《數(shù)值分析》課程教學(xué)大綱

-11-數(shù)值分析教學(xué)大綱課程編號(hào)：122063A課程類型：□通識(shí)教育必修課□通識(shí)教育選修課□學(xué)科基礎(chǔ)課專業(yè)核心課□專業(yè)提升課□專業(yè)拓展課總學(xué)時(shí)：48講課學(xué)時(shí)：32實(shí)驗(yàn)（上機(jī)）學(xué)時(shí)：16學(xué)分：3考試類型：考試□考查適用對(duì)象：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(金融方向)專業(yè)是□否適合作為其他專業(yè)學(xué)生的個(gè)性化選修課先修課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、常微分方程一、教學(xué)目標(biāo)課程性質(zhì)數(shù)值分析也稱計(jì)算方法，包含有豐富的科學(xué)研究方法和創(chuàng)新內(nèi)容，是學(xué)習(xí)和了解科學(xué)計(jì)算的橋梁。數(shù)值分析可概括為用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法和理論，是科學(xué)研究方法的實(shí)際應(yīng)用。隨著計(jì)算科學(xué)和技術(shù)的迅速發(fā)展，無(wú)論是在傳統(tǒng)學(xué)科領(lǐng)域還是在高新科技領(lǐng)域遇到的各類數(shù)學(xué)問題都有可能通過數(shù)值計(jì)算方法加以解決?！翱茖W(xué)與工程計(jì)算”已經(jīng)成為平行于理論分析和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的第三種科學(xué)手段。如今數(shù)值分析已經(jīng)成為科學(xué)工作者和工程技術(shù)人員應(yīng)該掌握的必備知識(shí)和工具?，F(xiàn)在理工科、財(cái)經(jīng)類院校大都為學(xué)生開設(shè)了數(shù)值分析（或稱“數(shù)值計(jì)算方法”、“計(jì)算方法”）課程。幾十年來，數(shù)值分析已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支，起著理論與實(shí)踐不可替代的作用。在當(dāng)代，對(duì)數(shù)值分析的掌握程度已成為衡量一個(gè)國(guó)家科學(xué)實(shí)力的重要標(biāo)志之一。因此開設(shè)數(shù)學(xué)分析課程是十分必要的。這門課程的教學(xué)需要學(xué)生具有數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)及常微分方程等方面的知識(shí)。為此，數(shù)值分析在三年級(jí)開設(shè)為宜。課程作用與任務(wù)本課程主要介紹現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中常用的數(shù)值計(jì)算方法及基本原理，旨在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程解決有關(guān)計(jì)算問題的能力，為數(shù)值分析的應(yīng)用并為掌握更復(fù)雜的現(xiàn)代計(jì)算方法打好基礎(chǔ)。課程學(xué)習(xí)中，主要算法的實(shí)踐運(yùn)用現(xiàn)成數(shù)學(xué)軟件C、C++或Matlab編程實(shí)現(xiàn)。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生須達(dá)到以下3個(gè)目標(biāo)。目標(biāo)1：掌握數(shù)值計(jì)算方法的基本概念和基本算法，重視各種方法的誤差分析和和算法的編程實(shí)現(xiàn)。目標(biāo)2：掌握算法的基本思想、原理和構(gòu)造手法，學(xué)會(huì)分析問題的基本方法。目標(biāo)3：注意與實(shí)際問題相聯(lián)系，進(jìn)行必要的數(shù)值計(jì)算訓(xùn)練，學(xué)會(huì)方法處理的技巧及其與計(jì)算機(jī)的結(jié)合。二、教學(xué)內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對(duì)應(yīng)關(guān)系本課程的教學(xué)內(nèi)容包括數(shù)值計(jì)算方法的基本理論、概念和基本方法。