直線與直線、直線與平面平行

高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第二冊(cè)）

8.5.1-8.5.2直線與直線、直線與平面平行

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一基本事實(shí)4

文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線平行

---------------a

圖形語(yǔ)言---------------b

---------------C

符號(hào)語(yǔ)言直線a,b,c,allb、b//c=^a//c

作用證明兩條直線平行

說(shuō)明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性

考點(diǎn)二空間等角定理

1.定理

文字語(yǔ)言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

OA//O'A1,OB//O'B'O'B'或NAOB+

符號(hào)語(yǔ)言

NA'O'B'=180°

/4

-------A，B'

圖形語(yǔ)言

一/

O^--------A0乙----------A

作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

2.推廣

如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.

考點(diǎn)三直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,那

文字語(yǔ)言

么該直線與此平面平行

應(yīng)a,

符號(hào)語(yǔ)言bUa,

a//b.

--a

圖形語(yǔ)言口

考點(diǎn)四直線與平面平行的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行,如果過(guò)該直線的平面與此

平面相交，那么該直線與交線平行

符號(hào)語(yǔ)言a//a,aUfj,aCB=b=a〃b

甲a\

圖形語(yǔ)言

【題型歸納】

題型一：等角定理

1.若乙4OB=NA。用，且OA〃O0,。4與OAi方向相同，則下列結(jié)論正確的有（）

A.。8〃。內(nèi)且方向相同B.0B〃。圈,方向可能不同

C.。8與不平行D.08與不一定平行

2.在正方體ABCD-48cA中，E,F,G分別為棱CC_BB、,0A的中點(diǎn)，試證明：NBGC=NFRE.

3.如圖，三棱柱ABC-ABC中，M,N,p分別為AA-BBt,CG的中點(diǎn).求證：NMC、N=NAPB.

題型二：直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用

4.如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABC。是菱形，N,M,Q分別為尸8,PD,PC的中點(diǎn).

Dc

(1)求證：QV//平面P"＞；

(2)記平面CMV與底面ABC?的交線為/,試判斷直線/與平面PM的位置關(guān)系，并證明.

5.如圖，P為平行四邊形A3CD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是A8,PC的中點(diǎn)，平面以。0平面PBC于直線/.

(1)判斷MN與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(2)判斷8c與/的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

6.如圖，在四棱錐尸—A8C￡＞中，ABHDC,CD=2AB,E為棱尸。的中點(diǎn).

（1）求證：AE〃平面PBC；

（2）試判斷尸8與平面AEC是否平行？并說(shuō)明理由.

題型三：直線與平面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在位置

7.如圖，已知四棱錐P-A3S的底面是菱形，AC交BD于點(diǎn)O,E為AO的中點(diǎn)，尸在R4上，AP=AAF,PC//

平面班廣，則；I的值為（）

A.1B.-C.3D.2

2

8.如圖，在三棱錐P—ABC中，點(diǎn)。，E分別為棱PB,8C的中點(diǎn).若點(diǎn)尸在線段AC上，且滿(mǎn)足A。//平面PEF,

A.1B.2C.：D.-

23

9.如圖，已知四棱維P-A3CZ）的底面是平行四邊形，AC交8D于點(diǎn)。，E為AO中點(diǎn)，F(xiàn)在R4上，AP=AAF,

PC〃平面BEF,則4的值為（)

p

題型四：直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用

10.如圖，三棱錐A-38被一平面所截，截面為平行四邊形EFG”，求證：8〃平面EFGH.

11.如圖所示，已知P是。ABC。所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，平面附DC平面P8C=/.

(2)MN〃平面PAD.

12.如圖所示，在四棱錐P-A8CD中，8c〃平面PAD,BC=^AD,E是PO的中點(diǎn).

p

B上

(1)求證：BC//AD；

(2)求證：C￡〃平面弘8；

(3)若股是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N,使MN〃平面期8?說(shuō)明理由.

【雙基達(dá)標(biāo)】

一、單選題

13.對(duì)于直線加，〃和平面a,下列命題中正確的是()

A.如果mua,nBa,tn,拉是異面直線，那么〃〃a

B.如果mua,mf〃是異面直線，那么〃與。相交

C.如果機(jī)ua,nilm,〃共面，那么機(jī)〃〃

D.如果加〃a,nila,m,〃共面，那么加〃"

14.已知直線和平面。，下列說(shuō)法正確的是()

A.如果。/",那么〃平行于經(jīng)過(guò)匕的任意一個(gè)平面.

