應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 第7章 -方差分析

《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》方差分析CONTENTS目錄第一節(jié)方差分析的基本原理第二節(jié)單因素方差分析的過程第三節(jié)雙因素方差分析CONTENTS目錄第一節(jié)方差分析的基本原理應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)例：消費(fèi)者常會(huì)因產(chǎn)品或服務(wù)質(zhì)量問題向消費(fèi)者協(xié)會(huì)投訴。為了對(duì)交通貨運(yùn)4個(gè)部門的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，消費(fèi)者協(xié)會(huì)在航空貨運(yùn)、鐵路貨運(yùn)、公路貨運(yùn)及水路貨運(yùn)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本，不同的部門投訴均值是否存在差異？航空貨運(yùn)鐵路貨運(yùn)公路貨運(yùn)水路貨運(yùn)324448444137295534643964355251735348455845

6860

56

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析的基本原理因素(A)i

水平A1

水平A2

…水平Ak

x11

x21…

xk1

x12

x22…

xk2

:

:

:

:

:

:

:

:

…

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析的基本原理設(shè)因素有k個(gè)水平，每個(gè)水平的均值分別用

1,

2,,

k

表示H0：

1

2

…

k

H1：

1,

2,，

k

不全相等方差分析：(AnalysisofVariances，簡(jiǎn)記為：ANOVA)研究一種或多種因素對(duì)某一結(jié)果的是否有顯著影響的模型因素：一個(gè)或多個(gè)分類型自變量結(jié)果：一個(gè)數(shù)值型因變量

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析的基本原理組間方差

因素的不同水平之間數(shù)據(jù)誤差的平方和

比如，不同行業(yè)之間的被投訴次數(shù)之間的差異

這種差異可能是由于行業(yè)本身所造成的，所形成的誤差

是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差組內(nèi)平方和因素的同一水平下數(shù)據(jù)誤差的平方和。比如，同一行業(yè)下不同企業(yè)被投訴次數(shù)之間的差異。這種差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，稱為隨機(jī)誤差。

方差分析核心：利用組間方差與組內(nèi)方差的比較來(lái)判斷因素水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。條件和結(jié)果：1.若因素水平無(wú)顯著影響：組間方差類似組內(nèi)方差，主要由隨機(jī)差異組成，比值約為1。

2.若因素水平有顯著影響：組間方差包含系統(tǒng)差異，超過組內(nèi)方差，比值顯著大于1。顯著性判定：方差比值超過特定臨界點(diǎn)時(shí)，表明因素水平間存在顯著差異。方差分析的基本原理

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析的基本假定(1)每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布：對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來(lái)自服從正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。比如，每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)必須服從正態(tài)分布。(2)各個(gè)總體的方差必須相同：各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的。比如，4個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的方差都相等。（3）觀測(cè)值是獨(dú)立的。不同觀測(cè)結(jié)果之間不會(huì)相互影響。方差分析的基本原理第二節(jié)單因素方差分析的過程應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)1.提出假設(shè)例：設(shè)

1為航空貨運(yùn)被投訴次數(shù)的均值，

2為鐵路貨運(yùn)被投訴次數(shù)的均值，

3為公路貨運(yùn)被投訴次數(shù)的均值，

4為水路貨運(yùn)被投訴次數(shù)的均值，提出的假設(shè)為：H0：

1

2

3

4

H1：

1,

2,

3,

4不全相等

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)2.計(jì)算總體誤差平方和

全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計(jì)算公式為：其中，

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)3.計(jì)算組間誤差平方和各組平均值與總平均值

的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度計(jì)算公式為

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

4.計(jì)算組內(nèi)誤差平方和各組樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和反映各組樣本觀察值離散狀況計(jì)算公式為

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA)之間的關(guān)系：SST=SSA

+SSE

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)5.計(jì)算均方差各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對(duì)誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差由誤差平方和除以相應(yīng)的自由度求得三個(gè)平方和對(duì)應(yīng)的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個(gè)數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個(gè)數(shù)SSE的自由度為n-k

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)組間方差MSA，計(jì)算公式為：組內(nèi)方差MSE，計(jì)算公式為：5.計(jì)算均方差

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)6.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析的基本原理

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)將MSA和MSE進(jìn)行對(duì)比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F。當(dāng)H0為真時(shí)，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即:

6.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)7.進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值與給定顯著性水平