涉及數(shù)值算法設(shè)計(jì)基礎(chǔ)、非線性方程的數(shù)值解法、線性方程組的數(shù)值解法和矩陣特征值問題的解法、插值與擬合方法、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程初值問題數(shù)值解法六個(gè)模塊。理論講授與實(shí)驗(yàn)結(jié)合，重點(diǎn)突出算法的設(shè)計(jì)思想與編程實(shí)踐，削弱算法的理論推導(dǎo)，具體講授重難點(diǎn)見第四部分的教學(xué)內(nèi)容。希望通過實(shí)踐中的計(jì)算與結(jié)果分析，使學(xué)生系統(tǒng)掌握數(shù)值分析的基本概念和分析問題的基本方法，認(rèn)識(shí)成型數(shù)值算法的優(yōu)缺點(diǎn)、適用范圍和運(yùn)用方法，為數(shù)值分析的應(yīng)用和掌握更復(fù)雜的現(xiàn)代計(jì)算方法打好基礎(chǔ)。授課中，學(xué)生需要每章節(jié)挑出3道實(shí)驗(yàn)題目上機(jī)實(shí)習(xí)，體會(huì)算法的技巧，撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告并對(duì)每章留過的習(xí)題獨(dú)立思考完成，提高自己分析問題的能力和解決實(shí)際問題的能力。三、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配教學(xué)課時(shí)分配序號(hào)章節(jié)內(nèi)容講課實(shí)驗(yàn)其他合計(jì)1緒論20022非線性方程的數(shù)值解法42063線性方程組的數(shù)值解法62084矩陣特征值問題的解法42065插值與擬合方法870156數(shù)值積分與數(shù)值微分42067常微分方程數(shù)值解法4105合計(jì)3216048四、教學(xué)內(nèi)容第一章緒論第一節(jié)數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算計(jì)算機(jī)中的數(shù)系與運(yùn)算特點(diǎn)第二節(jié)數(shù)值計(jì)算的誤差誤差來源與分類誤差與有效數(shù)字?jǐn)?shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)第三節(jié)誤差定性分析與避免誤差危害算法的數(shù)值穩(wěn)定性病態(tài)問題與條件數(shù)避免誤差危害教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)值分析和其主要內(nèi)容及誤差的相關(guān)概念（誤差來源、有效數(shù)字、誤差估計(jì)）。教學(xué)難點(diǎn)：算法的穩(wěn)定性與收斂性。課程考核要求：了解數(shù)值計(jì)算方法的內(nèi)容和意義、了解病態(tài)問題和算法穩(wěn)定性；理解誤差的來源和危害；掌握有效數(shù)字、誤差估計(jì)和避免誤差的基本原則。課程思政切入點(diǎn)：（1）計(jì)算科學(xué)的發(fā)展歷程與前言。（2）秦九韶算法的介紹，培養(yǎng)愛國(guó)主義情懷。復(fù)習(xí)思考題：誤差和誤差限估計(jì)、設(shè)計(jì)合理的算法。第二章非線性方程的數(shù)值解法第一節(jié)方程求根與二分法引言二分法第二節(jié)簡(jiǎn)單迭代方法不動(dòng)點(diǎn)迭代法不動(dòng)點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性局部收斂性與收斂階第三節(jié)Newton類迭代方法牛頓法及其收斂性牛頓法應(yīng)用舉例簡(jiǎn)化牛頓法與牛頓下山法重根情形第四節(jié)非線性方程組的數(shù)值解法非線性方程組多變量方程的不動(dòng)點(diǎn)迭代法非線性方程組的牛頓迭代法教學(xué)重點(diǎn)：非線性方程根的牛頓迭代法和弦截法。教學(xué)難點(diǎn)：牛頓迭代法和弦截法的收斂性。課程考核要求：理解方程求根與二分法；理解不動(dòng)點(diǎn)迭代法，掌握迭代公式的設(shè)計(jì)，掌握牛頓法；應(yīng)用二分法、牛頓法解決實(shí)際相關(guān)問題；了解不動(dòng)點(diǎn)、迭代法的收斂性與收斂階、迭代收斂的兩種加速方法和非線性方程組的牛頓迭代法。課程思政切入點(diǎn)：數(shù)學(xué)建模的初步介紹，研究數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的典型方法。