《高等代數(shù)與幾何I》課程教學(xué)大綱

《高等代數(shù)與幾何I》教學(xué)大綱課程編號：121204A課程類型：□通識教育必修課□通識教育選修課?學(xué)科基礎(chǔ)課□專業(yè)核心課□專業(yè)提升課□專業(yè)拓展課總學(xué)時：64講課學(xué)時：64實驗（上機）學(xué)時：0學(xué)分：4考試類型：?考試□考查適用對象：統(tǒng)計學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（金融方向）專業(yè)□是?否適合作為其他專業(yè)學(xué)生的個性化選修課先修課程：無一、教學(xué)目標(biāo)《高等代數(shù)與幾何I》是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的必修課之一。說明本課程的性質(zhì)以及在人才培養(yǎng)方案中的地位、作用和任務(wù)，明確學(xué)生在學(xué)完本課程后，在思想、知識和能力等方面應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)以及對后續(xù)課程的影響。目標(biāo)1：在學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思想上初步完成從中學(xué)數(shù)學(xué)走向大學(xué)數(shù)學(xué)的適應(yīng)與過渡；目標(biāo)2：逐步培養(yǎng)學(xué)生運用幾何與代數(shù)相結(jié)合的方法分析問題和解決問題的能力，使學(xué)生初步掌握基本的、系統(tǒng)的代數(shù)知識和抽象的嚴(yán)格的代數(shù)方法；目標(biāo)3：為后繼課程如常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、泛函分析、近世代數(shù)、計算方法等提供必須具備的代數(shù)知識，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的各門課程所需要的抽象思維能力提供一定的訓(xùn)練。目標(biāo)4：培養(yǎng)具堅定理想信念、深厚愛國主義情懷、高尚道德情操，具有扎實數(shù)學(xué)與統(tǒng)計專業(yè)學(xué)識，堅韌奮斗進(jìn)取品格的社會主義新青年。二、教學(xué)內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系本課程在教學(xué)中要求學(xué)生正確理解《高等代數(shù)與空間解析幾何》中的基本概念，讓學(xué)生盡早地更多地掌握數(shù)學(xué)的思想和方法。突出高等代數(shù)中等價分類的思想，分解結(jié)構(gòu)的思想，同構(gòu)對應(yīng)的思想，揭示課程內(nèi)部的本質(zhì)的有機聯(lián)系。在講解內(nèi)容的同時，重點傳授代數(shù)學(xué)的基本思想。所選教材以線性空間為綱的做法，即把高等代數(shù)的主要內(nèi)容放在線性空間的框架下展開，同時將必要的代數(shù)方法做盡可能詳細(xì)的介紹。講課的難點在于把握幾何直觀和代數(shù)方法的對應(yīng)關(guān)系和互動關(guān)系，使學(xué)生既能從幾何的觀點更好地理解內(nèi)容，又可把握簡潔和直接的代數(shù)方法。通過活潑互動的課堂教學(xué)，刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過探索討論課，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性；教學(xué)中逐步培養(yǎng)學(xué)生運用幾何與代數(shù)相結(jié)合的方法分析問題和解決問題的能力。以上學(xué)生對重點、難點內(nèi)容的理解與掌握，以及互動式教學(xué)方式的實現(xiàn)，是畢業(yè)要求中對數(shù)學(xué)知識理論與方法的掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識定量分析問題、與外界交流溝通暢通以及具備終生學(xué)習(xí)的能力的重要訓(xùn)練。每一章的重點內(nèi)容要突出，在講清概念的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)（課堂討論、作業(yè)、習(xí)題課、自學(xué)課外資料、問題探討等）以達(dá)到掌握高等代數(shù)中常用的計算方法、基本運算中的技能和技巧以及提高綜合計算和解決問題的能力的目的。難點要逐步引入，分散講解。本大綱列入部分帶“*”的內(nèi)容，供學(xué)生自學(xué)。我校學(xué)習(xí)本課程的學(xué)生是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（金融數(shù)學(xué)實驗班）專業(yè)與統(tǒng)計學(xué)專業(yè)，故在教學(xué)過程中應(yīng)及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，必要時可以合理調(diào)整教學(xué)模式。三、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配以表格方式表現(xiàn)各章節(jié)的學(xué)時分配，表格如下：教學(xué)課時分配序號章節(jié)內(nèi)容講課實驗其他合計1第一章向量代數(shù)90092第二章行列式1000103第三章矩陣與線性方程組2100214第四章二次型80085第五章多項式160016合計640064四、教學(xué)內(nèi)容第一章向量代數(shù)第一節(jié)向量及其運算第二節(jié)直線與平面第三節(jié)曲面與空間曲線使學(xué)生掌握向量及其運算以及線性相關(guān)性，對其有一個較直觀的認(rèn)識，能夠運用直線與平面，曲線與曲面的知識解決后續(xù)學(xué)習(xí)中的相關(guān)問題，會畫幾種常見的曲面及其在坐標(biāo)平面上的投影。教學(xué)重點：培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。