B.如果a//a,那么。平行于平面以?xún)?nèi)的任意一條直線.

C.若al/a,b/la,則allb.

D.若4<za,bua且a//b,則a//a.

15.已知加，〃為兩條不同的直線，。，/為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若tnlla,mlIn,則nila

B.若mHa,〃//a,則相〃幾

C.若mHa,〃?u/3,?Q=”，則租//”

D.若mHa,〃ua,則1rdM

16.如圖，在四面體ABC。中，若截面PQMN是正方形，則在下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的為（）

A.ACLBDB.AC=BDC.AC〃截面PQMND.異面直線PM與8。所成的角為45。

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形，ZR4T>=60'，。為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PC上，PM=tMC,

18.如圖所示,P為矩形ABC。所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為0,M為PB的中點(diǎn)，給出五個(gè)結(jié)論:①OM〃P。；

②0M//平面PCD；③。/〃平面PA4；④0M//平面P84；⑤0M//平面PBC.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

P

19.下列結(jié)論中正確的是（）

①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行

直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a,b,c,d,如果a//b,d/d,且?！╠,那么

bile.

A.①②③B.②④C.③④D.②③

20.下列命題的符號(hào)語(yǔ)言中，不是公理的是（)

A.aLa,b工a=a〃b

B.Pea,且Pe/=>￡口夕=/,且Pe/

C.Ael,Bwl,且Aecr,Bca=lua

D.a//b,a//c=>b//c

21.如圖所示，在空間四邊形ABC。中，E,尸分別為邊A3,A。上的點(diǎn)，且4E：仍=力尸："）=1：4,又H,G

分別為BC,CD的中點(diǎn)，則（）

A.8。〃平面EFG”，且四邊形EFG”是矩形

B.EF〃平面BCD,且四邊形EFG”是梯形

C.HG〃平面ABD,且四邊形EFG”是菱形

D.EH〃平面AOC,且四邊形EFG"是平行四邊形

【高分突破】

一：?jiǎn)芜x題

22.如圖，在直四棱柱中，下列結(jié)論正確的是（）

A.AC與是兩條相交直線

B.44"平面8BQ

C.B,C//BD,

D.A,C,B、,已四點(diǎn)共面

r）EDF

23.在空間四邊形ABCD中，E,F分別在AD,CD上,且滿(mǎn)足上竺=上三，則直線EF與平面ABC的位置關(guān)系是（）

EAFC

A.EF||平面43cB.EFu平面ABC

C.E尸與平面ABC相交D.以上都有可能

24.如圖所示，P為矩形A8C。所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為。，M為PB的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為

()

①OM〃平面P8C②OM//平面PC。③OM〃平面PD4④OM〃平面P8A

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、多選題

25.（多選題）下列命題中，錯(cuò)誤的結(jié)論有（）

A.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等

B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等

C.如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

D.如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行

26.如圖，在四面體ABCD中，截面尸QWN是正方形，則（）

A.AC±BDB.AC//平面尸QMN

C.AC=BDD.M,N分別是線段。C,AL＞的中點(diǎn)

27.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-ABC"中，E,F,G分別為所在棱的中點(diǎn)，尸為正方形BCG4

內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且〃平面EFG,則（）

A.BD//EGB.BD"/平面EFG

C.三棱錐R-EFG的體積為1D.P只能在線段BC上

28.在正方體ABCQ-ABGP中，￡、F、G分別為BC,CC,,8片的中點(diǎn)則（）

A.直線2。與直線A尸垂直

B.直線4。與平面AE尸平行

C.平面用'截正方體所得的截而是等腰梯形

D.點(diǎn)C和點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

29.已知圖1中的正三棱柱ABC-AB/G的底面邊長(zhǎng)為2,體積為20，去掉其側(cè)棱，再將上底面繞上下底面的中

心所在的直線。。2,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。后，添上側(cè)棱，得到圖2所示的幾何體，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.48?〃平面A8C

B.44=孚

C.四邊形A%與為正方形

D.正三棱柱A8C-A4G，與幾何體48cA282c2的外接球體積相同

三、填空題

30.已知/,相，”是互不相同的直線，a,P，y是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：

①若/與根為異面直線，lua,mu0,則a//尸；

②若a//夕,lea,ma/i,則///，"；

③若a（V=l,pC\y=m,yC\a=n,Illy,則〃?//〃.

