專題31橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-

專題3.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程【基本知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．注意點(diǎn)：(1)橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和為定值．(2)定值必須大于兩定點(diǎn)間的距離，集合表示P={,2a>}(3)當(dāng)距離的和等于|F1F2|時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段．(4)當(dāng)距離的和小于|F1F2|時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．【特別注意】橢圓定義的理解(1)橢圓定義中包含一動(dòng)點(diǎn)和兩定點(diǎn)．(2)橢圓定義要求動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)間的距離之和大于兩定點(diǎn)間的距離．知識(shí)點(diǎn)2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2＝a2－c2【特別注意】(1)橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為2a.(2)x2項(xiàng)和y2項(xiàng)誰(shuí)的分母大，焦點(diǎn)就在對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上．知識(shí)點(diǎn)3：橢圓定義的應(yīng)用(1)橢圓的定義能夠?qū)E圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化．(2)橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形，可以利用橢圓的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識(shí)求解．(3)若橢圓中焦點(diǎn)三角形的頂角∠F1PF2＝θ，則焦點(diǎn)三角形的面積S＝b2taneq\f(θ,2).【題型1橢圓的定義】【例1】（20232024?高二上?重慶?期中）橢圓：的左右焦點(diǎn)分別是，，P在橢圓上，且，則（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，根據(jù)橢圓的定義，即可求得答案.【詳解】由題意知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，又P在橢圓上，，故，故選：D【變式11】（20232024?高二上?山東棗莊?月考）已知點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此橢圓上，則的周長(zhǎng)等于（

）A．16 B．20 C．18 D．14【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)及焦距即可.【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，由橢圓定義知，焦距，所以的周長(zhǎng)等于.故選：A【變式12】（20222023?高二上?青海西寧?期末）已知橢圓C:x29+y25=1，F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)A．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】根據(jù)橢圓的定義可求AF1+AF【解答過程】設(shè)橢圓x29+y2由橢圓定義可得AF1+又AF所以AF故選：D.【變式13】（20232024?高二下?安徽蕪湖?期末）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（）A.3 B.4 C.6 D.10【答案】C【解析】【分析】由橢圓定義和得到，結(jié)合，由余弦定理得，進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選：C【知識(shí)點(diǎn)2利用定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例2】（20232024?高二上?重慶?期中）平面內(nèi)點(diǎn)P到、的距離之和是10，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】B【變式21】（20222023?高二上?四川成都?期中）已知的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及橢圓定義求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】錯(cuò)解：∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：D.錯(cuò)因：忽略了A、B、C三點(diǎn)不共線這一隱含條件.正解：∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：B.【變式22】（20232024?高二上?四川瀘州?期中）若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A【變式23】（20232024?高二上?廣東廣州?期中）以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式和橢圓定義|PF1|＋|PF2|=2【題型3根據(jù)橢圓的定義求參數(shù)】【例3】（20232024?高二上?浙江紹興?期中）已知，則“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】求得方程表示橢圓的充要條件所對(duì)應(yīng)的m的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】若方程表示橢圓，則，解得且，所以“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.故選：C．【變式31】（20232024?高二上?吉林四平?期中）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、一元二次不等式的解法運(yùn)算即可得解.【詳解】解：∵方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴由，解得：或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式32】（20232024?高二上?江蘇揚(yáng)州?期中）（多選）如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C.或 D.且【答案】D【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程滿足的條件建立不等關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得且.故選：D.【變式33】（20232024?高二上?湖北荊州?期中）若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)說法中正確的是（