教學(xué)難點：數(shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)。課程的考核要求：空間解析幾何的基本思想與方法。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。了解解析幾何學(xué)建立的重大意義。第二章行列式第一節(jié)行列式的基本概念第二節(jié)行列式的性質(zhì)第三節(jié)行列式的計算及展開式第四節(jié)Cramer法則使學(xué)生理解行列式的歸納法定義，熟練掌握行列式的性質(zhì)，熟練掌握計算行列式基本方法，并會運用Gramer法則求線性方程組的解，了解和應(yīng)用Laplace定理，了解行列式的等價定義。教學(xué)重點：行列式的性質(zhì)，計算行列式的方法：累加法，降階歸納法，典型形式行列式的計算方法。教學(xué)難點：注意不要在計算行列式的技巧方面花過多時間和過高的要求。課程的考核要求：理解定義與性質(zhì)，會基本的行列式計算。復(fù)習(xí)思考題：比較行列式的不同定義，體會不同定義的思想本質(zhì)。第三章矩陣與線性方程組第一節(jié)n維向量空間第二節(jié)線性相關(guān)性第三節(jié)矩陣的運算第四節(jié)矩陣乘積的行列式與秩第五節(jié)可逆矩陣第六節(jié)矩陣的分塊第七節(jié)矩陣的初等變換與初等方陣第八節(jié)線性方程組的解與解的結(jié)構(gòu)了解n維向量空間，會依據(jù)定義判定和證明向量組的線性關(guān)系，正確掌握矩陣的運算和運算法則，熟練掌握矩陣的初等變換這一矩陣論的核心內(nèi)容和方法，掌握計算矩陣的秩的初等變換方法和子式方法，掌握證明矩陣的秩的命題的方法，掌握方塊矩陣的運算，特別是分塊初等變換，掌握矩陣的運算，初等變換，等價關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)型的計算，化標(biāo)準(zhǔn)型的思想方法。熟練掌握線性方程組的解的判斷、計算和解的結(jié)構(gòu)。教學(xué)重點：線性相關(guān)性的判定，矩陣的初等變換與左（右）乘初等矩陣的對應(yīng)，方塊矩陣的分塊初等變換，線性方程組的解。教學(xué)難點：線性相關(guān)性的證明需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰蜏?zhǔn)確的表達(dá)能力，講授轉(zhuǎn)置運算的同時介紹對稱陣和反對稱陣；作為例子介紹標(biāo)準(zhǔn)單位向量和基礎(chǔ)矩陣以及性質(zhì)；介紹可逆陣的充要條件和計算時應(yīng)該注意與初等變換和初等矩陣的聯(lián)系；講授矩陣等價要注意等價分類的思想；從行列式、矩陣相似、向量組、方程組以及矩陣分解等角度理解矩陣秩的含義。課程的考核要求：線性相關(guān)性，矩陣的初等變換，方程組的解。復(fù)習(xí)思考題：討論矩陣運算的本質(zhì)。了解矩陣這一重要角色在代數(shù)學(xué)中的重要意義。第四章二次型第一節(jié)二次型及其矩陣表示第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)型第三節(jié)唯一性第四節(jié)正定二次型使學(xué)生掌握用非退化線性替換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范型，掌握判斷二次型的正定性的方法，從對稱矩陣的合同關(guān)系理解等價分類的思想。教學(xué)重點：把二次型通過線性替換化成對角形，從矩陣的合同關(guān)系反映的等價分類的思想。教學(xué)難點：正定性的判別。課程的考核要求：二次型與對稱矩陣的對應(yīng)，二次型的非退化線性替換與對稱陣的合同關(guān)系；二次型化簡的配方法和初等變換法；復(fù)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型，符號差，實二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型；正定型與正定矩陣。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。第五章多項式第一節(jié)整數(shù)環(huán)與一元多項式環(huán)第二節(jié)帶余除法第三節(jié)最大公因式第四節(jié)因式分解第五節(jié)形式導(dǎo)數(shù)與重因式第六節(jié)多項式的根第七節(jié)有理系數(shù)多項式*第八節(jié)多元多項式*第九節(jié)對稱多項式使學(xué)生掌握多項式全體作為線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)的運算法則；掌握和應(yīng)用帶余除法定理；理解最大公因式和互素的判別方法和基本性質(zhì)；掌握和應(yīng)用因式分解定理，掌握不可約多項式的基本性質(zhì)，了解重因式與重根的聯(lián)系，掌握復(fù)系數(shù)與實系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式，了解一元三次和四次方程的根式解，理解有理系數(shù)多項式的Gauss引理，掌握Eisenstein判別法。教學(xué)重點：兩個多項式作為形式多項式的相等和作為多項式函數(shù)相等的定義和兩者的等價；最大公因式和互素，因式分解定理和標(biāo)準(zhǔn)分解式，有理數(shù)域上的多項式。教學(xué)難點：熟悉從多項式代數(shù)和多項式函數(shù)兩個不同角度研究多項式的方法和聯(lián)系；掌握與數(shù)域擴大相關(guān)的多項式性質(zhì)和無關(guān)的性質(zhì)，Gauss引理和Eisenstein判別法證明中分析系數(shù)的方法。課程的考核要求：一元多項式的概念，多項式的運算，整除的概念與性質(zhì)，帶余除法，Euclidean輾轉(zhuǎn)相除法，互素的性質(zhì)及判定。復(fù)習(xí)思考題：一元多項式與整數(shù)的關(guān)系。理解多項式函數(shù)與多項式的區(qū)別與聯(lián)系，體會概念的特殊與一般。五、考核方式、成績評定本課程的考核成績采取平時成績（含課堂參與度、作業(yè)、小測驗）與期末閉卷測試成績相結(jié)合的方式，擬按3:7比例分配。六、