其中所有真命題的序號(hào)為.

31.如圖所示，直線a〃平面a,點(diǎn)4任平面a,并且直線“和點(diǎn)4位于平面a兩側(cè)，點(diǎn)B,C,Dea,AB,AC,

AD分別交平面a于點(diǎn)E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,則EG=.

32.下列三個(gè)說(shuō)法：

①若直線a在平面a外，則a//a；

②若直線a〃。，直線atZa,6ua,則a//a；

③若a“b,bua,則。與a內(nèi)任意直線平行.

其中正確的有.

33.以下命題中為真命題的是（填序號(hào)）

①若直線/平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則直線/〃。；

②若直線。在平面a外，則?！╝；

③若直線a〃江bua,則“〃a；

④若直線a〃6bua,則。平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線.

34.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E,尸分別為邊A3,AL＞上的點(diǎn)，且AS:￡B=A尸：ED=1:5,又“，G

分別為BC,8的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)正確命題的序號(hào)）

①比）〃平面EFGH；②EFH平面BCD；

③HG//平面ABD；④￡77〃平面40C.

四、解答題

35.如圖，正方形ABC。與正方形A8EF所在平面相交于4B,在對(duì)角線4E,BO上各有一點(diǎn)P,Q,且4P=OQ.求

證：尸?！ㄆ矫鍮CE.（用兩種方法證明）

36.如圖，四棱錐A-OBCE中，0為底面平行四邊形。8CE對(duì)角線的交點(diǎn)，F(xiàn)為4E的中點(diǎn).求證：M〃平面OCE

37.如圖，在三棱柱ABC—48Q中，點(diǎn)E,F分別是棱CG,88/上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段4c上的動(dòng)點(diǎn)，EC=2FB

=2,若MB〃平面AEF,試判斷點(diǎn)M在何位置.

38.如圖，在直三棱柱A8C-44G中，點(diǎn)。為A/的中點(diǎn)，ZABC=90°,AB=BC^2,心=26.

(1)證明：8c〃平面AOG.

(2)求三棱錐O-ABC的體積.

39.如圖1,已知矩形A8C3中，AB=3,BC=6,E為CO上一點(diǎn)且C￡=2Z)E.現(xiàn)將AAT>E沿著AE折起，使點(diǎn)。

到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PE1.BE,得到的圖形如圖2.

(1)證明Z^BPA為直角三角形；

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在線段”上，判斷直線EM與平面PCB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

CD，

pc，

【答案詳解】

1.D

【解析】

【分析】

畫(huà)出圖形，當(dāng)滿(mǎn)足題目中的條件時(shí)，出現(xiàn)的情況有哪些，即可得出結(jié)論.

【詳解】

OB與04/是不一定平行.

故選：D.

2.證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

證明D.F//GB,D.E//GC,由/BGC與NFQE的對(duì)應(yīng)邊平行且方向相同即可證出.

【詳解】

因?yàn)槭瑸榈闹悬c(diǎn)，所以=因?yàn)镚為。。的中點(diǎn)，

所以RG=；DR.

又BB#DD\,BB]=DR,

所以B尸〃D。，BF=QG.所以四邊形RGBF為平行四邊形.

所以RF〃GB,同理RE〃GC.

所以NBGC與NFRE的對(duì)應(yīng)邊平行且方向相同，所以NBGC=ZFD、E.

3.證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

通過(guò)平行以及長(zhǎng)度關(guān)系證明GN//BP,QM//AP,然后根據(jù)等角定理證明N/GN=NAPB.

【詳解】

證明：因?yàn)镹,P分別是84，cq的中點(diǎn)，所以BN"GP,BN=GP,

所以四邊形BPGN為平行四邊形，所以C0//BP.

同理可證GM//AP,

又NMGN與“歸方向相同，所以NMCN=NAPB.

