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文檔簡介
專題11反比例函數目錄一覽知識目標(新課程標準提煉)中考命題趨勢(分析考察方向,精準把握重難點)重點考向(以真題為例,探究中考命題方向)?考向一反比例函數的性質?考向二反比例函數系數k的幾何意義?考向三反比例函數圖象上點的坐標特征?考向四待定系數法求反比例函數解析式?考向五反比例函數與一次函數的交點問題?考向六反比例函數的應用?考向七反比例函數綜合題最新真題薈萃(精選最新典型真題,強化知識運用,優(yōu)化解題技巧)1.結合具體情境體會反比例函數的意義,能根據已知條件確定反比例函數的表達式;2.能畫出反比例函數的圖象,根據圖象和表達式探索并理解k>0和k<0時,圖象的變化情況;3.能用反比例函數解決簡單的實際問題.反比例函數也是非常重要的函數,年年都會考,總分值為15分左右,預計2024年各地中考一定還會考,反比例函數與一次函數結合出現在解答題中是各地中考必考的一個解答題,反比例函數的圖象與性質和平面幾何的知識結合、反比例函數中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點。反比例函數的概念一般地,函數(k是常數,k≠0)叫做反比例函數.反比例函數的解析式也可以寫成的形式.自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數,函數的取值范圍也是一切非零實數.反比例函數(k是常數,k0)中x,y的取值范圍反比例函數(k是常數,k≠0)的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實數,函數值y的取值范圍也是非零實數.反比例函數的圖象與性質1.圖象:反比例函數的圖象是雙曲線,它有兩個分支,這兩個分支分別位于第一、三象限,或第二、四象限.由于反比例函數中自變量x≠0,函數y≠0,所以,它的圖象與x軸、y軸都沒有交點,即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸,但永遠達不到坐標軸.2.性質:當k>0時,函數圖象的兩個分支分別在第一、三象限,在每個象限內,y隨x的增大而減小.當k<0時,函數圖象的兩個分支分別在第二、四象限,在每個象限內,y隨x的增大而增大.表達式(k是常數,k≠0)kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內,y隨x的增大而減小在每個象限內,y隨x的增大而增大注意反比例函數的圖象不是連續(xù)的,因此在談到反比例函數的增減性時,都是在各自象限內的增減情況.當k>0時,在每一象限(第一、三象限)內y隨x的增大而減小,但不能籠統(tǒng)地說當k>0時,y隨x的增大而減?。瑯樱攌<0時,也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大.反比例函數解析式的確定1.待定系數法:確定解析式的方法仍是待定系數法,由于在反比例函數中,只有一個待定系數,因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標,即可求出k的值,從而確定其解析式.2.待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟(1)設反比例函數解析式為(k≠0);(2)把已知一對x,y的值代入解析式,得到一個關于待定系數k的方程;(3)解這個方程求出待定系數k;(4)將所求得的待定系數k的值代回所設的函數解析式.反比例函數圖象中有關圖形的面積涉及三角形的面積型當一次函數與反比例函數結合時,可通過面積作和或作差的形式來求解.1.正比例函數與一次函數所圍成的三角形面積.如圖①,S△ABC=2S△ACO=|k|;2.如圖②,已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點,且一次函數與x軸交于點C,則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=;3.