專題23直線與圓的位置關(guān)系（全章分層練習）（提升練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（浙教版）

專題2.3直線與圓的位置關(guān)系（全章分層練習）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期中）已知的半徑為2，直線l上有一點P滿足，則直線l與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切2．（2023上·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期中）已知的半徑為5，直線是的切線，則點到直線的距離是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．53．（2022上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，半徑，直線，垂足為H，且l交于A，B兩點，，將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時，則平移的距離為（

）A． B． C． D．4．（2023上·九年級課時練習）下列直線中可以判定為圓的切線的是（）A．與圓有公共點的直線 B．經(jīng)過半徑外端的直線C．垂直于圓的半徑的直線 D．與圓心的距離等于半徑的直線5．（2022上·全國·九年級專題練習）如圖，P是的直徑的延長線上一點，，則當（

）時，直線是的切線．A． B． C． D．6．（2020上·陜西商洛·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是圓O的直徑，PA切圓O于點A，PO交圓O于點C，連接BC，若∠P＝18°，則∠B等于（

）A．36° B．30° C．27° D．45°7．（2023上·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形邊長為，以正方形一邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓O，過點A作半圓切線，與半圓相切于點F，與相交于點E，則的面積為（

）

A． B． C． D．8．（2023上·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，的內(nèi)切圓與斜邊相切于點D，，，則的面積為（

）A．8 B． C． D．9．（2023上·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（

）

A．19 B．17 C．22 D．2010．（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）圖，是△ABC的外接圓，點I是△ABC內(nèi)心，連接AI并延長交⊙O于點D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，則的值是（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022上·河北秦皇島·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知，，，以為圓心，為半徑作，與線段有交點時，則的取值范圍是．12．（2020上·河北邯鄲·九年級邯鄲市第二十三中學校聯(lián)考期中）如圖，在直線l上有相距7cm的兩點A和O（點A在點O的右側(cè)），以O(shè)為圓心作半徑為1cm的圓，過點A作直線AB⊥l．將⊙O以2cm/s的速度向右移動（點O始終在直線l上），則⊙O與直線AB在秒時相切．13．（2020下·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）以坐標原點為圓心，作半徑為1的圓，若直線與有交點，則b的取值范圍是．14．（2022上·北京·九年級統(tǒng)考期末）在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是．（寫一個條件即可）15．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的弦，點在過點的切線上，，交于點．若，則．16．（2023上·湖北隨州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，的內(nèi)切圓與、、、分別相切于點、、，且，，，則圖中由線段、及組成的陰影部分的面積是．

17．（2023上·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在等腰中，，點P在以斜邊為直徑的半圓上，M為的中點．當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是

．

18．（2023上·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）半圓與平面直角坐標系交于點，點在上運動（不與重合），連接，與的平分線交于點，則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·四川綿陽·九年級?？计谥校┤鐖D，是的直徑，，，相交于點，過點作，與的延長線相交于點，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．20．（8分）（2023上·北京西城·九年級北京鐵路二中?？计谥校┤鐖D，為的直徑，，分別切于點，，交的延長線于點，的延長線交于點，于點．若，．（1）求證：；（2）求的半徑長．（3）求線段的長．21．（10分）（2023上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，點為等邊的重心，點為邊的中點，連接并延長至點，使得，連接．以點為圓心，為半徑作．

（1）請判斷直線與的位置關(guān)系，并予以證明；（2）如圖2，點為劣弧上一動點（與點，點不重合），連接并延長交于點，連接并延長交于點，求證：為定值．22．（10分）（2023上·河北邯鄲·九年級?？计谥校┤鐖D，是圓的直徑，為圓心，是半圓的弦，且．延長交圓的切線于點．

（1）判斷直線是否為的切線，并說明理由；（2）將線段以直線為對稱軸作對稱線段，點正好在圓上，如圖2，求證：四邊形為菱形．23．（10分）（2023上·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，弦與點，已知，點為上任意一點，（點不與重合），連結(jié)并延長與交于點，連．

