專題143全等三角形的九大經(jīng)典模型（舉一反三）（滬科版）

專題14.3全等三角形的九大經(jīng)典模型【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1平移模型】 1【題型2軸對稱模型】 6【題型3旋轉(zhuǎn)模型】 11【題型4一線三等角模型】 19【題型5倍長中線模型】 26【題型6截長補(bǔ)短模型】 34【題型7手拉手模型】 43【題型8角平分線模型】 51【題型9半角全等模型】 57【知識(shí)點(diǎn)1平移模型】【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.【常見模型】【題型1平移模型】【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F在BC的延長線上，連接AD，AC、DE交于點(diǎn)O．下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠B=∠F B．AC⊥DE C．BC=【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，則可對A、B、C選項(xiàng)的進(jìn)行判斷；AC交DE于O點(diǎn)，如圖，證明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，則可對D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，所以A、B、C選項(xiàng)的結(jié)論不一定正確；∵AD∥BC，∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，而AD=CE，∴△AOD≌△COE（ASA），∴OD=OE，OA=OC即AC、DE互相平分，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．【變式11】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，AB=CD，BC=DE．(1)求證：△ABC≌△CDE；(2)將△ABC沿射線AC方向平移得到△A'B'C'，邊B'C'與邊CD的交點(diǎn)為F，連接EF，若EF將CDE【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）首先由點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)得出AC=CE，再根據(jù)SSS證明△ABC≌△（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得A'B'=CD=【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，∴AC在△ABC和△CDE中，AB∴△ABC≌△CDE（2）解：將△ABC沿射線AC方向平移得到ΔA'B'∴A∵邊B'C'與邊CD的交點(diǎn)為F，連接EF，EF∴CF故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及平移的性質(zhì)，根據(jù)SSS證明△ABC≌△CDE是解答本題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿射線BC方向平移得到△DCE，連接BD交AC于點(diǎn)(1)求證：△AFB≌(2)若AB=9，BC=7，求【答案】(1)見解析(2)1<【分析】（1）根據(jù)∠A=∠FCD，∠AFC=∠CFD，即可證明；（2）在△BCD中，利用三邊關(guān)系求出BD（1）證明：∵AB∴∠A在△AFB和△{∠∴△AFB≌（2）解：∵△AFB≌∴BF在△BCD中，BC=7，∴2<BD∴2<2BF∴1<BF【點(diǎn)睛】本題考查平移變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找三角形全等的條件解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式13】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知△ABC，AB=AC,∠ABC=∠ACB，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．如圖，連接BD、AF【答案】BD=【分析】由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得到AC=【詳解】解：BD=證明：由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得AC=DF=在△ABF和△DFB中，∴△ABF∴BD=故答案是=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2軸對稱模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見模型】【題型2軸對稱模型】【例2】（2023春·河北邯鄲·八年級?？计谀┤鐖D，在長方形ABCD中，點(diǎn)M為CD中點(diǎn)，將△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=α，∠ABE=A．α+3β=180° B．β-α=20°【答案】D【分析】直接利用平行線的性質(zhì)結(jié)合翻折變換的性質(zhì)得出△ADM≌△BCM(SAS)，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，∴DM=CM，在△ADM和△BCM中∵AD=∴△ADM≌△BCM(SAS)，∴∠AMD=∠BMC，AM=BM∴∠MAB=∠MBA∵將點(diǎn)C繞著BM翻折到點(diǎn)E處，∴∠EBM=∠CBM,∠BME=∠BMC=∠AMD∴∠DME=∠AMB∴∠EBM=∠CBM=12(90°∴∠MBA=12(90°β)+β=1∴∠MAB=∠MBA=12∴∠DME=∠AMB=180°∠MAB∠MBA=90°β∵長方形ABCD中，∴CD∥AB∴∠DMA=∠MAB=12∴∠DME+∠AME=∠ABE+∠MBE∵∠AME=α，∠ABE=β，∴90°β+α=β+12(90°∴3β－2α＝90°故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用全等三角形對應(yīng)角相等即可求解.【變式21】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠DAB．試猜想DE，BF，EF【答案】DE+BF=EF，見解析【詳解】試題分析：通過延長CF，將DE和BF放在一起，便于尋找等量關(guān)系，通過兩次三角形全等證明，得出結(jié)論．猜想：DE+BF=EF．證明：延長CF，作∠4=∠1，如圖：∵將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=∠DAB，∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，∵∠4=∠1，∴∠2+∠3=∠4+∠5，∴∠GAF=∠FAE，在△AGB和△AED中，，∴△AGB≌△AED（ASA），∴AG=AE，BG=DE，在△AGF和△AEF中，，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF=EF，∴DE+BF=EF．【變式22】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，將ΔABC沿AB向下翻折后，再繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（α＜∠ABC）．得到RtΔADE，其中斜邊AE交BC于點(diǎn)F1請根據(jù)題意用實(shí)線補(bǔ)全圖形；（不得用鉛筆作圖）．