專題01有理數(shù)（原卷版）

專題01有理數(shù)知識點1：正負數(shù)小學學過的除0以外的數(shù)都是正數(shù).在正數(shù)前面加上符號“”（負）的數(shù)叫做負數(shù).大于零的數(shù)是正數(shù)，小于零的數(shù)是負數(shù).0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，0是正數(shù)與負數(shù)的分界點.知識點2：有理數(shù)的分類用正、負數(shù)表示具有相反意義的量.（1）概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù).（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù).（2）分類：兩種按正、負性質(zhì)分類：按整數(shù)、分數(shù)分類：知識點3：有理數(shù)的相關概念1．數(shù)軸：規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點與全體實數(shù)一一對應.2．相反數(shù)：只有符號不同，而絕對值相同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)，若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.3．倒數(shù)：1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.4．絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，記作|a|.知識點4：有理數(shù)的運算1.有理數(shù)的加法加法法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).加法運算定律：（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.即a+b=b+a.（2）加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變，即a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）.2.有理數(shù)的減法減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即ab=a+（b）.3.有理數(shù)的乘法乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.（3）多個不為0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值.（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數(shù)是0.乘法運算定律：（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等.即a×b＝ba.（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等.即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚.（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加，即a×﹙b+c﹚＝a×b+a×c.4.有理數(shù)除法法則（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.5.有理數(shù)的乘方運算法則（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù).（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù).（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0.6.科學記數(shù)法1.科學記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）.這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)法.﹙1≤|a|＜10﹚2.近似數(shù)的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位.（2）保留幾個有效數(shù)字.注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結(jié)果一般用科學記數(shù)法來表示.例如：256000（精確到萬位）的結(jié)果是2.6×105.3. 有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù).注意：（1）用科學記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字.例如：3.0×104的有效數(shù)字是3.（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字.例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5.考點剖析考點一：正負數(shù)【典例1】《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負數(shù)．如果表示向東走40m，那么表示（

）A．向東走 B．向西走 C．向東走 D．向西走【變式11】何小虎是航天科技六院西安航天發(fā)動機的數(shù)控車工、高級技師，他的絕活是在非精密環(huán)境中實現(xiàn)產(chǎn)品精密加工．在長三乙火箭發(fā)動機噴注器架的生產(chǎn)中，需要加工幾項基本尺寸為的深小軸（）范圍內(nèi)的尺寸均為合格品，則下列深小軸的尺寸中合格的是（）A． B． C． D．【變式12】某校儀仗隊隊員的平均身高為，如果高于平均身高記作，那么低于平均身高應該記作（

）A． B． C． D．考點二：有理數(shù)的相關概念【典例2】的相反數(shù)是（

）A．2023 B． C． D．【變式21】下列7個數(shù)：、、、、0、、，其中有理數(shù)有（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式22】數(shù)軸上的點表示的數(shù)是，那么在數(shù)軸上與點相距個單位長度的點表示的數(shù)是（

）A． B．或4 C． D．4【變式23】若，則的值為（）A．8 B． C．8或 D．以上答案都不對【變式24】數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這條數(shù)軸上隨意畫出一條長2023厘米的線段，則線段蓋住的整點個數(shù)是（

）A．2020或2021 B．2021或2022 C．2022或2023 D．2023或2024【變式25】數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為和5，點M也在該數(shù)軸上，且到A，B兩點的距離相等，則點M表示的數(shù)是．【變式26】比較大?。海ㄌ睢埃肌被颉埃尽保咀兪?7】已知，，在數(shù)軸上的位置如圖，化簡．

考點三：非負性的性質(zhì)【典例3】若，則的值一定是（

）A．0 B．負數(shù) C．非負數(shù) D．非正數(shù)【變式31】若a是有理數(shù)，則的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式32】若，則．【變式33】已知數(shù)，，滿足，請回答問題：

(1)請直接寫出，，的值：_______，________，________．(2)數(shù)軸上，，三個數(shù)所對應的點分別為，，，則，兩點的距離可表示為_______，數(shù)軸上有一點，它表示的數(shù)為．若，則點表示的數(shù)是______．(3)點和點分別以每秒3個單位長度和1個單位長度的速度同時向右運動，設運動時間為．①當時，求的長；②當，兩點的距離為時，求的值．考點四：有理數(shù)的運算【典例4】計算：(1)；(2)．【變式41】計算：(1)；(2)．【變式42】計算：．【變式43】計算：．【變式44】計算：．考點五：有理數(shù)的實際應用【典例5】有8筐白菜，以每筐25千克為準，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負數(shù)，稱后的記錄如下：1，4，2，，1，，，，求：(1)這8筐白菜一共多少千克？(2)如果每千克白菜能賣5元，這8筐白菜共能賣多少元？【變式51】檢修工乘汽車沿東西方向檢修電路，規(guī)定向東為正，向西為負，某天檢修工從O地出發(fā)，到收工時行程記錄為：單位：千米，，，，，，，，，(1)收工時，檢修工在O地的哪邊？距O地多遠？(2)若每千米耗油升，從O地出發(fā)到收工時，共耗油多少升？【變式52】某自行車廠一周計劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)自行車100輛，由于各種原因，實際每天生產(chǎn)量與計劃每天生產(chǎn)量相比有出入．下表是某周的自行車生產(chǎn)情況（超過計劃生產(chǎn)量為正，不足計劃生產(chǎn)量為負，單位：輛）：星期一二三四五六日增減(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)自行車__________________輛．(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)__________________輛．(3)若該廠實行按生產(chǎn)的自行車數(shù)量的多少計工資，即計件工資制．如果每生產(chǎn)一輛自行車就可以得到人民幣60元．一周超額完成任務，每超一輛可多得15元；不足計劃數(shù)的，每少生產(chǎn)一輛扣20元．那么該廠工人這一周的工資總額是多少？過關檢測一、選擇題1．下列四個數(shù)中，屬于負數(shù)的是（

）A． B．3 C． D．02．在，，0，1.7這4個數(shù)中絕對值最大的數(shù)是（

）A． B． C．0 D．1.73．有理數(shù)，在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．4．一種巧克力的質(zhì)量標識為“克”，則下列質(zhì)量合格的是（

）A．95克 B．99.8克 C．100.6克 D．101克5．下列說法不正確的是（

）A．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù) B．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù) C．1是絕對值最小的有理數(shù) D．0的絕對值是06．2022年6月5日上午10時44分07秒，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，順利將3名中國航天員送入太空，3名航天員將在距離地球約388600米的中國空間站駐留6個月．其中388600用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．7．下列去括號正確的是（

）A． B．C． D．8．式子與互為相反數(shù)，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題9．﹣2的倒數(shù)是．10．用四舍五入法對3.14取近似數(shù)精確到個位的結(jié)果是．11．若，則的值為．三、解答題12．計算：(1)；(2)．13．為了慶祝中華人民共和國成立74周年，空軍航空開放活動在其機場舉行，某特技飛行隊做特技表演時，其中一架J31型飛機起飛0.5km后的高度（上升記為正）變化為：+2.5km，1.2km，+1.1km，1.4km．(1)求該飛機完成這四個表演動作后離地面的高度；(2)已知飛機平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么這架飛機在