專題18絕對值貫穿有理數(shù)的八大經典題型（舉一反三）（滬科版）

專題1.8絕對值貫穿有理數(shù)的八大經典題型【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用絕對值的性質化簡求值】 1【題型2利用絕對值的非負性求值】 3【題型3根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對值】 4【題型4利用絕對值的定義判斷正誤】 6【題型5利用絕對值的意義求字母取值范圍】 8【題型6利用絕對值的意義分類討論a|a|問題】 10【題型7分類討論多絕對值問題】 13【題型8絕對值中最值問題】 15【題型1利用絕對值的性質化簡求值】【例1】（2023春·江蘇常州·七年級?？计谥校┤鐖D表示在數(shù)軸上四個點p，q，r，s位置關系，若|pr|=10，|ps|=12，|qs|=9，則|qr|=（

）

A．7 B．9 C．11 D．13【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義，將|pr|=10，|ps|=12，|qs|=9轉化為兩點間的距離，進而可得q、r兩點間的距離，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)絕對值的幾何意義，由|pr|=10，|ps|=12，|qs|=9可得p、r兩點間的距離為10，p、s兩點間的距離為12，q、s兩點間的距離為9，則q、r兩點間的距離為10+912=7，即|qr|=7，故選A．【點睛】本題考查絕對值的幾何意義，|ab|即兩實數(shù)a、b表示兩個點間的距離．【變式11】（2023春·山東威?！ち昙壭Ｂ?lián)考期中）有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+b+A．-a B．a C．a+2c【答案】B【分析】由數(shù)軸可知-1<【詳解】解：由數(shù)軸可得：-1<∴a+∴a+故選B．【點睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對值，熟練掌握數(shù)軸、絕對值是解題的關鍵．【變式12】（2023春·陜西西安·七年級西安市鐵一中學校聯(lián)考階段練習）化簡：|x【答案】|【詳解】試題分析：要去掉絕對值符號，需知絕對值中式子的符號，x的取值是有理數(shù)范圍內任一數(shù)，所以要對x的取值分情況討論，再去絕對值符號．試題解析：①當x<-1時，原式②當-1≤x③當2≤x<4④當x≥4時，原式綜上所述：|【變式13】（2023春·全國·七年級期末）已知a+a=0,bb【答案】a3bc【分析】先確定a、b、c的正負，然后再去絕對值，最后化簡求值即可.【詳解】解：∵a∴a≤0，b＜0，c≥0∴a+2b＜0，ca＞0，ba＞0∴a+2b-c-a+-b-a=（a+2b）（ca）+（b故答案為a3bc.【點睛】本題考查了絕對值的相關知識，牢記非負數(shù)得絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值為其相反數(shù)，是解答本題的關鍵.【題型2利用絕對值的非負性求值】【例2】（2023春·天津和平·七年級天津二十中校考期中）若有理數(shù)x、y滿足|x|=3,?|y【答案】6或8．【分析】根據(jù)絕對值的性質解得x，y的值，分情況討論得出符合條件的x，y的值，即可解．【詳解】∵|x|=3，∴x=3或-3，y=3①當x=3，y=3時，②當x=3,?y|③當x=-3,?y|x④當x=-3,?y|x則②3④滿足，則|x|+|y【變式21】（2023春·七年級課時練習）已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，則ab＝．【答案】2或4．【詳解】解：根據(jù)平方數(shù)是非負數(shù)，絕對值是非負數(shù)的性質可得：|a+1|≥0，|b+5|≥0，∵（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，∴b+5≥0，∴（a＋1）2＋b+5＝b＋5，∴（a＋1）2=0，解得a=－1，b≥﹣5，∵|2a－b－1|＝1，∴|－2－b－1|＝1，∴|b+3|=1，∴b+3=±1，∴b=－4或b=﹣2，∴當a=－1，b=－2時，ab=2；當a=－1，b=－4時，ab=4．故答案為2或4．點睛：本題主要考查了絕對值是非負數(shù)，偶次方是非負數(shù)的性質，根據(jù)題意列出等式是解題的關鍵．【變式22】（2023春·重慶·七年級?？茧A段練習）已知x，y均為整數(shù)，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，則x+y的值為．【答案】5或7或8或4【分析】由絕對值的非負性質可知|x﹣y|和|x﹣3|這兩個非負整數(shù)一個為1，一個為0，即x-y=1，x-3【詳解】解：因為x，y均為整數(shù)，x-可得：x-y=1，x-3∴當x-3=0，x-y=1，可得：x當x-3=0，x-y=-1，可得：x當x-3=1，x-y=0，可得：x當x-3=-1，x-y=0，可得：x故答案為5或7或8或4．