2求證：ΔAFB【答案】（1）作圖見詳解；（2）證明見詳解.【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，注意折疊與旋轉(zhuǎn)中的對應(yīng)關(guān)系；（2）由題意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，然后利用ASA的判定方法，即可證得△AFB≌△AGE．【詳解】解：（1）畫圖，如下圖；證明：由題意得：△ABC≌△AED．∴AB=AE，∠ABC=∠E．在△AFB和△AGE中，∠∴△AFB≌△AGE（ASA）．【點(diǎn)睛】本題考查折疊與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及注意折疊與旋轉(zhuǎn)中的對應(yīng)關(guān)系．【變式23】（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答下列問題如圖1，以AB為軸，把△ABC翻折180°，可以變換到△ABD的位置；如圖2，把△ABC沿射線AC平移，可以變換到△DEF的位置．像這樣，其中的一個(gè)三角形是另一個(gè)三角形經(jīng)翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換．班里學(xué)習(xí)小組針對三角形的全等變換進(jìn)行了探究和討論（1）請你寫出一種全等變換的方法（除翻折、平移外），．（2）如圖2，前進(jìn)小組把△ABC沿射線AC平移到△DEF，若平移的距離為2，且AC＝5，則DC＝．（3）如圖3，圓夢小組展開了探索活動(dòng)，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，且得出一個(gè)結(jié)論：2∠A′＝∠1+∠2．請你對這個(gè)結(jié)論給出證明．（4）如圖4，奮進(jìn)小組則提出，如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部點(diǎn)A′的位置，此時(shí)∠A′與∠1、∠2之間結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并證明．【答案】（1）旋轉(zhuǎn)；（2）3；（3）見解析；（4）不成立，正確結(jié)論：∠2﹣∠1＝2∠A'，見解析【分析】（1）由題意根據(jù)三種全等變換翻折、平移、旋轉(zhuǎn)的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)平移的距離的定義可知AD＝2，則DC＝AC﹣AD進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)軸對稱及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析即可得出結(jié)論；（4）由題意根據(jù)軸對稱及三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行分析即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）除翻折、平移外全等變換的方法還有旋轉(zhuǎn)；故答案為：旋轉(zhuǎn).（2）∵AD＝2，AC＝5，∴DC＝AC﹣AD＝5﹣2＝3；故答案為：3.（3）∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，∴△ADE≌△A'DE，∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，在△DEA'中，∠A'＝180°﹣（∠A'DE+∠A'ED）；由平角定義知，∠2＝180°﹣∠A'DA＝180°﹣2∠A'DE，∠1＝180°﹣∠A'EA＝180°﹣2∠A'ED，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠A'DE+180°﹣2∠A'ED＝2（180°﹣∠A'ED﹣∠A'DE），∴2∠A′＝∠1+∠2．（4）∠2﹣∠1＝2∠A'，理由如下：∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，∴△ADE≌△A'DE，∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，在△DEA'中，∠A'＝180°﹣（∠A'DE+∠A'ED），由平角定義知，∠2＝180°﹣∠A'DA＝180°﹣2∠A'DE，∠1＝2∠A'ED﹣180°，∴∠2﹣∠1＝（180°﹣2∠A'DE）﹣（2∠A'ED﹣180°）＝180°（∠A'DE+∠A'ED），∴∠2﹣∠1＝2∠A'．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，綜合考查平移的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解答本題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見模型】【題型3旋轉(zhuǎn)模型】【例3】（2023春·全國·八年級期末）（1）問題引入：如圖1，點(diǎn)F是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時(shí)點(diǎn)G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點(diǎn)E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識(shí)遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點(diǎn)，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實(shí)踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點(diǎn)E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）EF＝GE，理由見詳解；（2）BE?DF＝EF，理由見詳解；（3）BE＝a+【分析】（1）根據(jù)SAS直接可證△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，連接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，從而SAS證△ABG≌△ADF，再通過SAS證△GAE≌△FAE，得GE＝EF，從而解決問題；（3）作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，由（2）同理可兩次全等證明出DE＝GD即可．【詳解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，AG=∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE?DF＝EF，理由如下：如圖2，在BE上取BG＝DF，連接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，BG=∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中AG=∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE?DF＝EF；（3）如圖，作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，又∵CG＝CE，∴△ECD≌△GCD（SAS），∴GD＝DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），∴AF＝AB，∴b＋a?BE＝c＋BE，∴BE＝a+【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的判定與性質(zhì)，結(jié)合問題引入，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，∠AOB=115°,∠BOC=125°【答案】55°，60°，65°．