4.(1)證明見(jiàn)解析；(2)直線〃/面P8D,證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)證明QN〃8C〃AO,利用線面平行的判定定理即可求證；

(2)由三角形中位線性質(zhì)可得：MN//BD,可證明MN〃面488,由線面平行的性質(zhì)定理可得3?！?,由線面平行

的判定定理即可證明直線III面PBD.

【詳解】

(1)因?yàn)镸Q分別為依，PC的中點(diǎn)，所以QN//BC,

因?yàn)榈酌?88是菱形，所以3C〃AZ),所以QW/AO,

因?yàn)镼N<Z平面ADu平面H4。，

所以QN〃平面皿>,

(2)直線/與平面尸切平行，證明如下：

因?yàn)镸M分別為PB,PO的中點(diǎn)，

所以MN//BD,

因?yàn)镸Nz面ABC。，Qu面ABC。，所以MN"面ABCD,

因?yàn)槠矫鍯MN與底面ABC￡>的交線為/,MNu面CMN,

由線面平行的性質(zhì)定理可得〃/,

因?yàn)镸NMBD,所以BD〃l,

因?yàn)?￡>u面PBD,/(Z面PB￡),

所以直線/〃面尸8"

5.(1)MN//平面R4。，證明見(jiàn)解析；(2)BC//1,證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)取PO中點(diǎn)E,連接AE,NE,可得NE//DC,且NE=[oC,又M為AB中點(diǎn)，可得AM//NE,且AM=NE,

2

所以四邊形4MNE為平行四邊形，可得AE//MN,根據(jù)線面平行的判定定理，可證MN//平面皿>.

(2)根據(jù)線面平行的判定定理，可證8c〃平面PAD,又3Cu平面PBC,結(jié)合題意，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,

可證8C///.

【詳解】

(1)MN“平面PAD,證明如下：

取PO中點(diǎn)E,連接AE,NE,

因?yàn)镸E分別為PC,PC中點(diǎn)，

所以NE//DC,且NE=2Z)C,

2

又M為AB中點(diǎn)，ABI/DC,AB=DC,

所以AM//NE,且川Vf=NE,

所以四邊形AMNE為平行四邊形，

所以AE//MN,

又AEu平面PA。，平面PAD,

所以MN//平面PAD

(2)BC//1,證明如下：

因?yàn)锳D//8C,A￡>u平面3C<Z平面抬

所以BC//平面PAD,

又BCu平面PBC,且平面PAOf]平面尸8C=/,

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得BC//1.

6.(1)見(jiàn)解析；(2)不平行，證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)可結(jié)合中位線定理證明，取PC的中點(diǎn)F,連接EF,BF,先證明四邊形￡7詡為平行四邊形，可得AE//BF,

即可得證；

(2)可采用反證法，假設(shè)尸B與平面AEC平行，先證。為8。中點(diǎn)，再通過(guò)相似三角形可得若=；,即證出矛盾,

故不成立

【詳解】

證明：(1)取PC的中點(diǎn)F,連接EF,BF,

則EF//OC,且EF=gf>C,

又因?yàn)锳6//DC,CD=2AB,

P斤以EF//AB,且=

所以四邊形瓦N4為平行四邊形，

則AEHBF,

又因?yàn)槠矫鍼BC,BFu平面PBC,

所以AE〃平面PBC.

(2)P8與平面AEC不平行.

假設(shè)尸8//面AEC,

設(shè)3￡>cAC=O,連結(jié)0E,

則平面E4CC平面PDB=OE,

又PBu平面PDB,所以

CRpp

所以，在APD8中有黑=狹，

ODED

由E為尸￡>的中點(diǎn)可得空=轉(zhuǎn)=1,即08=8.

ODED

因?yàn)锳8〃￡)C,所以空=空=:，這與08=00矛盾，

CDOD2

所以假設(shè)錯(cuò)誤，PB與平面AEC不平行.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的證明，反證法在線面平行中的應(yīng)用，屬于中檔題

7.C

【解析】

【分析】

A(Z1ApAC

根據(jù)AAEG?ACBG,得到要=彳，利用PC//平面8歷，得到GF〃尸C,結(jié)合比例式的性質(zhì)，得至“=丁=三,

AC3AFAG

即可求解.