【點睛】本題考查了絕對值性質，由非負整數(shù)和為1得出加數(shù)分別為1和0，然后分類討論解含絕對值的方程是關鍵．【變式23】（2023春·浙江溫州·七年級校聯(lián)考階段練習）滿足|a﹣b|+ab=1的非負整數(shù)（a，b）的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】∵|a﹣b|+ab=1，∴|ab|=1ab，∵|a﹣b|≥0，∴1ab≥0，∴ab≤1，∵a，b是非負整數(shù)，∴存在（1，1）（1，0）（0，1）3種情況．故選C.【點睛】本題主要考查非負整數(shù)、絕對值的性質，非負整數(shù)包括0和正整數(shù)，所以a，b可以是0或者是正整數(shù)．【題型3根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對值】【例3】（2023春·黑龍江牡丹江·七年級統(tǒng)考期中）當1<m<3時，化簡m【答案】2【分析】根據(jù)絕對值的性質進行化簡即可．【詳解】解：根據(jù)絕對值的性質可知，當1<m<3時，|m∴|m故答案為：2m【點睛】本題考查了絕對值的性質，整式的加減，熟知正數(shù)的絕對值是其本身、零的絕對值還是零、負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)是解本題的關鍵．【變式31】（2023春·全國·七年級專題練習）已知有理數(shù)a<-1，則化簡a+1+【答案】-【分析】先根據(jù)已知條件判斷每個絕對值里邊的代數(shù)式的值是大于0還是小于0，再根據(jù)絕對值的性質去掉絕對值符號，最后去括號，合并同類項即可．【詳解】∵a<1，∴a+1<0，1a>0，∴a=(a1)+(1a)=a1+1a=2a，故答案為：2a．【點睛】本題考查了絕對值和相反數(shù)的性質，正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值還是0，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式32】（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習）已知非零實數(shù)a，b，c，a+a=0，ab=ab【答案】b【分析】根據(jù)“一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值它的相反數(shù)”化簡即可．【詳解】∵a+a=0，ab∴a<0,∴a+∴原式=-b【點睛】本題考查了化簡絕對值，整式的加減計算，熟練掌握所學知識是解題關鍵．【變式33】（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級?？计谥校┮阎瑋a|＝﹣a，bb=-1，|c|＝c，化簡|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝【答案】-【分析】根據(jù)已知的等式判斷出a、b、c的正負，進而確定出a+b、a﹣c、b﹣c的正負，再利用絕對值的代數(shù)意義化簡，即可求解．【詳解】解：∵|a|=-a，|b|∴a為非正數(shù)，b為負數(shù)，c為非負數(shù)，∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，∴原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，故答案為：﹣2c．【點睛】本題考查了根據(jù)絕對值的代數(shù)意義進行化簡等知識點，熟練掌握絕對值的代數(shù)意義是解答本題的關鍵．【題型4利用絕對值的定義判斷正誤】【例4】（2023春·湖北宜昌·七年級枝江市實驗中學校考期中）如果a+b+c=0，且cA．a、b為正數(shù)，c為負數(shù) B．a、c為正數(shù)，b為負數(shù) C．b、c為正數(shù)，a為負數(shù) D．a、c為正數(shù)，b為0【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法，一對相反數(shù)的和為0，可得a、b、c中至少有一個為正數(shù)，至少有一個為負數(shù)，又c>b>【詳解】解：∵a+∴a、b、c中至少有一個為正數(shù)，至少有一個為負數(shù)，∵c>∴c=∴可能a、b為正數(shù)，c為負數(shù)；也可能a、b為負數(shù)，c為正數(shù)．故選：A．【點睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加法，絕對值的意義，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關鍵．