培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。第三章線性方程組的數(shù)值解法第一節(jié)問題的描述與基本概念第二節(jié)線性方程組的迭代解法構(gòu)造原理迭代分析及向量收斂迭代法的收斂條件與誤差估計(jì)第三節(jié)線性方程組的直接解法Gauss消元法L-U分解法特殊線性方程組的解法第四節(jié)線性方程組解對(duì)系數(shù)的敏感性解對(duì)系數(shù)敏感性的相對(duì)誤差有關(guān)殘向量的注記第五節(jié)共軛梯度法*教學(xué)重點(diǎn)：線性方程組的迭代方法和直接解法。教學(xué)難點(diǎn)：迭代方法的收斂條件和直接解法的誤差分析。課程考核要求：理解線性方程組的迭代方法（Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法）；理解線性方程組的直接解法(Gauss消元法、L-U分解法和特殊線性方程組的解法)，掌握雅可比迭代法和高斯--賽德爾迭代法的公式設(shè)計(jì)，掌握非線性其次方程組的直接解法；應(yīng)用迭代法和直接解法解決實(shí)際相關(guān)問題；了解迭代法的收斂條件和誤差估計(jì)，了解超松弛迭代法和解對(duì)系數(shù)的敏感性，了解共軛梯度法。課程思政切入點(diǎn)：(1)學(xué)習(xí)遷移的重要性（由非線性迭代到線性迭代方法的推廣）；（2）由Gauss-Seidel迭代出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生“充分利用已有數(shù)據(jù)”的意識(shí)；（3）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯（迭代法收斂的充分條件和必要條件）；（4）由解線性方程的消元法培養(yǎng)學(xué)生“從最簡(jiǎn)單的地方出發(fā)，小處做起”的品質(zhì)和“嚴(yán)謹(jǐn)”的態(tài)度。第四章矩陣特征值問題的解法第一節(jié)特征值問題及相關(guān)結(jié)果特征值與特征向量特征值的估計(jì)及擾動(dòng)第二節(jié)冪法與反冪法冪法加速方法反冪法第三節(jié)正交變換與矩陣分解Householder變換Givens變換矩陣的QR分解第四節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣特征值問題的解法Jacobi方法二分法教學(xué)重點(diǎn)：冪法和反冪法，Jacobi方法和Householder矩陣的正交變換，實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的QR方法。教學(xué)難點(diǎn)：正交變換和矩陣分解。課程考核要求：理解矩陣的分解和正交變換方法，掌握冪法與反冪法，應(yīng)用冪法和反冪法求矩陣特征值問題；了解冪法的加速方法。課程思政切入點(diǎn)：通過介紹實(shí)際問題與特征值的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。第五章插值與擬合方法第一節(jié)問題描述與基本概念插值問題的描述擬合問題的描述插值函數(shù)和擬合函數(shù)的幾何解釋第二節(jié)插值法代數(shù)插值問題Lagrange插值Newton插值Hermite插值分段多項(xiàng)式插值三次樣條插值第三節(jié)曲線擬合法構(gòu)造原理分析可用線性最小二乘擬合求解的幾個(gè)非線性擬合類型曲線擬合法的推廣第四節(jié)知識(shí)擴(kuò)展閱讀：內(nèi)積空間與正交*教學(xué)重點(diǎn)：插值的基本思想、拉格朗日插值、牛頓插值、Hermite插值、三次樣條插值，最佳逼近、曲線擬合的最小二乘法。教學(xué)難點(diǎn)：插值和連續(xù)函數(shù)逼近的基本概念。課程考核要求：了解插值的基本問題，掌握插值的基本思想；理解拉格朗日插值(線性、二次、一般公式、余項(xiàng)與誤差估計(jì))、差商與帶重節(jié)點(diǎn)差商的計(jì)算，掌握牛頓插值公式（包括帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式），了解差分與等距節(jié)點(diǎn)插值。了解分段插值的概念、分段高次插值，理解分段線性，理解三次樣條插值，應(yīng)用三次樣條插值接解決相關(guān)問題。了解函數(shù)逼近的基本概念、內(nèi)積與內(nèi)積空間、范數(shù)與賦范空間，掌握曲線擬合的最小二乘法，掌握正交化過程在正交多項(xiàng)式的應(yīng)用，掌握連續(xù)函數(shù)最佳逼近的思想及其實(shí)現(xiàn)過程。