專題275相似（全章直通中考）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（人教版）

專題27.5相似（全章直通中考）（基礎(chǔ)練）【要點(diǎn)回顧】【知識點(diǎn)1】比例線段定義在四條線段中，如果與的比等于與的比，即，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．【知識點(diǎn)2】比例線段的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：；（2）合比性質(zhì)：?＝；（3）等比性質(zhì)：；【知識點(diǎn)3】平行線分線段成比例定理兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則，.【知識點(diǎn)4】平行線分線段成比例推論推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若∥，則，.【知識點(diǎn)5】黃金分割點(diǎn)把線段分成兩條線段和，如果，那么線段被點(diǎn)黃金分割．其中點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫做黃金比．【知識點(diǎn)6】相似多邊形的性質(zhì)（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.（2）相似多邊形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【知識點(diǎn)7】相似多邊形的判定(1)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.(2)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．(3)三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．(4)滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.【知識點(diǎn)8】相似三角形的性質(zhì)（1）對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．（2）周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．（3）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比等于相似比．【知識點(diǎn)9】相似三角形的應(yīng)用測量物體的高度：利用影長、利用標(biāo)桿、利用鏡子.【知識點(diǎn)10】位似圖形的定義性質(zhì)與畫法定義如果兩個(gè)圖形不僅形狀相似，而且每組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.位似圖形性質(zhì)：位似圖形上的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.位似圖形的畫法：（1）確定位似中心；（2）確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于位似中心的對應(yīng)點(diǎn)；（3）描出新圖形.一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2019·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，則DF的長為（）A． B． C． D．2．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為的邊上一點(diǎn)，，過作交于點(diǎn)，、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．4．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）的三邊長分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．215．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．6．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）在同一時(shí)刻，物體的高度與它在陽光下的影長成正比．在某一時(shí)刻，有人測得一高為的竹竿的影長為，某一高樓的影長為，那么這幢高樓的高度是（

）A． B． C． D．7．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．8．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，如果，那么菱形的周長是（）A． B． C． D．9．（2021·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿邊向右平移得到，交于點(diǎn)G．若．．則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．810．（2020·新疆·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，作BC的垂線交BC于點(diǎn)F，若AB＝CE，且△DFE的面積為1，則BC的長為（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）若，則．12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，用一個(gè)卡鉗測量某個(gè)零件的內(nèi)孔直徑，量得的長為，則的長為cm．

13．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，三角形紙片中，，分別沿與平行的方向，從靠近A的AB邊的三等分點(diǎn)剪去兩個(gè)角，得到的平行四邊形紙片的周長是．

14．（2021·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別為邊，上的點(diǎn)，試添加一個(gè)條件：，使得與相似．（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）15．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)在線段上．若，則和的周長之比為．

16．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，若的面積是，則的面積是．

17．（2017上·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．18．（2021·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線與井口的直徑交于點(diǎn)E，如果測得米，米，米，那么為米．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，在上，，．（1）求證：∽；（2）若，求的值．20．（8分）（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，求證：．21．（10分）（2015·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，△ABC與△DCE都是等邊三角形.其中線段BD交AC于點(diǎn)G，線段AE交CD于點(diǎn)F.求證：（1）△ACE≌△BCD；.22．（10分）（2015·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點(diǎn)，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．（1）求證：HF=AP；（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．23．（10分）（2014·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，∠CAB的平分線分別交BD、BC于點(diǎn)E、F，作BH⊥AF于點(diǎn)H，分別交AC、CD于點(diǎn)G、P，連接GE、GF．（1）求證：△OAE≌△OBG．（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形?若是，請證明；若不是，請說明理由．（3）試求：的值（結(jié)果保留根號）．24．（12分）（2015·廣東珠海·中考真題）如圖，折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)C落在OA邊的點(diǎn)D處，已知折痕BE=5，且，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線l：y=－+c經(jīng)過點(diǎn)E，且與AB邊相交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中點(diǎn)，連接MF，求證：MF⊥BD；（3）P是線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線l上，且始終滿足PD⊥DQ，在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由．參考答案：1．B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題．解：，，即，，，故選．【點(diǎn)撥】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．2．C【分析】根據(jù)得出，根據(jù)，得出，根據(jù)、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，得出，即可得出答案．解：∵，∴，∵，∴，∵、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，∴，∴，解得：，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，故C正確．故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出，是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】證明，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為1:3，∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1，∴△DEF的周長為3×（2+3+4）=27，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關(guān)鍵．5．A【分析】根據(jù)題意確定直線的解析式為：，由位似圖形的性質(zhì)得出所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，即可求解．解：由圖得：，設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，∴當(dāng)時(shí)，，∴位似中心的坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)撥】題目主要考查位似圖形的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．D【分析】設(shè)此高樓的高度為x米，再根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比列出關(guān)于x的比例式，求出x的值即可．解：設(shè)這幢高樓的高度為米，依題意得：，解得：．故這棟高樓的高度為36米．故選：．【點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)刻物高與影長成正比是解答此題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；∴，，故B不符合題意，C符合題意；∴，故D不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)可求解．解：∵，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，即，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴；故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性質(zhì)及已知條件即可求得△CEG的面積．解：由平移的性質(zhì)可得：AD=BE，且AD∥BE∴△CEG∽△ADG∴即∵∴∴∵∴故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了平移的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．10．D【分析】過A作AH⊥BC于H，先證明DE為△ABC的中位線，DF為△ABH的中位線，可得到BC=2DE，AH=2DF，從而得到，進(jìn)而得到，再由AB＝CE，可得AB=2，再由勾股定理，即可求解．解：如圖，過A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴，即AE=CE，∴DE為△ABC的中位線，∴BC=2DE，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴，∴BF=HF，∴DF為△ABH的中位線，∴AH=2DF，∵△DFE的面積為1，∴，∴DE×DF=2，∴，∵∠A＝90°，∴∴，∵AB=CE，∴AC=2AB，∴，解得：AB=2或2（舍去），∴AC=4，∴．故選：D【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中位線定理，三角形的面積的計(jì)算，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．11．1【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．解：，．故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．12．18【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得的長．解：，，，，，，故答案為：18．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出的值．13．14【分析】由平行四邊形的性質(zhì)推出，，得到，，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．解：如圖，由題意得，四邊形是平行四邊形，

