個(gè)數(shù)有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.2．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.3．下列命題正確的是（）A經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C.四邊形確定一個(gè)平面D.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面4．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則的面積為（）A.6 B.C.8 D.5．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.6．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.7．從集合中任取兩個(gè)不同元素，則這兩個(gè)元素相差的概率為（）A. B.C. D.8．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值9．甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)從教室出發(fā)去體育館打球（路程相等），甲一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等，則（）A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時(shí)到體育館 D.不確定誰先到體育館10．若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1C. D.11．已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.12．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)、作兩條互相垂直的直線、，它們的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是________14．狄利克雷是十九世紀(jì)德國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn).狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù)”.若，根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求___________.15．經(jīng)過兩點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________16．半徑為R的圓外接于，且，若，則面積的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．定義為不超過x的最大整數(shù)，例如．當(dāng)時(shí)，求n的值18．（12分）已知拋物線過點(diǎn).（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，且，求證：過定點(diǎn).19．（12分）排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和5個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？20．（12分）已知數(shù)列和滿足，（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，，證明為等差數(shù)列，并求和的通項(xiàng)公式21．（12分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點(diǎn)，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點(diǎn)，求二面角的余弦值.22．（10分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點(diǎn)P，Q，求∠PFQ的大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】直接利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】①因?yàn)?，則，根據(jù)不等式性質(zhì)得，故正確；②當(dāng)時(shí)，，而，故錯(cuò)誤；③因?yàn)?，所以，即，故正確；④當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；故選：B2、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，，因?yàn)椋?，解得：，故選：A.3、D【解析】由平面的基本性質(zhì)結(jié)合公理即可判斷.【詳解】對(duì)于A，過不在一條直線上三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，故A不正確；對(duì)于B，經(jīng)過一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故B不正確；對(duì)于C，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故C不正確；對(duì)于D，兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，故D正確.故選：D4、B【解析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，，進(jìn)而利用得出，進(jìn)而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因?yàn)?，，所以，所以，故選：B5、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：A6、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達(dá)定理代入計(jì)算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.7、B【解析】一一列出所有基本事件，然后數(shù)出基本事件數(shù)和有利事件數(shù)，代入古典概型的概率計(jì)算公式，即可得解.【詳解】解：從集合中任取兩個(gè)不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個(gè)元素相差的取法有、、共3種.故這兩個(gè)元素相差的概率為.故選：B.8、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷、的結(jié)論【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)處取得極小值，故正確，故選：9、A【解析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度，表示出兩人所花時(shí)間后比較不等式大小【詳解】設(shè)總路程為，步行速度，跑步速度對(duì)于甲：，得對(duì)于乙：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，乙花時(shí)間多，甲先到體育館故選：A10、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A11、A【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立，利用參數(shù)分離的方法求出a的取值范圍【詳解】對(duì)任意都有恒成立，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)恒成立，

，當(dāng)時(shí)恒成立，，故選：A12、D【解析】當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)條件可知以為直徑的圓在橢圓的內(nèi)部，可得，再根據(jù)，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，以為直徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，即，即，，即.故填：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.14、1【解析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式，先求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式求即可.【詳解】由題設(shè)，，則.故答案：115、【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程將點(diǎn)坐標(biāo)代入求參數(shù)，即可確定標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令，則，可得，令，則，無解.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.16、【解析】利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面積公式，結(jié)合兩角差的正弦函數(shù)公式和二倍角公式得，再利用輔助角公式得，最后利用函數(shù)的值域計(jì)算得結(jié)論.【詳解】因?yàn)樗杂烧叶ɡ淼茫?，即，所以由余弦定理可得：，又，?由正弦定理得：，，所以，所以當(dāng)時(shí)，S最大，.若，則面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式及應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）10【解析】（1）由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得公差，可得通項(xiàng)公式；（2）用裂項(xiàng)相消法求和求得，根據(jù)新定義求得，然后分組，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算后解方程可得【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，則.因?yàn)?，則，得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是【小問2詳解】因?yàn)?，則所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則.因?yàn)?，則，即，即，即．因?yàn)椋?8、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）運(yùn)用代入法直接求解即可；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由已知可得：；【小問2詳解】的斜率不為設(shè)，，∴OA→?因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，所以，即過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.19、（1）（2）【解析】(1)用插空法，現(xiàn)排唱歌，利用產(chǎn)生的空排跳舞；（2）先排唱歌再排舞蹈.【小問1詳解】解：先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有7個(gè)空位，從中選5個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有種方法.【小問2詳解】解：先排舞蹈節(jié)目有種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，恰好供6個(gè)歌唱節(jié)目放入.所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有種方法.20、（1）（2）證明見解析，，【解析】（1）代入可得，變形得構(gòu)造等比數(shù)列求的通項(xiàng)公式；（2）先由已知得，先分別求出，的通項(xiàng)公式，然后合并可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式【小問1詳解】當(dāng)，時(shí)，，所以，即，整理得，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列故，即【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由，，得，所以因?yàn)椋?，則是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，；是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，綜上所述，所以，，故是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列當(dāng)時(shí)，，且滿足，所以21、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）利用題中所給的條件證明，，因?yàn)椋?，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式即可求解【詳解】（1）在圖①中，連接，如圖所示：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以是等邊三角?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，.又，所以.在圖②中，，所以，即.因?yàn)?，所以?又，，平面.所以平面.（2）由（1）知，，因?yàn)?，，平?所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得.令，得，，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)椋傻昧?，，，得則，由圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.22、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證，即∠PFQ＝90°．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線M