如圖③,已知反比例函數的圖象上的兩點,其坐標分別為,,C為AB延長線與x軸的交點,則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=.同一象限內運用k的幾何意義S矩形PAOB=|k|S△AOP=eq\f(|k|,2)S△ACP=eq\f(|k|,2)兩個象限內運用k的幾何意義S△ABC=|k|S△APP1=2|k|雙反比例函數中運用k的幾何意義S矩形ABCD=|k1|-|k2|S△ABO=eq\f(|k1|-|k2|,2)S△ABC=S△ABO=eq\f(|k1|+|k2|,2)反比例函數的實際應用解決反比例函數的實際問題時,先確定函數解析式,再利用圖象找出解決問題的方案,特別注意自變量的取值范圍.反比例函數與一次函數的綜合1.涉及自變量取值范圍型:當一次函數與反比例函數相交時,聯立兩個解析式,構造方程組,然后求出交點坐標。針對時自變量x的取值范圍,只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍.例如,如下圖,當時,x的取值范圍為或;同理,當時,x的取值范圍為或.2.求一次函數與反比例函數的交點坐標(1)從圖象上看,一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定.①k值同號,兩個函數必有兩個交點;②k值異號,兩個函數可無交點,可有一個交點,可有兩個交點;(2)從計算上看,一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況.?考向一反比例函數的性質解題技巧/易錯易混確定點是否在反比例函數圖象上的方法:(1)把點的橫坐標代入解析式,求出y的值,若所求值等于點的縱坐標,則點在圖象上;若所求值不等于點的縱坐標,則點不在圖象上.(2)把點的橫、縱坐標相乘,若乘積等于k,則點在圖象上,若乘積不等于k,則點不在圖象上.1.(2023?安徽)已知反比例函數y=(k≠0)在第一象限內的圖象與一次函數y=﹣x+b的圖象如圖所示,則函數y=x2﹣bx+k﹣1的圖象可能為()A. B. C. D.2.(2023?廣西)如圖,過的圖象上點A,分別作x軸,y軸的平行線交的圖象于B,D兩點,以AB,AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標軸分割成四個小矩形,面積分別記為S1,S2,S3,S4,若,則k的值為()A.4 B.3 C.2 D.13.(2023?鎮(zhèn)江)點A(2,y1)、B(3,y2)在反比例函數y=的圖象上,則y1>y2(用“<”、“>”或“=”填空).?考向二反比例函數系數k的幾何意義解題技巧/易錯易混反比例函數的解析式(k≠0)中,只有一個待定系數k,確定了k值,也就確定了反比例函數,因要確定反比例函數的解析式,只需給出一對x,y的對應值或圖象上一個點的坐標,代入中即可.4.(2023?湘西州)如圖,點A在函數y=(x>0)的圖象上,點B在函數y=(x>0)的圖象上,且AB∥x軸,BC⊥x軸于點C,則四邊形ABCO的面積為()A.1 B.2 C.3 D.45.(2023?黑龍江)如圖,△ABC是等腰三角形,AB過原點O,底邊BC∥x軸,雙曲線y=過A,B兩點,過點C作CD∥y軸交雙曲線于點D.若S△BCD=12,則k的值是()A.﹣6 B.﹣12 C.﹣ D.﹣96.(2023?衢州)如圖,點A,B在x軸上,分別以OA,AB為邊,在x軸上方作正方形OACD,ABEF,反比例函數y=(k>0)的圖象分別交邊CD,BE于點P,Q.作PM⊥x軸于點M,QN⊥y軸于點N.若OA=2AB,Q為BE的中點,且陰影部分面積等于6,則k的值為24.?考向三反比例函數圖象上點的坐標特征解題技巧/易錯易混確定點是否在反比例函數圖象上的方法:(1)把點的橫坐標代入解析式,求出y的值,若所求值等于點的縱坐標,則點在圖象上;若所求值不等于點的縱坐標,則點不在圖象上.(2)把點的橫、縱坐標相乘,若乘積等于k,則點在圖象上,若乘積不等于k,則點不在圖象上.7.(2023?