A．曲線C可能是圓 B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則 D．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則【答案】AD【題型4動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法】【例4】（20232024?高二上?山東青島?期中）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式整理可得動(dòng)圓圓心的軌跡為橢圓，根據(jù)橢圓定義可得軌跡方程.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，又由圓得，圓心，半徑，由圓得，圓心，半徑，由已知得，兩式相加消去可得，根據(jù)橢圓定義可得動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)為其中，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.【變式41】（20232024?高二上?山東濟(jì)南?期中）已知，B是圓C：上的任意一點(diǎn)，線段BF的垂直平分線交BC于點(diǎn)P.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等及橢圓定義得到正確答案．【詳解】解：圓，圓心為，半徑為4，因?yàn)榫€段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，所以．所以由橢圓定義知，的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，方程為．故答案為：．【變式42】（20232024?高二上?山東聊城?期中）已知圓，為圓內(nèi)一點(diǎn)，將圓折起使得圓周過點(diǎn)（如圖），然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續(xù)下去將會(huì)得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】記點(diǎn)關(guān)于折痕的對(duì)稱點(diǎn)為A，折痕相交于點(diǎn)，分析的值，結(jié)合橢圓定義可解.【詳解】由題知，，記點(diǎn)關(guān)于折痕的對(duì)稱點(diǎn)為A，折痕相交于點(diǎn)，則點(diǎn)A在圓周上，折痕為線段的垂直平分線，如圖所示：則有，可知，所以點(diǎn)軌跡是以為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)軸，焦距，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，即折痕圍成輪廊的圓錐曲線的方程為.故選：.【變式43】（20232024?高二上?河南開封?期中）（多選）過已知圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)作圓C與已知圓相切，則圓心C的軌跡不可能是（）A.圓 B.橢圓 C.線段 D.射線【答案】CD【解析】【分析】先根據(jù)兩個(gè)圓內(nèi)切得到圓心間的距離為半徑之差，再得到該值為定值得到軌跡為橢圓，考慮特殊情況橢圓，兩焦點(diǎn)重合情況，此時(shí)為圓即可.【詳解】如圖，設(shè)已知圓的圓心為，半徑為，圓內(nèi)的定點(diǎn)為，動(dòng)圓的半徑為．若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，由于兩圓相內(nèi)切，則，由于，因?yàn)椋?，所以?dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)，距離和為常數(shù)，又因?yàn)闉閳A內(nèi)的定點(diǎn)，所以．所以此時(shí)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為橢圓；若，重合為一點(diǎn)，則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以為直徑的圓．故選：CD【題型5橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題】【例5】（20222023?高二上?山東青島?期中）已知的頂點(diǎn)B、C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則的周長(zhǎng)是（）．A. B.6 C. D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出橢圓的長(zhǎng)半軸，再借助橢圓定義即可作答.【詳解】由橢圓知，該橢圓的長(zhǎng)半軸，A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)另一焦點(diǎn)為，而點(diǎn)在BC邊上，點(diǎn)B，C又在橢圓上，由橢圓定義得，所以的周長(zhǎng)故選：D.【變式51】（20222023?高二上?山東德州?期中）已知橢圓C：，橢圓C的一頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，的面積為，焦距為2，過，且垂直于的直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，則△ADE的周長(zhǎng)是（）A. B.8 C. D.16【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)的面積為，焦距為2，求得橢圓方程為，然后根據(jù)已知條件及等邊三角形的性質(zhì)，再利用等腰三角形的三線合一定理及橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，焦距為2，所以，所以，故橢圓方程為，假設(shè)為橢圓C的上頂點(diǎn)，因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)為，，所以，，故,所以為等邊三角形，又因?yàn)檫^，且垂直于的直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，所以，,由橢圓的定義可知：，，所以的周長(zhǎng)為，故選：.【變式52】（20232024·四川宜賓·高三·二診）已知點(diǎn)P是橢圓x29+y24=1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、A．6 B．12 C．2 D．2【解題思路】設(shè)PF1=m,PF2=n，先得到【解答過程】對(duì)于橢圓x29+設(shè)PF則根據(jù)橢圓的定義得m+n=2a=6，又cos∠解得mn=6，S△P故選：D.【變式53】（20222023?高二上?山東臨沂?期中）（多選）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則（

）A．周長(zhǎng)為14 B．面積最大值為12C．存在點(diǎn)P使得 D．不可能是等腰直角三角形【答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用橢圓定義求出的周長(zhǎng)即可判斷；對(duì)于B，利用點(diǎn)到的最大距離即可求得面積的最大值，從而可判斷；對(duì)于C，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩解的問題，從而可判斷；對(duì)于D，分