（1）求的長．（2）若，直接寫出的長．（3）①若點在之間（點不與點重合），求證：．②若點在之間（點不與點重合），求與滿足的關(guān)系．24．（12分）（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期中）先閱讀材料，再解答問題：小明同學在學習與圓有關(guān)的角時了解到：在同圓或等圓中，同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等．如圖1，點A，B，C，D均為上的點，則有．小明還發(fā)現(xiàn)，若點E在外，且與點D在直線同側(cè)，則有．請你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問題：

問題：如圖2，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點C的坐標為．（1）在圖2中作出的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法），并求出此圓與x軸的另一個交點的坐標；（2）點P為x軸正半軸上的一個動點，連接、，當達到最大時，直接寫出此時點P的坐標．參考答案：1．D【分析】根據(jù)圓于直線關(guān)系直接判斷即可得到答案.解：由題意可得，∵，∴當是點O到直線的距離時相切，當不是點O到直線的距離時距離小于2相交，故選：D.【點撥】本題考查圓與直線的關(guān)系，圓心到直線的距離等于半徑相切，圓心到直線距離小于半徑時小角，大于半徑相離．2．D【分析】根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系進行解答即可．解：的半徑是5，直線l是的切線，那么點O到直線l的距離是5．故選：D．【點撥】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑；當直線與圓相交時，圓心到直線的距離小于半徑；當直線與圓相離時，圓心到直線的距離大于半徑．3．B【分析】連接，由垂徑定理和勾股定理得，當點H平移到點C時，直線與圓相切，求得．解：連接，∵，∴，∴，∵將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時，∴，即直線在原有位置向下移動后與圓相切．故選：B．【點撥】本題利用了垂徑定理，勾股定理，及切線的概念求解，正確掌握各定理并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)切線的判定方法逐項分析即可．解：A．與圓有且僅有一個公共點的直線是圓的切線，故該選項不正確，不符合題意；

B．經(jīng)過半徑外端的直線且垂直于半徑的直線是圓的切線，故該選項不正確，不符合題意；C．經(jīng)過半徑外端的直線且與半徑垂直的直線是圓的切線，故不正確；

D．與圓心的距離等于半徑的直線，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點撥】本題考查了切線的判定方法，如果直線與圓只有一個公共點，這時直線與圓的位置關(guān)系叫做相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點；經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．5．B【分析】當時，直線是的切線．連接OA．結(jié)合題意可知，從而得出．再根據(jù)，即得出，從而即可求出，即證明直線是的切線．解：當時，直線是的切線．證明：如圖，連接OA．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴直線是的切線．故選：B．【點撥】本題考查切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．6．A【分析】由切線的性質(zhì)可得∠PAB=90°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算出∠POA=72°，最后根據(jù)三角形外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，以及等邊對等角即可求出∠B．解：∵PA切⊙O于點A，∴∠PAB=90°，∵∠P=18°，∴∠POA=90°18°=72°，∵∠POA=∠OCB+∠B，OC=OB，∴∠B=∠OCB==36°，故選A．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的切線垂直于過切點的半徑是關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)切線長定理可得，設(shè)，則，然后在中，由勾股定理可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面積．解：∵與圓O切于點F，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴，∴．故選D．8．C【分析】設(shè)，由切線長定理得出，，，根據(jù)勾股定理，得．整理得，再由三角形面積公式即可得出答案．解：設(shè)，根據(jù)切線長定理，得，，，根據(jù)勾股定理，得，整理，得，∴，則的面積為，故選：C．【點撥】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、切線長定理、勾股定理以及三角形面積公式等知識；熟練掌握切線長定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點，連接，得四邊形是正方形，由切線長定理可知，根據(jù)是的切線，可得，，根據(jù)勾股定理可得，再求出內(nèi)切圓的半徑，進而可得的周長．解：如圖，設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點、、，連接、、，∴四邊形是正方形，