【詳解】

解：設(shè)AO與BE交于點(diǎn)G,連接FG,如圖所示，因?yàn)镋為AO的中點(diǎn)，則AE=［AZ)=2BC,

22

由四邊形ABC。是菱形，可得AD//8C,則AA￡G?ACBG,

匕匚］AGAE1彳匚［、］AG1

所以壇=正=5'所以前二針

又因?yàn)镻C//平面8EF,PCu平面PAC,平面BEFI平面R4C=GF,

ApAC

所以GF//PC,^WA=-=-=3.

故選：C.

【解析】

【分析】

連接C￡>,交PE于G,連接FG,由A￡>//平面PE/，得到AQ//FG,由點(diǎn)。，E分別為棱P8,8C的中點(diǎn)，得到

G是AP8C的重心，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

解：連接CD,交PE于G,連接FG,如圖，

?.,">//平面尸砂，平面AOCCI平面尸EF=FG,

.-.AD//FG,

；點(diǎn)D,E分別為棱PB,BC的中點(diǎn).

.?.G是APBC的重心，

.AFDG\

一~FC~~GC~2

故選：C.

9.D

【解析】

【分析】

4c1APAC

根據(jù)AAEG9G,得到法=葭利用PC”平面曲，得到—結(jié)合比例式的性質(zhì)，得到缶獷前

即可求解.

【詳解】

設(shè)A。與8E交于點(diǎn)G,連接尸G,如圖所示,

因?yàn)镋為A。的中點(diǎn)，則45=彳4￡)=彳8。,

22

由四邊形ABC。是平行四邊形，可得4D//BC,則AAEG?ACBG,

AGAE1.AG1

所rriq以云=拓=5'所rri以.益=葭

又因?yàn)镻C〃平面3EF,PCu平面PAC,平面平面E4C=GF,

4PAC

所以3//PC,所以公壽:前=3.

10.證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的判定定理、性質(zhì)定理即可得證

【詳解】

因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，

所以EF//GH,

因?yàn)镚，u平面BCD,防二平面BCQ,

所以所//平面BCD,

又因?yàn)镋Fu平面4CZ),且平面ACAD平面BCZ)=C￡),

所以EF//CD,

又因?yàn)镃D(Z平面EFGH,EFu平面EFGH,

所以CO〃平面EFG”

11.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)先由BC〃A。證明BC〃平面必。，再結(jié)合平面PBCCI平面B4￡>=/,由線面平行推出線線平行，即得證；

(2)取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE,可證明四邊形AMNE是平行四邊形，即MN//AE,由線線平行推線面平行,

即得證

【詳解】

(1)；uABC￡>

：.BC//AD,

又BCV平面PAD,AOu平面PAD

〃平面PAD.

又?平面PBCD平面PAD=l,

3Cu平面PBC

(2)如圖，取尸。的中點(diǎn)E,連接AE,NE,

則NE〃C￡>,且NE=^C￡>,

又AM“3,且AM=；C￡>,

.".NE//AM,且NE=4M.

?:四邊形AMNE是平行四邊形..：MN〃AE

又：ZEu平面PAD,MNO平面PAD,

.：MN〃平面PAD.

12.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)存在；理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)線面平行性質(zhì)定理即可證明；

(2)取R4的中點(diǎn)F,連接EE,BF,利用中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及線面平行的判斷定理即可證

明；

(3)取AD中點(diǎn)N,連接CN,EN,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可證明.

【詳解】

證明：(1)在四棱錐尸一A3CD中，8c〃平面PA。，8Cu平面48C3,

平面ABC。n平面曰￡>=">,

BC//AD：

(2)取以的中點(diǎn)尸，連接EF,BF,

是PD的中點(diǎn)，

EFHAD,EF=-AD,

2

又由(1)可得BC〃AD,BC=-AD,

2

：.BC//EF,BC=EF,

四邊形BCEF是平行四邊形，

CE//BF,

平面平面R45,

CE■〃平面%

(3)取AD中點(diǎn)N,連接CN,EN,

；E,N分別為尸。，AD的中點(diǎn)，

EN//PA,

「硒0平面PAu平面

EN〃平面PAB,

又由（2）可得CE〃平面網(wǎng)，CEREN=E,

：.平面CEN〃平面上4B,

?.?例是慮上的動(dòng)點(diǎn)，ANu平面CEN,

MN〃平面PAB,

；?線段AO上存在點(diǎn)N,使MN〃平面

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行、線線平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力，是

中檔題.

