專題135三角形中的八大經(jīng)典模型（舉一反三）（滬科版）（原卷版）

專題13.5三角形中的八大經(jīng)典模型【八大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1A字模型】 1【題型28字模型】 3【題型3雙垂直模型】 4【題型4飛鏢模型】 6【題型5風(fēng)箏模型】 8【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】 9【題型7兩外角角平分線模型】 11【題型8內(nèi)外角角平分線模型】 14【知識點1A字模型】【條件】△ADE與△ABC.【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C.【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°∠A，∠B+C=180°∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.【題型1A字模型】【例1】（2023春·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（

）A．360o B．250o C．180o D．140o【變式11】（2023春·八年級單元測試）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點B,C，連接BC【變式12】（2023春?常州期中）如圖，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，點D、E分別在AB、BC上．連接DE，∠DEB＝42°．（1）求∠A的度數(shù)；（2）判斷DE與AC之間的位置關(guān)系，并說明理由．【變式13】（2023春·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知∠A=40°，則∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)為【知識點28字模型】【條件】AD、BC相交于點O.【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對頂角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.【題型28字模型】【例2】（20152016學(xué)年北京市懷柔區(qū)八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（帶解析））如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D=28°，則∠A．62° B．152° C．208°【變式21】（20132014學(xué)年初中數(shù)學(xué)蘇教版八年級上冊第一章練習(xí)卷（帶解析））如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．【變式22】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應(yīng)（填“增加”【變式23】（2023春·八年級期末）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【知識點3雙垂直模型】【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【題型3雙垂直模型】【例3】（2023春·廣東珠海·八年級校聯(lián)考期末）如圖1，線段AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB=∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于點H，EH的反向延長線交AF于點G．①求證EG⊥AF；②求∠F的度數(shù)．【提示：三角形內(nèi)角和等于180度】【變式31】（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F，求證：證明：∵AE平分∠CAB∴∠CAE=∠FAB∵∠ACE∴∠CAE+∠CEF∵CD是△ABC∴∠FDA∴∠FAB∴∠CEF=∠AFD∵∠CFE=∠AFD∴∠CFE=∠CEF【變式32】（2023春·山東青島·八年級山東省青島第五十九中學(xué)校考期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點(1)判斷△DBF(2)求證：AD⊥【變式33】（2023春·山東濟南·八年級濟南育英中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠B=90°，點D在射線BC上運動，DE⊥AD（1）如圖1，若∠BAC=60°，當(dāng)AD平分∠BAC（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BC上時，①判斷∠EDC與∠②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分線相交于點G，隨著點D的運動，（3）如圖3，當(dāng)點D在BC的延長線上時，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分線和∠DEF的角平分線的反向延長線相交于點G，【知識點4飛鏢模型】【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個內(nèi)角和)【證明】如上右圖，連接AD并延長到E，則：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個三角形外角和定理證明.【題型4飛鏢模型】【例4】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）在社會實踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠CA．72° B．70° C．65° D．60°【變式41】（2023春·八年級期末）如圖，已知在△ABC中，∠A=40°，現(xiàn)將一塊直角三角板放在△ABC上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點B,C，直角頂點D落在A．90° B．60° C．50° D．40°【變式42】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，已知四邊形ABDC，求證∠BDC【變式43】（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）如圖，若∠EOC=115°，則∠【知識點5風(fēng)箏模型】【條件】四邊形ABPC，分別延長AB、AC于點D、E，如上左圖所示.【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證.【題型5風(fēng)箏模型】【例5】（2023春·重慶渝北·八年級校考期中）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【變式51】（2023春·八年級期末）如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A．14° B．15° C．28° D．30°【變式52】（2023春·八年級期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，將∠C沿DE翻折，使點C落在△ABC外的點C'【變式53】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【知識點6兩內(nèi)角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點I.【結(jié)論】【證明】∵BI是∠ABC平分線，∴∵CI是∠ACB平分線，∴由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【例6】（2023春·江蘇蘇州·八年級期中）直線MN與直線PQ垂直相交于點O，點A在直線PQ上運動，點B在直線MN上運動．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和（3）如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及反向延長線相交于E、F，在△【變式61】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE與CF交于點G，若∠BDC=140°，∠BGCA．80° B．75° C．60° D．45°【變式62】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠BOC＝130°，則∠D＝【變式63】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級校聯(lián)考期末）如圖1，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點G．（1）若∠MON=60°，則∠ACG=；（直接寫出答案）（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖2，若∠MON=80°，過點C作CF∥OA交AB于點F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關(guān)系．【知識點7兩外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點O.【結(jié)論】.【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°∠2∠5=180°=180°===【題型7兩外角角平分線模型】【例7】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

【變式71】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，五邊形ABCDE在∠BCD,∠EDC處的外角分別是∠FCD,∠GDC,CP,DP分別平分∠【變式72】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分線交點，延長BP交AC于G，請寫出∠A和【變式73】（2023春·八年級期末）如圖1，△ABC的外角平分線交于點F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數(shù)為；（2）如圖2，過點F作直線MN∥BC，交AB，AC延長線于點M，N，若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點F轉(zhuǎn)動．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點時，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)直線MN與線段BC有交點時，試問①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．【知識點8內(nèi)外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點P.【結(jié)論】【證明】∵BP是∠ABC平分線，∴∵CP是∠ACE平分線，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對①式兩邊同時除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.==.【題型8內(nèi)外角角平分線模型】【例8】（2023春·八年級期末）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的平分線，CA2是∠A1CD的平分線，【變式81】（2023春·八年級期末）如圖，已知△ABC的兩條高BD、CE交于點F，∠ABC的平分線與△ABC外角∠ACM的平分線交于點G，若∠BFC【變式82】（2023春·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=．【變式83】（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，若存在一個內(nèi)角角度是另外一個內(nèi)角角度的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