由切線長定理可知，∵是的切線，∴，，∵，，，∴，∵是的內(nèi)切圓，∴內(nèi)切圓的半徑，∴，∴，∴，∴的周長為：．故選：D．10．C【分析】作BM∥AD交CA延長線于點M，連接BI，可得∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，再由點I是△ABC內(nèi)心，可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，從而得到∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，AB=AM=9，∠CBD=∠BAD，進而得到BD=ID，再證得△MBC∽△ABD，可得，即可求解．解：：如圖，作BM∥AD交CA延長線于點M，連接BI，∴∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，∵點I是△ABC內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，∴∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，∴AB=AM=9，∴MC=AM+AC=22，∵∠CBD=∠CAD，∴∠CBD=∠BAD，∵∠BAD+∠ABI=∠BID，∠IBC+∠BAD=∠IBD，∴∠IBD=∠BID，∴BD=ID，∵∠D=∠C，∴△MBC∽△ABD，∴，∴，∴，解得：，∴．故選：C【點撥】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓和外接圓的綜合，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出適當輔助線是解題的關(guān)鍵．11．【分析】過M作于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．解：過M作于H，如圖所示：∵，，∴，∵，與線段有交點，∴r的取值范圍是，故答案為：．【點撥】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和相交；直線l和相切；直線l和相離．12．3或4/4或3【分析】根據(jù)切線的判定方法，當點O到AB的距離為1cm時，⊙O與直線AB相切，然后分兩種情況：⊙O在直線AB左側(cè)和在直線AB右側(cè)，進行計算即可．解：∵直線AB⊥l，∴當⊙O在直線AB左側(cè)距AB的距離為1cm時，⊙O與直線AB相切，此時⊙O移動了7－1=6cm，所需時間為6÷2=3s；當⊙O在直線AB右側(cè)距AB的距離為1cm時，⊙O與直線AB相切，此時⊙O移動了7+1=8cm，所需時間為8÷2=4s．故答案為：3或4．【點撥】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，切線的判定，明確判定定理是解題的關(guān)鍵．13．【分析】分別求出直線與圓相切，且直線經(jīng)過一，二，四象限時的b的值和直線與圓相切，且直線經(jīng)過二，三，四象限時b的值，即可確定出b的取值范圍．解：當直線與圓相切，且直線經(jīng)過一，二，四象限時，切點為B，連接OB，當時，，則，當時，，則，∴，為等腰直角三角形，．，，．同理，當直線與圓相切，且直線經(jīng)過二，三，四象限時，，∴直線與有交點，則的取值范圍是．故答案為：．【點撥】本題主要考查直線與圓的交點問題，求出相切時的b的值是解題的關(guān)鍵．14．∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【點撥】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．15．【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，由切線的性質(zhì)得出，證明得出，則，最后由勾股定理進行計算即可，熟練掌握以上知識點，添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形的是解此題的關(guān)鍵．解：如圖，連接，

，是的切線，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．16．/【分析】本題考查了求扇形面積，正方形的性質(zhì)與判定，切線長定理，先得出是直角三角形，進而證明四邊形是正方形，根據(jù)陰影部分面積等于正方形的面積減去個圓的面積，即可求解．解：∵，，，∴∴，∵的內(nèi)切圓與、、、分別相切于點、、，∴∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，則，如圖所示，連接，，，

∴∵，∴，∴，故答案為：．17．【分析】取的中點O、的中點E、的中點F，連結(jié)，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，則，于是根據(jù)圓周角定理得到點M在以為直徑的圓上，由于點P點在A點時，M點在E點；點P點在B點時，M點在F點，則利用四邊形為正方形得到，所以M點的路徑為以為直徑的半圓，然后根據(jù)弧長公式計算點M運動的路徑長．解：解∶如圖，取的中點O、的中點E、的中點F，連接，則，