13.C

【解析】

【分析】

利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合空間圖形構(gòu)造反例，依次判斷即可

【詳解】

對(duì)于A,如圖①，此時(shí)〃與a相交，故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于B,如圖②，此時(shí)相，〃是異面直線，而〃與a平行，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于C,如果nila,則，"〃"或者/n,”異面，又”共面，那么/“〃”，故選項(xiàng)C正確

對(duì)于D,如圖③，，〃與〃相交，故選項(xiàng)D不正確.

故選：C

圖①圖②圖③

14.D

【解析】

【分析】

A,D選項(xiàng)考查線面平行的判斷，A選項(xiàng)缺少條件，D選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)是線面平行推線線平行，需要借助另外一個(gè)

面；C選項(xiàng)中，平行于同一個(gè)面的兩條線沒(méi)有特定的位置關(guān)系

【詳解】

選項(xiàng)A中，由a〃匕推出“平行于經(jīng)過(guò)6的任意一個(gè)平面，需要增加一個(gè)條件，即。不在b所在的面內(nèi)，A選項(xiàng)沒(méi)有

這一限制條件，所以A錯(cuò)誤

選項(xiàng)B中，alia,au0,a[}/3=b,則。//d所以不是平行于面內(nèi)所有的線，只能平行于面面的交線，所以B

錯(cuò)誤

選項(xiàng)C中，兩條直線分別平行于面，這兩條直線的位置關(guān)系是任意的，不能推出平行，所以C錯(cuò)誤

選項(xiàng)D為證明線面平行的判定定理，條件充分，正確

故選：D

15.C

【解析】

【分析】

對(duì)選項(xiàng)A,B,D,借助長(zhǎng)方體即可判斷A,B,D錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)C,利用線面平行的性質(zhì)即可判斷C正確.

【詳解】

對(duì)選項(xiàng)A,如圖所示：

在長(zhǎng)方體中，滿(mǎn)足m//c,mJIn,此時(shí)"ua,故A錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)B,如圖所示：

在長(zhǎng)方體中，滿(mǎn)足m//a,nila,此時(shí)〃，?"相交，故B錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得到C正確.

對(duì)選項(xiàng)D,如圖所示:

在長(zhǎng)方體中，滿(mǎn)足m〃a,"ua,此時(shí)〃相交，故D錯(cuò)誤.

故選：C

16.B

【解析】

根據(jù)PQMN是正方形，利用線面平行的判定定理、性質(zhì)定理，即可判斷A、C,。的正誤，利用三角形相似及題干

條件，即可判斷B的正誤，即可得答案.

【詳解】

因?yàn)榻孛鍼QMN是正方形，

所以PQ〃MN,QM//PN,

則PQ〃平面ACD,QW〃平面BDA,

所以PQ〃AC,QM//BD,

由尸QLQM,可得AC_L8￡>,故A正確；

由PQ〃AC,可得AC〃截面PQMN,故C正確；

由BD//PN,所以NMPM或其補(bǔ)角）是異面直線PM與BD所成的角，

又PQMN是正方形,ZMPN=45°,故。正確；

由上面可知，BD//PN,MN//AC.

,PNANMNDN

所以茄=記商=布’

而AN手DN,PN=MN,

所以BDMC,故B錯(cuò)誤.

故選：B.

17.A

【解析】

連接AC交80于0,連接M。，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得24//MO,即可得到空=粵=!，即可求解.

COMC2

【詳解】

連接AC交8。于。，連接如圖：

J/

底面ABC。為菱形，。為A。的中點(diǎn)，所以AAQO與相似，

AOAQ

~CO~'BC~2"

因?yàn)槠矫鍹Q8,PAu平面P4C,平面PAC與平面MQ8交線為,

根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知：PAI/MO,

-ciAOPM1

在"AC中，方=荻=展

PM=-MC,

2

即舊.

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)線面平行的性質(zhì)得線線平行，根據(jù)平行關(guān)系求解線段的比例關(guān)系.