濟南)已知點A(﹣4,y1),B(﹣2,y2),C(3,y3)都在反比例函數y=(k<0)的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系為()A.y3<y2<y1 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y18.(2023?攀枝花)如圖,在直角△ABO中,AO=,AB=1,將△ABO繞點O順時針旋轉105°至△A′B′O的位置,點E是OB′的中點,且點E在反比例函數y=的圖象上,則k的值為.9.(2023?安徽)如圖,O是坐標原點,Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上,AB=2,∠AOB=30°,反比例函數y=(k>0)的圖象經過斜邊OB的中點C.(1)k=;(2)D為該反比例函數圖象上的一點,若DB∥AC,則OB2﹣BD2的值為.?考向四待定系數法求反比例函數解析式10.(2023?青島)反比例函數y=的圖象經過點A(m,),則反比例函數的表達式為.11.(2023?陜西)如圖,在矩形OABC和正方形CDEF中,點A在y軸正半軸上,點C,F均在x軸正半軸上,點D在邊BC上,BC=2CD,AB=3.若點B,E在同一個反比例函數的圖象上,則這個反比例函數的表達式是.12.(2023?綿陽)如圖,過原點O的直線與反比例函數(k≠0)的圖象交于A(1,2),B兩點,一次函數y2=mx+b(m≠0)的圖象過點A與反比例函數交于另一點C(2,n).(1)求反比例函數的解析式;當y1>y2時,根據圖象直接寫出x的取值范圍;(2)在y軸上是否存在點M,使得△COM為等腰三角形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.?考向五反比例函數與一次函數的交點問題解題技巧/易錯易混反比例函數與一次函數綜合的主要題型:(1)利用k值與圖象的位置的關系,綜合確定系數符號或圖象位置;(2)已知直線與雙曲線表達式求交點坐標;(3)用待定系數法確定直線與雙曲線的表達式;(4)應用函數圖象性質比較一次函數值與反比例函數值的大小等.解題時,一定要靈活運用一次函數與反比例函數的知識,并結合圖象分析、解答問題.13.(2023?內蒙古)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與雙曲線y=(k≠0)交于點A(﹣2,4)和點B(m,﹣2),則不等式0<ax+b<的解集是()A.﹣2<x<4 B.﹣2<x<0 C.x<﹣2或0<x<4 D.﹣2<x<0或x>414.(2023?荊州)如圖,點A(2,2)在雙曲線y=(x>0)上,將直線OA向上平移若干個單位長度交y軸于點B,交雙曲線于點C.若BC=2,則點C的坐標是.15.(2023?濱州)如圖,直線y=kx+b(k,b為常數)與雙曲線為常數)相交于A(2,a),B(﹣1,2)兩點.(1)求直線y=kx+b的解析式;(2)在雙曲線上任取兩點M(x1,y1)和N(x2,y2),若x1<x2,試確定y1和y2的大小關系,并寫出判斷過程;(3)請直接寫出關于x的不等式的解集.?考向六反比例函數的應用解題技巧/易錯易混用反比例函數解決實際問題的步驟(1)審:審清題意,找出題目中的常量、變量,并理清常量與變量之間的關系;(2)設:根據常量與變量之間的關系,設出函數解析式,待定的系數用字母表示;(3)列:由題目中的已知條件列出方程,求出待定系數;(4)寫:寫出函數解析式,并注意解析式中變量的取值范圍;(5)解:用函數解析式去解決實際問題.16.(2023?懷化)已知壓力F(N)、壓強P(Pa)與受力面積S(m2)之間有如下關系式:F=PS.當F為定值時,如圖中大致表示壓強P與受力面積S之間函數關系的是()A. B. C. D.17.(2023?南充)小偉用撬棍撬動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m,當動力臂由1.5m增加到2m時,撬動這塊石頭可以節(jié)省N的力.(杠桿原理:阻力×阻力臂=動力×動力臂)18.(2023?溫州)在溫度不變的條件下,通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓,加壓后氣體對汽缸壁所產生的壓強p(kPa)與汽缸內氣體的體積V(mL)成反比例,p關于V的函數圖象如圖所示.