【變式41】（2023春·四川甘孜·七年級統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示．給出下列結論：①a+b+(-c)>0；②(-a)-b+c>0；【答案】②③【分析】根據(jù)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點的位置和絕對值的意義逐一進行判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，b<0<a<∴a+-c∴a+b故①不正確，②正確，∵aa=1，bb∴a|故③正確，∵b∴bc<0∴bc-故④不正確，∵b<0<a<∴|a故⑤不正確，故答案為：②③．【點睛】本題考查了數(shù)軸、絕對值，解決本題的關鍵是掌握絕對值的意義．【變式42】（2023春·湖北省直轄縣級單位·七年級?？茧A段練習）已知a、b為有理數(shù)，下列說法：①若a、b互為相反數(shù)，則ab②若a+b＜0，ab＞0，則|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，則b＞a；④若|a|＞|b|，則（a+b）?（a﹣b）是負數(shù)．其中錯誤的是（填寫序號）．【答案】①③④【分析】根據(jù)不等式的性質進行判斷即可；【詳解】解：若a＝b＝0，則ab沒有意義，故①∵a+b＜0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴3a+4b＜0，∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，故②不符合題意；∵|a﹣b|+a﹣b＝0，∴|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，故③符合題意；若a＝﹣2，b＝1，（a+b）?（a﹣b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3＞0，故④符合題意；故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查有理數(shù)加法、乘法和除法法則，以及絕對值法則，掌握這些法則是解題的關鍵．【變式43】（2023春·湖北咸寧·七年級校聯(lián)考期中）已知a、b為有理數(shù)，且a<0，ab<0，a+b<0，則下列結論：①b（a+【答案】②③④【分析】根據(jù)a<0，ab<0，a+b<0得b>0，【詳解】解：∵a<0∴b>0，-∴b（a+b）<0，a>b，∴a<-b<b<-故答案為：②③④．【點睛】本題主要考查了絕對值、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的比較大小，綜合有理數(shù)的絕對值、有理數(shù)的乘法是解題的關鍵．【題型5利用絕對值的意義求字母取值范圍】【例5】（2023春·七年級單元測試）當a取什么范圍時，關于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a總有解？（）A．a≥4.5 B．a≥5 C．a≥5.5 D．a≥6【答案】B【分析】令y=|x4|+2|x2|+|x1|+|x|，根據(jù)x的范圍分情況去掉絕對值符號，可求得y≥5，再結合題意即可確定a的范圍．【詳解】令y＝|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|，當x≥4時，y＝5x﹣9≥11，當2＜x＜4時，y＝3x﹣1，∴5＜y＜11；當1≤x≤2時，y＝﹣x+7，∴5≤y≤6；當0＜x＜1時，y＝﹣3x+9，∴6＜y＜9；當x≤0時，y＝﹣5x+9，∴y≥9；綜上所述，y≥5，∴a≥5時等式恒有解．故選：B．【點睛】本題考查絕對值的性質；通過構造函數(shù)，將等式問題轉化為函數(shù)問題解題是關鍵【變式51】（2023春·四川資陽·七年級校考階段練習）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，則x的范圍是（）A．x>52 B．x<25【答案】D【分析】根據(jù)正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，0的絕對值是0可得出答案．【詳解】解：∵|5x﹣2|＝2﹣5x，∴5x﹣2≤0，解得：x?故選：D．【點睛】本題考查了絕對值的性質，理解正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，0的絕對值等于0是解決問題的關鍵．【變式52】（2023春·重慶·七年級重慶實驗外國語學校?？计谀?shù)a在數(shù)軸上對應點位置如圖，若數(shù)b滿足b≤|a|，則b的值不可能是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸得到a<2【詳解】由數(shù)軸可知，a∵b≤∴b<2∴b可以是-1,1,0不可能是故選：B．