專題98平行四邊形（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.8平行四邊形（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識點(diǎn)一】平行四邊形1定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.符號表示：平行四邊形用符號“?”表示.平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”基本元素：鄰邊：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC對邊：AB和DC，AD和BC.鄰角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD.對角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC對角線：AC和BD

特別提醒：平行四邊形的表示一般按一定的方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）依次書寫各頂點(diǎn).【知識點(diǎn)二】平行四邊形的性質(zhì)定理性質(zhì)符號語言邊平行四邊形的對邊平行且相等∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD角平行四邊形的對角相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC對角線平行四邊形的對角線互相平分∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC=12AC,OB=OD=1

特別提醒：平行四邊形的每一條對角線將平行四邊形分為兩個(gè)全等的三角形如圖，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.平行四邊形被兩條對角線分割而成的四個(gè)三角形的面積相等，且構(gòu)成兩對全等三角形.如圖S△ABO=S△BCO=S△CDO=S

【知識點(diǎn)三】平行線間距離1.定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.2.性質(zhì)（1）兩條平行線間的距離處處相等.如圖，直線a//b，過直線a上任意兩點(diǎn)A,B分別向b做垂線，交直線b于點(diǎn)C,D，所以AC//BD,又a//b，即兩條平行線間的距離處處相等.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.如圖所示，直線l1//l2，AB//CD,則四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=CD.特別提醒：平行線間的距離和平行線間的平行線段是不同概念，不能混為一談.【知識點(diǎn)四】平行四邊形的判定定理判定定理符號表示邊兩組對邊分別相等的四邊形式平行四邊形∵AB=CD,AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵AD=BC,AD//BC∴四邊形ABCD是平行四邊形角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∴四邊形ABCD是平行四邊形對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵AO=CO,BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形

特別提醒：若一條直線過平行四邊形對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截得的線段的中點(diǎn)是對角線的交點(diǎn).2.過平行四邊形對角線交點(diǎn)的直線將平行四邊形分成面積和周長都相等的兩部分.【知識點(diǎn)五】平行四邊形的對稱性平行四邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)【考點(diǎn)目錄】【平行四邊形的性質(zhì)】【考點(diǎn)1】利用平行四邊形的性質(zhì)求值；【考點(diǎn)2】利用平行四邊形的性質(zhì)證明；【平行線間的距離】【考點(diǎn)3】利用平行線間距離相等進(jìn)行證明和求值【平行四邊形的判定】【考點(diǎn)4】利用平行四邊形的判定證明和求值；【平行四邊形的性質(zhì)與判定】【考點(diǎn)5】利用平行四邊形性質(zhì)與判定求值；【考點(diǎn)6】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明；【平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用】【考點(diǎn)7】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用.【平行四邊形的性質(zhì)】【考點(diǎn)1】利用平行四邊形的性質(zhì)求值；【例1】（2023·廣東陽江·三模）如圖，平行四邊形中，連接．（1）尺規(guī)作圖：作對角線的垂直平分線，分別交，，于點(diǎn)M，O，N（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接，，求證：；（3）若，，求的長．【答案】（1）詳見分析；（2）詳見分析；（3）【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)證明即可；（3）根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理求出，即可求出結(jié)果．（1）解：如圖，即為所作；

（2）證明：∵垂直平分，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，，在和中，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作垂直平分線，勾股定理三角形全等的判斷和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形全等的判定方法．【變式1】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，平分平分，且，相交于點(diǎn)O，若點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，連接，則線段的長為（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出，，再證明為直角三角形，為中線，進(jìn)而解答即可．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理可得，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∵點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，∴是的斜邊的中線，∴，故選：D．【變式2】（2023上·江蘇常州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)A、B、D在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，等角對等邊，先求出，再證明推出，進(jìn)一步求出，由平行四邊形的性質(zhì)得到，即軸，由此可得答案．解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，即軸，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故答案為：．【考點(diǎn)2】利用平行四邊形的性質(zhì)證明；【例2】（2023下·廣東廣州·八年級?？计谥校┢叫兴倪呅沃校謩e平分和交于點(diǎn)交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）判斷和的大小關(guān)系，并說明理由【答案】（1）證明見分析；（2），理由見分析【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型；（1）證明，即可推出即；（2）證明，再利用平行四邊形的性質(zhì)，即可解決問題；解：（1）證明：如圖，∵在平行四邊形中，，，分別平分和，，，即，，；（2）解：結(jié)論：線段與是相等關(guān)系，即，∵在平行四邊形中，，，又平分，，，同理可得，，又∵在平行四邊形中，，．【變式1】（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法中，正確的是（）A．平行四邊形的對角線相等 B．平行四邊形的對角互補(bǔ)C．有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 D．平行四邊形的對邊平行且相等【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．解：A、平行四邊形的對角線互相平分，不一定相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平行四邊形的對角相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、平行四邊形的對邊平行且相等，故選項(xiàng)正確；故選D．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)．牢記平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022上·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形中（），直線經(jīng)過其對角線的交點(diǎn)，且分別交，于點(diǎn)，，交，的延長線于點(diǎn)，．下列結(jié)論：①；②；③．其中一定正確的是（填序號）．