【分析】通過旋轉(zhuǎn)△AOB至△CDB，可得△BOD是等邊三角形，將【詳解】解：將△AOB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△∵△AOB≌△CDB，△ABC是等邊三角形，且旋轉(zhuǎn)角相等，則∴△BOD是等邊三角形.則OB又∵△AOB≌△CDB∴∠故以線段OA,OB,所以∠∠COD∠OCD故答案為：55°,60°,65°.【點(diǎn)睛】此題旨在考查圖形旋轉(zhuǎn)的特性和實(shí)際應(yīng)用，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.【變式32】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF(1)在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF=BE+DF”，小亮將ΔADF繞點(diǎn)(2)如圖2，當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究EF與DF、BE【答案】(1)見解析(2)EF=【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明ΔAGE?（2）把ΔABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與CD重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G對應(yīng)到AD，證明ΔAEF?ΔAGF即可求得EF【詳解】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)可得GB=DF,AF=∵四邊形ABCD為正方形∴∠BAD∴∠ABC∴G、B、C三點(diǎn)在一條直線上∵∠EAF∴∠BA∴∠BAG在ΔAGE和ΔAFE中AG=∴ΔAGE?∴GE=∵GE=∴EF（2）結(jié)論：EF=DF理由：如圖2，把ΔABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G對應(yīng)，同（1）可證得ΔAEF?∴EF=GF,且∴EF【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形．【變式33】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在銳角ΔABC中，∠A=60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB,AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE(1)如圖1，若AB>AC，且BD=(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，【答案】(1)60°(2)BF+【分析】（1）如圖1中，在射線CD上取一點(diǎn)K，使得CK=BE，證明ΔBCE?Δ（2）結(jié)論：BF+CF=2CN．首先證明∠BFC=120°．如圖2中，延長CN到Q，使得NQ=CN，連接FQ，證明ΔCNM?ΔQNF(SAS)，推出FQ=CM【詳解】（1）解：如圖1中，在射線CD上取一點(diǎn)K，使得CK=在ΔBCE和ΔCBKBC=∴ΔBCE∴BK=∵CE=∴BD=∴∠BKD∵∠BEC∴∠ADF∴∠A∵∠A∴∠EFD∴∠CFE（2）結(jié)論：BF+理由：如圖2中，∵AB=∴ΔABC∴AB=∵AE=∴ΔABE∴∠BCF∴∠FBC∴∠BFC如圖2中，延長CN到Q，使得NQ=CN，連接∵NM=∴ΔCNM∴FQ=CM=∴FQ∥CM∴∠PFQ延長CF到P，使得PF＝∵∠BFP∴ΔPBF∴∠PBC∴∠PFQ∵PB=∴ΔPFQ∴PQ=∴ΔPCQ∴BF+【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【知識(shí)點(diǎn)4一線三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【題型4一線三等角模型】【例4】（2023春·山東菏澤·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【答案】（1）見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）見詳解【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得（2）利用∠BDA=∠BAC=α（3）由題意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥∴∠BDA∵∠BAC∴∠BAD∵∠BAD∴∠CAE∵在ΔADB和ΔCEA中，∠ABD∴ΔADB解：（2）成立，理由如下：∵∠BDA∴∠DBA∴∠CAE∵在ΔADB和ΔCEA中，∠ABD∴ΔADB（3）證明：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴BF=∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴∠DBA∴∠CAE∴ΔADB≌∴AE=∵∠FBD∴∠FBD∴ΔDBF≌ΔEAF（∴FD=∴∠BFA∴△DFE是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，∠BAD∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【變式42】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)【答案】[模型呈現(xiàn)]見解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈現(xiàn)]證明△ABC≌△DAE[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BG=3，AG[深入探究]過點(diǎn)D作DP⊥AG于P，過點(diǎn)E作EQ⊥AG交AG的延長線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DP=AF=12,【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵∠BAD∴∠BAC∵BC⊥∴∠ACB∴∠BAC∴∠ABC在△ABC和△∠ABC∴△ABC∴BC=[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，△AEP∴AP=則S實(shí)線圍成的圖形故答案為：50；[深入探究]過點(diǎn)D作DP⊥AG于P，過點(diǎn)E作EQ⊥AG交由[模型呈現(xiàn)]可知，△AFB∴DP=在△DPG和△∠DPG∴△DPG∴PG=∵BC=21∴AQ+∴AP+∴AG=∴S△故答案為：63．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD=2.5cm，（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若【答案】（1）0.8cm；（2）見解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；（3）先證明△ABE≌△CAF，得到ΔACF與ΔBDE的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)CD=2【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，