若壓強由75kPa加壓到100kPa,則氣體體積壓縮了mL.?考向七反比例函數綜合題19.(2023?成都)如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數圖象y=﹣x+5與y軸交于點A,與反比例函數y=的圖象的一個交點為B(a,4),過點B作AB的垂線l.(1)求點A的坐標及反比例函數的表達式;(2)若點C在直線l上,且△ABC的面積為5,求點C的坐標;(3)P是直線l上一點,連接PA,以P為位似中心畫△PDE,使它與△PAB位似,相似比為m.若點D,E恰好都落在反比例函數圖象上,求點P的坐標及m的值.20.(2023?淄博)如圖,直線y=kx+b與雙曲線y=相交于點A(2,3),B(n,1).(1)求雙曲線及直線對應的函數表達式;(2)將直線AB向下平移至CD處,其中點C(﹣2,0),點D在y軸上.連接AD,BD,求△ABD的面積;(3)請直接寫出關于x的不等式kx+b>的解集.1.(2023?廣州)已知正比例函數y1=ax的圖象經過點(1,﹣1),反比例函數y2=的圖象位于第一、第三象限,則一次函數y=ax+b的圖象一定不經過()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2023?張家界)如圖,矩形OABC的頂點A,C分別在y軸、x軸的正半軸上,點D在AB上,且AD=AB,反比例函數y=(k>0)的圖象經過點D及矩形OABC的對稱中心M,連接OD,OM,DM.若△ODM的面積為3,則k的值為()A.2 B.3 C.4 D.53.(2023?無錫)已知曲線C1、C2分別是函數y=﹣(x<0),y=(k>0,x>0)的圖象,邊長為6的正△ABC的頂點A在y軸正半軸上,頂點B、C在x軸上(B在C的左側),現將△ABC繞原點O順時針旋轉,當點B在曲線C1上時,點A恰好在曲線C2上,則k的值為.4.(2023?丹東)如圖,點A是反比例函數的圖象上一點,過點A作AC⊥x軸,垂足為點C,延長AC至點B,使BC=2AC,點D是y軸上任意一點,連接AD,BD,若△ABD的面積是6,則k=.5.(2023?寧波)如圖,點A,B分別在函數y=(a>0)圖象的兩支上(A在第一象限),連結AB交x軸于點C.點D,E在函數y=(b<0,x<0)圖象上,AE∥x軸,BD∥y軸,連結DE,BE.若AC=2BC,△ABE的面積為9,四邊形ABDE的面積為14,則a﹣b的值為,a的值為.6.(2023?長沙)如圖,在平面直角坐標系中,點A在反比例函數y=(k為常數,k>0,x>0)的圖象上,過點A作x軸的垂線,垂足為B,連接OA.若△OAB的面積為,則k=.7.(2023?通遼)已知點A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函數的圖象上,且x1<0<x2,則下列結論一定正確的是()A.y1+y2<0 B.y1+y2>0 C.y1﹣y2<0 D.y1﹣y2>08.(2023?威海)如圖,在平面直角坐標系中,點A,B在反比例函數y=(x>0)的圖象上.點A的坐標為(m,2).連接OA,OB,AB.若OA=AB,∠OAB=90°,則k的值為9.(2023?株洲)如圖所示,在平面直角坐標系Oxy中,四邊形OABC為正方形,其中點A、C分別在x軸負半軸,y軸負半軸上,點B在第三象限內,點A(t,0),點P(1,2)在函數的圖象上.(1)求k的值;(2)連接BP、CP,記△BCP的面積為S,設T=2S﹣2t2,求T的最大值.10.(2023?湘潭)如圖,點A的坐標是(﹣3,0),點B的坐標是(0,4),點C為OB中點.將△ABC繞著點B逆時針旋轉90°得到△A′BC′.(1)反比例函數y=的圖象經過點C′,求該反比例函數的表達式;(2)一次函數圖象經過A、A′兩點,求該一次函數的表達式.11.(2023?鄂州)如圖,在平面直角坐標系中,直線y1=k1x+b與雙曲線y2=(其中k1?k2≠
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