【答案】②【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，則不一定等于；再證明，可得，即可．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵不一定等于，故①不一定正確；∵，∴，∵，∴，∴，故②正確；根據(jù)題意得：和不全等，∴與不全等，故③不正確，∴綜上所述，②正確．故答案為：②【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【平行線間的距離】【考點(diǎn)3】利用平行線間距離相等進(jìn)行證明和求值【例3】（2023下·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）閱讀、填空并將說理過程補(bǔ)充完整：如圖，已知直線，點(diǎn)A、B在直線上，點(diǎn)C、D在直線上，與交于點(diǎn)E．與的面積相等嗎？為什么？解：作，垂足為，作，垂足為．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以______（平行線間距離的意義）．（完成以下說理過程）【答案】相等，理由見分析．【分析】作，垂足為，作，垂足為，根據(jù)平行線間間距相等得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，進(jìn)而可得．解：相等，理由如下：作，垂足為，作，垂足為．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（平行線間距離的意義）因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以與的面積相等．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線間間距相等是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023下·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？奸_學(xué)考試）如圖，直線，相鄰兩條平行線間的距離都等于1，若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則它的面積等于（

）A．4 B．5 C． D．【答案】B【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于E，過點(diǎn)D作于F，，，證明得到，利用勾股定理求出即可得到答案．解：如圖所示，過點(diǎn)作于E，過點(diǎn)D作于F，由題意得，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴正方形的面積為5，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2017上·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）小明沿一段筆直的人行道行走，在由走到的過程中，通過隔離帶的空隙，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語，具體信息如下：如圖，，相鄰兩平行線間的距離相等，，相交于，垂足為．已知米．根據(jù)上述信息，可知標(biāo)語的長度為米．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與形狀，證即可求解．解：∵，∴∵相鄰兩平行線間的距離相等，，三點(diǎn)共線∴∴∵∴∴米．故答案為：【平行四邊形的判定】【考點(diǎn)4】利用平行四邊形的判定證明和求值；【例4】（2023上·河南鄭州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，四邊形中，，垂直平分，垂足為E，，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如果，，求四邊形的面積．【答案】（1）見分析；（2）48【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，再證，，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得，再由平行四邊形的性質(zhì)得，，然后證，推出，同理，則，即可解決問題．解：（1）證明：∵垂直平分，∴，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，在和中，，∴，∴，同理：，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定以及三角形面積等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023下·廣西梧州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理，逐一進(jìn)行判斷即可．解：A、不能判定四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；B、根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；C、根據(jù)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；D、根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定．熟練掌握平行四邊形的判定定理，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·寧夏石嘴山·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，點(diǎn)D在上，以為對角線的所有平行四邊形中，的最小值是．

【答案】5【分析】平行四邊形的對角線的交點(diǎn)是的中點(diǎn)O，可得當(dāng)時(shí)，最小即最小，證明四邊形是平行四邊形，得到，即得答案．解：∵平行四邊形，∴，，∴點(diǎn)O始終是的中點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，最小，即最?。?，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴．即的最小值為5；故答案為：5．【點(diǎn)撥】此題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確得出最小時(shí)的位置是關(guān)鍵【平行四邊形的性質(zhì)與判定】【考點(diǎn)5】利用平行四邊形性質(zhì)與判定求值；【例5】（2023下·江西宜春·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，將的邊延長至點(diǎn)，使，連接，是邊的中點(diǎn)，連接．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，，求的長．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用已知得出，，進(jìn)而得出答案；（2）首先過點(diǎn)作于點(diǎn)，再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出的長，進(jìn)而得出答案．解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，是邊的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由（1）得：四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，在中，，，又是邊的中點(diǎn)，，，在中，，．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等、直角三角形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以點(diǎn)B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)P，作射線，交于點(diǎn)G，交的延長線于點(diǎn)．若，，則的長為（

