專題02壓軸小題中函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用講義學(xué)生版

專題02壓軸小題中函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用講義【考情分析】函數(shù)是整個高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)內(nèi)容就是圍繞這一主線考查。函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性，奇偶性，周期性，對稱性)更是高考必考內(nèi)容，常與方程、不等式等其他知識結(jié)合考查，而且考查的形式不一，簡單的題目也有出現(xiàn)，但是壓軸題目是肯定會對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行考查的?！局R總結(jié)】(一).函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱1．函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．(2)若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下：①f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(?x)f(x)②f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(?x)f(x)(3)如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.(4)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(5)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上：奇函數(shù)具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)具有相反的單調(diào)性．(6)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?f(－x＋a)＝－f(x＋a)?f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?f(－x＋a)＝f(x＋a)?f(x)關(guān)于直線x=a對稱．(7)奇函數(shù)的最值：若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有最值，則fmzx(二).函數(shù)的周期性1.如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期。2.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．提醒：若T是函數(shù)f(x)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．3.周期性的幾個常用結(jié)論(1)f(x+a)=?f(x)+t(t∈R(2)f(x+a)=kf(x)(3)f(x+a)=1?f(x)1+f(x)，則T=2a(5)若f(x+2a)=f(x+a)?f(x),則T＝64.函數(shù)對稱性與周期性的關(guān)系（類比三角函數(shù)）：若函數(shù)存在兩個對稱關(guān)系，則必然是周期函數(shù)；口訣：兩次對稱成周期，兩軸兩心二倍差，一軸一心四倍差(或：同性兩距離，異性4距離)。)(1)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a與x＝b對稱，則f(x)的一個周期為2|b－a|．(2)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對稱，則f(x)的一個周期為2|b－a|．(3)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對稱，則f(x)的一個周期為4|b－a|．總規(guī)律：在函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性這三條性質(zhì)中，只要已知兩條，則第三條一定成立．5.函數(shù)周期性的應(yīng)用：若T是函數(shù)f(x)的一個周期(1)單調(diào)區(qū)間：f(x)在區(qū)間(a,b)(b?a≤T(2)f(x)周期為，如果f(x)存在一條對稱軸，則f(x)存在無數(shù)條對稱軸，其通式為x=a+kT如果f(x)存在一個對稱中心(a,0)，則f(x)存在無數(shù)個對稱中心，其通式為(a(三)函數(shù)的對稱性1.軸對稱(1)如果f(x＋a)＝f(b－x)?y＝f(x)關(guān)于直線x＝a+b(2)若y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(2a－x)＝f(x)f?(2a＋x)＝f(－x)2.函數(shù)的點(diǎn)(中心)對稱(1)若y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a－x)+f(x)=2b?f(2a＋x)+f(－x)=2b推論：若y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(2a－x)＝－f(x)?f(2a＋x)＝－f(－x)(2)f(x＋a)+f(b－x)=c?y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a3.兩個函數(shù)圖象的對稱(1)若f(x)與g(x)關(guān)于直線x=a對稱，則g(x)=f(2特殊地：若f(x)與g(x)關(guān)于y軸對稱，則g(x)=f(?x)(2)若f(x)與g(x)關(guān)于直線y=b對稱，則g(x)=2b?f(x)若f(x)與g(x)關(guān)于x軸對稱，則g(x)=?f(x)(3)若f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對稱，則特殊地：若f(x)與g(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則g(x)=?f(?x)(四).函數(shù)的單調(diào)性:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì).增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的1.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(2)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則．(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；(4)如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用并集符號“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“，”或“和”隔開．2.函數(shù)單調(diào)性常用結(jié)論(1)增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價變形y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)?對?x1<x2，都有f(x1)<f(x2)?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?f(xy＝f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)?對?x1<x2，都有f(x1)>f(x2)?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f(x(2)單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)①函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝f(x)＋C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性．②若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反．③在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)(f(x)＞0)與y=fn(x)④在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)(f(x)≠0)與y=1⑤若f(x)，g(x)均為區(qū)間D上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間D上的增(減)函數(shù)．⑥若f(x)，g(x)均為區(qū)間D上的增(減)函數(shù)，且f(x)＞0，g(x)＞0，則f(x)?g(x)也是區(qū)間D上的增(減)函數(shù)．3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關(guān)．若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．簡記：“同增異減”．4.對勾函數(shù)與飄帶函數(shù)的單調(diào)性對勾函數(shù)：f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(ab＞0)(1)當(dāng)a＞0，b＞0時，f(x)在(－∞，－ba]，[ba，＋∞)上是增函數(shù)，在[－ba，0)，(0(2)當(dāng)a＜0，b＜0時，f(x)在(－∞，－]ba，[ba，＋∞)上是減函數(shù)，在[－ba，0)，(0飄帶函數(shù)：f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(ab＜0)(1)當(dāng)a＞0，b＜0時，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函數(shù)；(2)當(dāng)a＜0，b＞0時，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是減函數(shù)；【考點(diǎn)題型】題型一：函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用【例11】若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例12】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【例13】已知是定義在R上的函數(shù)，滿足.都有，且在上單調(diào)遞增.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【對點(diǎn)訓(xùn)練1】1.，且，則以下結(jié)論正確的是A． B． C． D．2.若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是____________．3.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．題型二：函數(shù)奇偶性的靈活應(yīng)用【例21】已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．為非奇非偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞減D．關(guān)于直線對稱【例22】已知分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則A.B.C.1D.3【例23】(多選)已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線x=1對稱C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱【對點(diǎn)訓(xùn)練2】1.上的滿足：對任意有則下列說法一定正確的是A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)2.設(shè)函數(shù),則使成立的的取值范圍是A．B．C．D．3.是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時，．若函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為________．題型三：函數(shù)對稱性的靈活應(yīng)用【例31】已知函數(shù)，則A．在（0，2）單調(diào)遞增 B．在（0，2）單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線x=1對稱 D．的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱【例32】函數(shù)f（x）=的大數(shù)圖象為（）A．B．C．D．【例33】在上的函數(shù)滿足且時，，則方程的根的個數(shù)是A．B．C．D．【對點(diǎn)訓(xùn)練3】1.已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足，下列說法：①的圖象關(guān)于對稱；②的圖象關(guān)于對稱；③在內(nèi)至少有個零點(diǎn)；④若在上單調(diào)遞增，則它在上也是單調(diào)遞增．其中正確的是（

）A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④2.設(shè)函數(shù)則使得f()>f(3x1)成立的x的取值范圍是___________.3.函數(shù)的圖像大致為A．B．C．D．題型四：函數(shù)周期性的靈活應(yīng)用【例41】是上的奇函數(shù)，對任意都有，當(dāng)時，，則A． B． C． D．【例42】上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（

）A．3 B．0 C． D．【例43】滿足，且為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練4】1.R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）時，.則大小關(guān)系A(chǔ)． B．C． D．2.已知函數(shù)，則（）A．在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱3.設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，若，則（

）A． B． C． D．題型五：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例51】(多選)已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【例52】，則（）A．4040 B．4038 C．2 D．9【例53】函數(shù)，則的圖象在內(nèi)的零點(diǎn)之和為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【例54】(多選)(2023·大連質(zhì)檢)若定義在R上的減函數(shù)y＝f(x－2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，且g(x)＝f(x)＋1，則下列結(jié)論一定成立的是()A．g(2)＝1B．g(0)＝1C．不等式f(x＋