18.C

【解析】

根據(jù)三角形的中位線證得OMUPD,由此證得//平面PCD,OM〃平面PZM.根據(jù)QM與平面9、平面PBC

有公共點(diǎn)，判斷④⑤錯(cuò)誤.

【詳解】

矩形ABC。的對(duì)角線AC與交于點(diǎn)。，所以。為BO的中點(diǎn)，在△P3D中，M是總的中點(diǎn)，所以QM是中位線,

故QW//PD.又QWz平面PC。，OWN平面尸D4,

所以〃平面PCQ,且。0//平面/YM.

因?yàn)辄c(diǎn)M在網(wǎng)上，所以。歷與平面P明、平面PBC相交，所以④⑤錯(cuò)誤.

故正確的結(jié)論為①②③，共有3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線線平行、線面平行的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.B

【解析】

【分析】

根據(jù)空間中直線間的位置關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

①錯(cuò)誤，兩條直線可以異面；

②正確，平行的傳遞性；

③錯(cuò)誤，和另一條直線可以相交也可以異面；

④正確，平行的傳遞性.

故選：B.

20.A

【解析】

利用平面的公理直接判斷求解.

【詳解】

A不是公理，

在8中，由公理三知：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線，故B是公

理.

在C中，由公理一知：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)，故C是公理；

在。中，由平行公理得：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，故。是公理；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面的公理的判斷，考查平面的基本性質(zhì)及其推論等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題.

21.B

【解析】

【分析】

先判斷四邊形EFGH的形狀，再去判斷線面是否平行即可解決.

【詳解】

△ABQ中，AE：EB^AF：FD=\：4,則S.EF=-BD

△BCQ中，BH=CH,DG=CG,則”G〃BO,且=

2

則EF//HG,HG>EF,則四邊形EFGH是梯形.故選B.

下面看四個(gè)平行的判斷是否正確.

BD//EF,EF\平面EFGH,3。?平面EFGH,則BDU平面EFGH.判斷正確；

BD//EF,BDI平面BCD,EF平面BCD,則EFH平面BCD判斷正確；

HG//EF,EFI平面平面則4G〃平面ABZ).判斷正確；

梯形EFG/7中，EF//HG,HG>EF,"E與GF的延長(zhǎng)線會(huì)交于一點(diǎn)，則直線E”與平面AOC的位置關(guān)系為相交.

故選：B

22.B

【解析】

【分析】

根據(jù)異面直線的判定定理，直線與平面平行的判定定理，四點(diǎn)共面的判定，結(jié)合四棱柱的性質(zhì)逐一判定即可.

【詳解】

BD’u面ABQ,ACc面AiBDt,所以AC與8。是異面直線，A錯(cuò);

因?yàn)锳4//B與，440面8片。，BB^u面BBR,所以面58口，B正確；

BRu面BB、D,,BCD面88a=4，B3B。、,所以與BR是異面直線，C錯(cuò)；

如圖所示，A,C,。三點(diǎn)在面4CR上，8Q與面ACQ相交，所以A,C,用，R四點(diǎn)不共面，D錯(cuò).

故選：B.

23.A

【解析】

【分析】

由蕓=W，可推出EF〃AC,再根據(jù)線面平行的判定可得出答案.

EAFC

【詳解】

..DEDF

,~EA~~FC

：.EF〃AC

又：ACu平面ABC,EF<Z平面ABC.

EF〃平面ABC.

故選：A

24.B

【解析】

【分析】

證明OM//PD,即可證明②③正確；Me平面PBC,故①錯(cuò)誤，Me平面PAB,故④錯(cuò)誤.

【詳解】

對(duì)于①，Me平面P8C,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，由于。為30的中點(diǎn)，M為尸8的中點(diǎn)，貝IJQW//P。，平面PC￡>,平面PCE>,則OM//平

面PCD,故②正確；

對(duì)于③，由于QM//PD,OMN平面PDu平面PAD,則0M//平面PAO,故③正確；

對(duì)于④，由于Me平面2鉆，故④錯(cuò)誤.