）

A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)題意的作圖可得平分，則，由，可得，從而，因此，又，得證四邊形是平行四邊形，得到．根據(jù)和對頂角相等證得，從而，因此即可解答．解：根據(jù)題意的作圖可得平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故選：C【點(diǎn)撥】本題考查尺規(guī)作圖——作角平分線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，綜合運(yùn)用各個(gè)知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·山東臨沂·九年級沂水縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎鐖D，．為x軸上一條動(dòng)線段，D在C點(diǎn)右邊且，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?【答案】/【分析】本題考查了“將軍飲馬”求最值的模型，涉及了平行四邊形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形是解題關(guān)鍵．解：將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)的值最小，如圖所示：∵，且∴四邊形為平行四邊形∴∵點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，∴∴∵∴的最小值為：故答案為：【考點(diǎn)6】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明；【例6】（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在中，分別是上的點(diǎn)，，（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若分別是的中點(diǎn)，連接，與分別交于點(diǎn)，請寫出圖中除和以外的平行四邊形；【答案】（1）見分析（2）【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)；（1）根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得，即可得出，根據(jù)可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)可得即可得出．解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．又∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∴，∵分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∵∴四邊形是平行四邊形；∵∴∴四邊形是平行四邊形；綜上所述，圖中還有．【變式1】（2022下·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，E是邊的中點(diǎn)，連接并延長，與的延長線交于點(diǎn)F，若，則下列命題：①四邊形是平行四邊形，②，③，④若，，則，其中正確的是（

）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得到，再證明≌，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可證得，進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，即可判斷命題①正確；利用全等三角形的性質(zhì)得出，證出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，即可判斷命題②正確；根據(jù)三角形的中線將三角形的面積平分即可判斷命題③正確；利用勾股定理求出，即可判斷命題④正確．解：①四邊形是平行四邊形，∴，，點(diǎn)F為的延長線上的一點(diǎn)，∴，，，為BC中點(diǎn)，，在和中，，，，∵，四邊形是平行四邊形，故此命題正確，符合題意；②由①知，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，故此命題正確，符合題意；③由②知，，，故此命題正確，符合題意；④，，，，，，故此命題正確，符合題意．故選：D【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，熟練掌握平行四邊形、勾股定理以及全等三角形的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)P，且，則．【答案】60【分析】作關(guān)于的對稱圖形，可得，延長到點(diǎn)E，使，連接，可得四邊形是平行四邊形，設(shè)，可得，從而得到，，再證明是等邊三角形，可得，即可求解．解：如圖，作關(guān)于的對稱圖形，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，延長到點(diǎn)E，使，連接，∴四邊形是平行四邊形，設(shè)，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴．故答案為：60．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)等知識，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用】【考點(diǎn)7】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用.【例7】（2023下·江蘇·八年級階段練習(xí)）如圖1是某一遮陽蓬支架從閉合到完全展開的一個(gè)過程，當(dāng)遮陽蓬支架完全閉合時(shí)，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽蓬支架完全展開時(shí)的一個(gè)示意圖，支桿固定在垂直于地面的墻壁上，支桿與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，在支架展開過程中四邊形始終是平行四邊形．（1）若遮陽蓬完全展開時(shí)，長2米，在與水平地面呈的太陽光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）（2）長支桿與短支桿的長度比（即與的長度比）是______．【答案】（1）2；（2）【分析】（1）過C作與水平地面呈的直線交的延長線于K，分別過K、E作，，可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得的長即可；（2）由題意可知：支桿的豎直長度都一樣，且豎直的支點(diǎn)為長支桿的中點(diǎn)，即G為的中點(diǎn)、B為的中點(diǎn)，然后說明的長度為長支桿的一半即可．（1）解：過C作與水平地面呈的直線交的延長線于K，分別過K、E作，，∴四邊形是平行四邊形，∴，即在地面上影子的長為2米；故答案為：2；（2）解：由題意可知：支桿的豎直長度都一樣，且豎直的支點(diǎn)為長支桿的中點(diǎn)，即G為的中點(diǎn)、B為的中點(diǎn)，當(dāng)遮陽棚完全閉合后，每根桿的長度都一樣，即的長度為長支桿的一半，∵為長支桿的長度，為短支桿的長度．∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識