∴，，∴，，∴，，∵，∴，，∵四邊形平行四邊形，∴平行四邊形紙片的周長是，故答案為：14．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．14．【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法：兩邊成比例，夾角相等解題．解：根據(jù)題意，添加條件，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案．解：，，設(shè)周長為，設(shè)周長為，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，．．和的周長之比為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握位似圖形性質(zhì)．16．27【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，很容易證明∽，相似三角形之比等于對應(yīng)邊比的平方，即可求出的面積．解：四邊形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，學(xué)生要靈活應(yīng)用．掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵．17．或【分析】分兩種情況討論，分別畫出適合的圖形，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解題即可．解：如解圖①所示，∵當(dāng)時(shí)，，∴，解得；如解圖②所示，當(dāng)時(shí)，，∴，解得

故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及分類討論等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．18．3【分析】由已知可知CD與AB平行，所以可利用解決．解：（米），∴AB∥DC．（米）．故答案為：3【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用的知識點(diǎn)，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)；善于從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題是關(guān)鍵．19．（1）見詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得，然后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可得，然后問題可求解．解：（1）證明：∵，，∴，∴；（2）解：由（1）可知，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20．見分析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．解：證明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．21．試題分析：（1）、根據(jù)△ABC與△CDE都為等邊三角形得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，從而得出∠ACE=∠BCD，然后根據(jù)SAS判定三角形全等；（2）、根據(jù)三角形全等得出∠BDC=∠AEC，從而得出△GCD和△FCE全等，根據(jù)全等得出CG=CF，根據(jù)等邊三角形得出GF∥CE，從而根據(jù)相似得出答案.解：（1）、∵△ABC與△CDE都為等邊三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）、∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG為等邊三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．考點(diǎn)：（1）、三角形的全等；（2）、三角形相似的性質(zhì).22．（1）證明見試題解析；（2）．【分析】（1）由EQ⊥BO，EH⊥AB得到∠EQN=∠BHM=90°，由∠EMQ=∠BMH得到△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得到△APB≌△HFE，故可得出結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求出BP的長，由EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再由銳角三角函數(shù)的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=，再由EQ=EF﹣QF即可得出結(jié)論．解：（1）∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°，∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM，在Rt△APB與Rt△HFE中，∵∠QEM=∠HBM，∠PAB=∠FHE，AB=EH，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）由勾股定理得，BP==4，∵EF是BP的垂直平分線，∴BQ=BP=，∴QF=BQ?tan∠FBQ=BQ?tan∠ABP==，由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=，∴EQ=EF﹣QF==．【點(diǎn)撥】本題考查了1．正方形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．勾股定理；4，相似三角形，這是一道綜合題，解決此題的關(guān)鍵是對知識點(diǎn)的熟練運(yùn)用．23．（1）證明見分析；（2）四邊形BFGE是菱形，理由見分析；（3）．【分析】（1）根據(jù)ASA證明△OAE≌△OBG；（2）由“四邊相等的四邊形是菱形”證明四邊形是菱形；（3）綜合運(yùn)用勾股定理、相似三角形的性質(zhì)求解．解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，∴OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°．∵BH⊥AF，與中，∠AOB=∠BOG,OA=OB,

∴△OAE≌△OBG（ASA）．∠OAE=∠OBG,

（2）四邊形是菱形，理由如下：在△AHG與△AHB中，∠GAH=∠BAH，HA=HA，∠AHG=∠AHB=90°，∴△AHG≌△AHB（ASA），是線段的垂直平分線，∴四邊形是菱形．（3）設(shè)菱形的邊長為．∵四邊形是菱形，在Rt△GOE中，由勾股定理可得,∴AC=2a=（2+）b，．．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定、正方形的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)、勾股定