下的臨界值F

進(jìn)行比較，作出決策：若F>F

，

拒絕原假設(shè)H0

，各總體均值不全相等若F<F

，

不拒絕原假設(shè)H0

，各總體均值無(wú)顯著統(tǒng)計(jì)差異

F

(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方F統(tǒng)計(jì)量組間誤差SSAk-1MSAMSA/MSE組內(nèi)誤差SSEn-kMSE總誤差SST=SSA+SSEn-1---

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析表

方差來(lái)源平方和自由度均方F統(tǒng)計(jì)量組間誤差1092.958333364.319443.45>3.1=F0.05(3,20)拒絕原假設(shè)組內(nèi)誤差211220105.6總誤差3204.9583323

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

若方差分析的結(jié)果為因子A各水平之間有顯著差異，需要進(jìn)行各水平均值的兩兩比較,進(jìn)一步檢驗(yàn)到底哪些均值之間存在差異。單因素方差分析中的多重比較

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)通過對(duì)總體均值之間的配對(duì)比較來(lái)可采用Fisher提出的最小顯著差異方法，簡(jiǎn)寫為L(zhǎng)SD。LSD方法是對(duì)檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否相等的t檢驗(yàn)方法的總體方差估計(jì)加以修正(用MSE來(lái)代替)而得到。單因素方差分析中的多重比較單因素方差分析中的多重比較

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)1.提出假設(shè)H0:

i

=

j(第i個(gè)總體的均值等于第j個(gè)總體的均值)H1:

i

j(第i個(gè)總體的均值不等于第j個(gè)總體的均值)2.計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量:3.計(jì)算,自由度df=n-k4.決策：若

，拒絕H0；第三節(jié)雙因素方差分析應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)雙因素方差分析的類型無(wú)交互作用的雙因素方差分析(無(wú)重復(fù)雙因素分析)

有交互作用的雙因素方差分析(重復(fù)雙因素分析)假定因素A和因素B的效應(yīng)之間是相互獨(dú)立的，不存在相互關(guān)系假定因素A和因素B的結(jié)合會(huì)產(chǎn)生出一種新的效應(yīng)

雙因素方差分析無(wú)重復(fù)雙因素方差分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

某商品有五種不同的包裝方式（因素A），在五個(gè)不同地區(qū)銷售（因素B），現(xiàn)從每個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取一個(gè)規(guī)模相同的超級(jí)市場(chǎng)，得到該商品不同包裝的銷售資料如下表.

包裝方式(A)A1A2A3A4A5銷售地區(qū)(B)B12012201014B2221020126B32414181810B41648618B52622162010

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)因素AA1A2…Ar因素BB1X11X12…X1rB2X21X22…X2r………………BkXk1Xk2…Xkr…無(wú)重復(fù)雙因素方差分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)每個(gè)總體都服從正態(tài)分布:對(duì)于因子的每一個(gè)水平，其觀察值是來(lái)自正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。各個(gè)總體的方差必須相同:對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的。觀察值是獨(dú)立的。無(wú)重復(fù)雙因素方差分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)無(wú)重復(fù)雙因素方差分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)由離差平方和與自由度可以計(jì)算均方差：

對(duì)因素A而言：

對(duì)因素B而言：

對(duì)誤差而言：無(wú)重復(fù)雙因素方差分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)誤差來(lái)源離差平方和自由度均方差F值A(chǔ)因素SSAr-1MSA=SSA/(r-1)FA=MSA/MSEＢ因素SSBk-1MSB=SSB/(k-1)FB=MSB/MSE誤差SSE(r-1)(k-1)MSE=SSE/(r-1)(k-1)---合計(jì)SSTn-1------無(wú)重復(fù)雙因素方差分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)建立假設(shè) 對(duì)因素A： H0：,包裝方式之間無(wú)差別。 H1：，不全相等,包裝方式之間有差別。 對(duì)因素B： H0：，地區(qū)之間無(wú)差別。 H1：，不全相等，地區(qū)之間有差別。無(wú)重復(fù)雙因素方差分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)接下來(lái)：因此無(wú)重復(fù)雙因素方差分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

對(duì)于因素A，因?yàn)?/p>

FA=3.87>F0.05（4,16）=3.01故拒絕H0接受H1，說明不同的包裝方式對(duì)該商品的銷售產(chǎn)生影響。對(duì)于因素B，因?yàn)?/p>

FB=2.30<F0.05（4,16）=3.01故接受H0說明不同地區(qū)該商品的銷售沒有顯著差異。無(wú)重復(fù)雙因素方差分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

提出假設(shè)對(duì)行因子提出的假設(shè)為H0：m1=m2=…=mi=…=mk(mi為第i個(gè)水平的均值)H1：mi

(i=1,2,…,k)不全相等對(duì)列因