【點睛】本題考查了數(shù)軸的概念、絕對值的性質，根據(jù)數(shù)軸確定a的范圍是解題的關鍵．【變式53】（2023春·山東濟南·七年級校聯(lián)考期中）若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立，則x的范圍是．【答案】3【分析】根據(jù)絕對值的性質可得x-2≤03-2【詳解】∵|x2+32x|=|x2|+|32x|，∴x-2≤03-2解得32≤故x的范圍是32故答案為32【點睛】考查了絕對值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)a；③當a是零時，a的絕對值是零．【題型6利用絕對值的意義分類討論a|a|【例6】（2023春·全國·七年級專題練習）已知a，b，c為有理數(shù)，且a+b+c=0，abcA．1 B．-1或-3 C．1或-3 D．【答案】A【分析】先根據(jù)有理數(shù)的乘法法則推出：要使三個數(shù)的乘積為負，a，b，c中應有奇數(shù)個負數(shù)，進而可將a，b，c的符號分兩種情況：1負2正或3負；再根據(jù)加法法則：要使三個數(shù)的和為0，a，b，c的符號只能為1負2正，然后化簡即得．【詳解】∵abc∴a，b，c中應有奇數(shù)個負數(shù)∴a，b，c的符號可以為：1負2正或3負∵a∴a，b，c的符號為1負2正令a<0，b>0∴a=-a，b∴aa+故選：A．【點睛】本題考查了絕對值的性質、乘法法則及加法法則，利用加法法則和乘法法則確定數(shù)的符號是解題關鍵．【變式61】（2023·浙江·模擬預測）有理數(shù)a，b，c均不為0．且a+b+c=0，設xA．2010 B．1990 C．2030或1990 D．2010或1990【答案】C【分析】根據(jù)題意可得a，b，c中不能全同號，必有一正兩負或兩正一負，a=（b+c），b=（c+a），c=（a+b），則可得|a|b+c，|b|c+a，|c【詳解】解：由a，b，c均不為0，知b+c，c+a，a+b均不為0，∵a+b+c=0，∴a=（b+c），b=（c+a），c=（a+b），又a，b，c中不能全同號，故必一正二負或一負二正，∴|a|b+c即其值為兩個+1，一個1或兩個1，一個+1，∴x=|∴x21-21x+2010或x21-21x+2010故選C．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，注意分類討論思想的應用．能得到|a|b+c，|b|c+a，【變式62】（2023春·浙江·七年級專題練習）已知有理數(shù)a、b、c、【答案】2或-【分析】根據(jù)abcdabcd=-1，得到a，b，c，d中負數(shù)個數(shù)為1個或【詳解】解：根據(jù)abcdabcd=-1，得到a，b，c，d中負數(shù)個數(shù)為1個或則原式=-1+1+1+1=2或-1-1-1+1=-2【點睛】本題考查了絕對值的意義以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握絕對值的意義結合分類討論的思想解題是關鍵．【變式63】（2023春·四川內江·七年級四川省內江市第六中學?？计谥校┮阎獂1，x2，x3解：當x1>0時，y1=x1x1=(1)若y2=|x1(2)若y3=|x1(3)由以上探究猜想，y2021=x(4)應用：如果a、b、c是非零實數(shù)，且a+b+c=0【答案】(1)±2或0(2)±1或±3(3)2022(4)0【分析】（1）由題意可得|x1|（2）由題意可得|x1|x1（3）通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律：y2021有2022個值，最大值2021，最小值為-（4）根據(jù)正負性去絕對值計算即可，注意分類討論．【詳解】（1）解：∵|x1|∴y2=|故答案為：±2或0；（2）解：∵|x1|x1∴y3=|故答案為：±1或±3；（3）解：由（1）（2）可知，y1有2個值，y2有3個值，y3∴y2021有2022個值，最大值2021，最小值為故答案為：2022．（4）解：∵a、b、c是非零實數(shù)，且a+∴a、b、c是兩個正數(shù)一個負數(shù)或一個正數(shù)兩個負數(shù)，當a、b、c是兩個正數(shù)一個負數(shù)時，abc<0，此時a當a、b、c是一個正數(shù)兩個負數(shù)時，abc>0，此時a∴a|故答案為：0．【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律、絕對值化簡，通過計算，從特殊到一般進行歸納，探索出結果的規(guī)律是解題的關鍵．【題型7分類討論多絕對值問題】【例7】（2023春·廣西南寧·七年級?？计谥校┰跀?shù)軸上有四個互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a-b|+|b-c|=c-a，設【答案】-【分析】由a-b+b-c=c-a?