課程思政切入點(diǎn)：使學(xué)生了解數(shù)據(jù)挖掘的初步知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生處理數(shù)據(jù)的意識(shí)。第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分第一節(jié)引言第二節(jié)插值型求積公式構(gòu)造原理Newton-Cotes求積公式Gauss求積公式第三節(jié)復(fù)化求積公式復(fù)化梯形公式復(fù)化Simpson公式第四節(jié)Romberg求積方法構(gòu)造原理分析Romberg求積方法的計(jì)算過程第五節(jié)數(shù)值微分利用n次多項(xiàng)式插值函數(shù)求數(shù)值導(dǎo)數(shù)利用三次樣條插值函數(shù)求數(shù)值導(dǎo)數(shù)第六節(jié)知識(shí)擴(kuò)展閱讀：Monte-Carlo方法*教學(xué)重點(diǎn)：Newton-Cotes求積公式、Gauss求積公式、復(fù)化求積公式、Romberg求積公式和數(shù)值微分。教學(xué)難點(diǎn)：求積公式的收斂性與穩(wěn)定性、數(shù)值微分的基本算法。課程考核要求：理解數(shù)值求積的基本思想，理解代數(shù)精度的概念，掌握機(jī)械性求積公式的構(gòu)造，理解插值型求積公式，了解求積公式的收斂性與穩(wěn)定性。了解Newton-Cotes公式。理解復(fù)化求積公式的構(gòu)造、復(fù)化梯形求積公式、了解孵化Simpson公式。理解高斯求積公式的設(shè)計(jì)思想，了解高斯-勒讓德求積公式和高斯-切比雪夫求積公式。理解數(shù)值微分的基本思想，了解數(shù)值微分的基本算法。課程思政切入點(diǎn)：對(duì)于不可用數(shù)學(xué)公式積出來的定積分，用計(jì)算機(jī)逼近，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的能力。第七章常微分方程數(shù)值解法第一節(jié)引言問題的描述建立數(shù)值解法的思想與方法第二節(jié)數(shù)值解法的誤差、階與絕對(duì)穩(wěn)定性第三節(jié)Euler方法的有關(guān)問題Euler方法的幾何意義Euler方法的誤差Euler方法穩(wěn)定性改進(jìn)的Euler方法第四節(jié)Runge-Kutta方法1.構(gòu)造原理2.構(gòu)造過程Runge-Kutta方法的階與級(jí)的關(guān)系第五節(jié)線性多步法基于數(shù)值積分的構(gòu)造方法基于Taylor展式的構(gòu)造方法第六節(jié)步長(zhǎng)的自動(dòng)選取第七節(jié)一階微分方程組和高階微分方程初值問題的數(shù)值解法一階微分方程組高階微分方程初值問題教學(xué)重點(diǎn)：微分方程數(shù)值解的基本概念、簡(jiǎn)單的數(shù)值方法與基本概念（歐拉折線法、梯形法、截?cái)嗾`差、改進(jìn)的歐拉折線法）、龍格－庫(kù)塔方法、單步法的收斂性與穩(wěn)定性、線性多步法、微分方程組和高階微分方程數(shù)值解。教學(xué)難點(diǎn)：?jiǎn)尾椒ㄊ諗啃耘c相容性、絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)收斂域。課程考核要求：理解微分方程初值問題與數(shù)值解的有關(guān)概念，理解歐拉折線法與改進(jìn)的歐拉折線法。了解Runge-Kutta方法的一般形式，理解幾個(gè)常見的二階方法、三階與四階方法，了解變步長(zhǎng)的R-K方法。了解單步法收斂性與穩(wěn)定性的有關(guān)概念（收斂性與相容性、絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域），了解線性多步法的一般公式，理解阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式，了解漢明方法，理解預(yù)估-校正法。了解一階微分方程組的算法實(shí)現(xiàn)和將高階方程組化為一階微分方程組的方法。課程思政切入點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生問題轉(zhuǎn)化的能力。五、考核方式、成績(jī)?cè)u(píng)定期末總評(píng)成績(jī)=平時(shí)成績(jī)50%+期末閉卷考試