∵在等腰中，，∴，∴．∵M為的中點，∵，∴，∴點M在以為直徑的圓上，點P點在A點時，M點在E點；點P點在B點時，M點在F點，∵，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∴M點的路徑為以為直徑的半圓，，∴點M運動的路徑長．故答案為．【點撥】本題考查了軌跡：點按一定規(guī)律運動所形成的圖形為點運動的軌跡．解決此題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點的軌跡為以為直徑的半圓．18．【分析】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意作圖，可得當時，的最小值，根據(jù)題意可得，點是的內(nèi)心，為等腰直角三角形，由此即可求解．解：∵，∴，根據(jù)題意作圖如下，

∵是的角平分線，且交于點，過點軸于點，連接，∴點是的內(nèi)接圓，為半徑，在中，為斜邊，為直角邊，∴，∴當點與點重合，即軸時，最小，如圖所示，

當時，在中，，∴，∴，，∴，∴，∴點在的垂直平分線上，即點三點共線，∴當時，的最小值，設(shè)的半徑為，∵是的直徑，，∴，，，∴，∵平分，平分，且平分線交于點，∴點是的內(nèi)心，∴與切于點，即，設(shè)的半徑為，∴，，∵，，則為等腰直角三角形，∴，則，∴，∴的最小值為，故答案為：．19．（1）見分析；（2）【分析】（1）連接，連接交于，根據(jù)，可得，則，進而可得，，由，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，進而根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解．解：（1）證明：連接，連接交于，

，，，，，，，半徑，是的切線；（2）解：設(shè)，，，，，，，，是的中位線，．

【點撥】本題考查了切線的判定，垂徑定理，勾股定理，中位線的性質(zhì)與判定，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）半徑的長為3；（3）【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定及性質(zhì)：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)及證得，可證，再利用角的等量代換即可求證結(jié)論；（2）設(shè)，則，，在和中，分別利用勾股定理即可求解；（3）在和中，利用勾股定理得，，再利用相似三角形的判定及性質(zhì)即可求解；熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：（1）證明：，是的切線，，，在和中，，，，，，，，,．（2）解：由（1）得：，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，在中，設(shè)，則，，由勾股定理得：，即：，解得：，，即的半徑為3．（3）在和中，根據(jù)勾股定理得：，，，，，，即：，．21．（1）直線與的位置關(guān)系是相切，理由見分析；（2）見分析【分析】（1）直線與的位置關(guān)系是相切，先四邊形是菱形，再由等邊三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合菱形的性質(zhì)和切線的判定定理即可得證；（2）先求出，再說明，從而得出，結(jié)合可得，即為定值．（1）解：直線與的位置關(guān)系是相切，證明：是等邊三角形，是重心，點為邊的中點，連接點、、，其所在直線是的垂直平分線，，且，

，與互相垂直且平分，四邊形是菱形；

又等邊中，，為的角平分線，，，

，，∴與相切；（2）證明：與對應(yīng)的弦為，，，，，，

，，，

，

，，

即為定值．【點撥】本題考查切線的判定和性質(zhì)，與圓有關(guān)的性質(zhì)概念，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，熟練掌握以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（1）直線為的切線，理由見分析；（2）證明見分析【分析】（1）連接，根據(jù)是圓的直徑，得出，即可得出，根據(jù)，得出，證明，得出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)折疊得出，證明，設(shè)，則，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出，求出，得出，證明是等邊三角形，得出，證明是等邊三角形，得出，證明，即可得出結(jié)論．（1）解：直線為的切線，理由如下：連接，如圖所示：∵是圓的直徑，，，又，，，，，即，點在上，直線為的切線．

（2）證明：依題意得：，，，，是圓的直徑，，設(shè)，則，四邊形內(nèi)接于，，即，解得，，是的切線，，，是等邊三角形，，又，是等邊三角形，，，∴四邊形為菱形．【點撥