【詳解】解：∵a∴a∵d在a、c之間，∴a<d<當a<d<當a<b<故答案為：-【點睛】本題考查去絕對值，解題的關鍵是分類討論思想的應用．【變式71】（2023春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）已知a，b，c，d都是整數(shù)，且a+b+b【答案】1或0．【分析】根據(jù)題意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以不外乎兩種可能：①3個為0，1個為2；②2個為0，2個為1，繼而討論|a+d|的值．【詳解】由題意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以有兩種可能：①3個為0，1個為2，②2個為0，2個為1，所以|a+d|只可能取0、1、2，若為2，則|a+b|=|b+c|=|c+d|=0，不難得出a=d，所以|a+d|=0，與假設|a+d|=2矛盾．所以|a+d|只可能取0、1，a=0，b=0，c=1，d=1時|a+d|=1；a=1，b=0，c=0，d=1時|a+d|=0．故答案為1或0．【點睛】本題考查了絕對值的知識，難度較大，注意對各種情況的討論，不要漏解．【變式72】（2023春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）已知x是有理數(shù)，且x有無數(shù)個值可以使得代數(shù)式2021x+2021【答案】2022【分析】由題意確定出x的取值范圍，然后按照這個取值范圍化簡原式即可求出此常數(shù)．【詳解】由題意，得將2021x+2021因此，當-2022≤原式=-==2022．故答案為：2022．【點睛】本題考查了絕對值的性質、有理數(shù)的加減，解題的關鍵是確定x的取值范圍．【變式73】（2023春·四川成都·七年級成都實外?？计谥校┮阎猰、n為有理數(shù)，方程||x+m【答案】2.7【分析】含有絕對值的方程，先去掉外邊絕對值得|x+m|=2.7+n或|x+【詳解】解：∵||x∴|x+m當|x+m|=2.7+n當|x+m|=-2.7+n∵方程||x∴-2.7+n=0時，n=2.7或2.7+當n=-2.7時，|∴n綜上所述：n的值為2.7，故答案為：2.7．【點睛】本題考查絕對值方程，分類討論是解題的關鍵．【題型8絕對值中最值問題】【例8】（2023春·江蘇·七年級期末）如圖，數(shù)軸上有點a，b，c三點．（1）用“<”將a，b，c連接起來．（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；（3）化簡|c－b|－|c－a|＋|a－1|；（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．①|x－a|＋|x－b|的最小值為_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值為_______．【答案】（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b1；（4）①b﹣a；②b﹣c．【分析】（1）比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，它們從左到右的順序，即從小到大的順序（在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；（2）先求出b﹣a的范圍，再比較大小即可求解；（3）先計算絕對值，再合并同類項即可求解；（4）根據(jù)絕對值的性質以及題意即可求出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)數(shù)軸上的點得：c＜a＜b；（2）由題意得：b﹣a＞0；（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1＝b﹣c﹣a+c+a﹣1＝b1；（4）由圖形可知：①當x在a和b之間時，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值為：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；②當x＝a時，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c為最小值．故答案為：①b﹣a；②b﹣c．【點睛】考查了數(shù)軸，通過比較，可以發(fā)現(xiàn)借助數(shù)軸用幾何方法化簡含有絕對值的式子，比較有關數(shù)的大小有直觀、簡捷，舉重若輕的優(yōu)勢．【變式81】（2023春·廣東汕頭·七年級?？茧A段練習）（1）在數(shù)軸上，點A表示數(shù)-3，點O表示原點，點A、O之間的距離=（2）在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)a、b，點A、B之間的距離=a-b，數(shù)軸上分別表示a和-2的兩點A和B之