故選：B

25.AC

【解析】

【分析】

由等角定理可判斷A、B的真假；舉反例可判斷C的真假；由平行公理可判斷D的真假.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：由等角定理可知B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，這兩個(gè)角的關(guān)系不確定，既可能相等也可能互補(bǔ)，也

可能既不相等，也不互補(bǔ).反例如圖，在立方體中，4RG與48G滿(mǎn)足AQJAB,CQJ.GB,但是幺。6=］，

7T

二者不相等也不互補(bǔ).故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故選項(xiàng)D正確.

故選：AC.

26.AB

【解析】

【分析】

根據(jù)圖形及題目中的條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由題意知：PQ//AC,QM//BD,PQ1QM,所以ACLB。，故A正確；

由PQ〃4C,/｝。＜=平面尸。"7,AC(z平面PQMN,故AC〃平面PQMN.

故選：AB.

27.BD

【解析】

【分析】

取的中點(diǎn)連接GM,BD,可得BD//GM,由GM與EG相交判定A錯(cuò)誤；連接AC,由面面平行的判定

及性質(zhì)判斷B；利用等體積法求體積判斷C；求出P點(diǎn)的軌跡判斷D.

【詳解】

對(duì)于A,取Bq的中點(diǎn)連接GM,BD,由正方體的性質(zhì)可知，BD//GM

而GM與EG相交，故3D與EG不平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,連接AC,因?yàn)閒G〃BC,平面ABC,3Cu平面RBC

所以尸G//平面RBC,同理尸E〃平面ABC,因?yàn)镕GIFE=F

所以平面FGE〃平面RBC,因?yàn)锽Ru平面R8C

所以BDJ/平面EFG,故B正確；

對(duì)于C,由等體積法可得：匕3./=匕-g*=；5力0限AE

=1x(ix2xl)xl=1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由前面可得平面/GE//平面A8C,即點(diǎn)尸的軌跡為線段BC,故D正確.

故選：BD

28.BC

【解析】

【分析】

根據(jù)正方體的性質(zhì)一一判斷即可；

【詳解】

解：在正方體ABCO-ABCQI中DQ〃GC,則AF與GC不垂直，從而直線與直線AF不垂直，故A錯(cuò)誤；

取BB、的中點(diǎn)M,連接\M、GM,則A.M//AE,GM//EF,易證平面\GMII平面AEF,從而直線\G與平面AEF

平行，故B正確；

連接AR,D.F,BG，因?yàn)锽C"EF,BCJiAD、,所以AR//EF,故四邊形4RFE為平面AE尸截正方體的截面，

顯然四邊形ARFE為等腰梯形，故C正確；

假設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等，即平面AEF平分CG,則平面AEF必過(guò)CG的中點(diǎn)，連接CG交EF于點(diǎn)0,

易知。不是CG的中點(diǎn)，故假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤；

故選：BC

Di

29.ACD

【解析】

【分析】

由旋轉(zhuǎn)前后底面平行，幾何體高不變，底面邊長(zhǎng)不變，外接球不變依次判斷即可.

【詳解】

由&BJ/AB,可得A/J/平面ABC,所以A正確.；

作平面A8C,垂足為“，連結(jié)AH、S,則AH=乎，B?H=當(dāng)

所以AA,=^AH2+B2H2=2,所以B錯(cuò)；

由A、B選項(xiàng)的上述判斷過(guò)程可知四邊形AB&Ba為菱形,

又兒生，平面B2AH,所以A2B21AB2,

故四邊形AB&B2為正方形，C正確；

因?yàn)樾D(zhuǎn)前與旋轉(zhuǎn)后幾何體的外接球不變，故D正確.

故選:ACD.

30.③

【解析】

【分析】

①利用平面的位置關(guān)系判斷；②利用直線與直線的位置關(guān)系判斷；③利用線面平行的性質(zhì)定理判斷.

【詳解】

①若/與機(jī)為異面直線，lua,mu0,則。//4或a與4相交；

②若。//在，lua,muf),則///加或直線/與m異面；

③因?yàn)閜r\y=m,IIIy,所以機(jī)///,同理可證〃/〃，所以〃?//〃.

故答案為：③

…20…2

31.—##2—

99

【解析】

【分析】

利用線面平行的性質(zhì)可得BD//EG,然后利用平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)求解

【詳解】

因?yàn)橹本€a〃平面口,點(diǎn)8,C,Dea,平面舫力c平面a=EG,

所以80〃EG,

所以生="=”

BDACAF+FC'

故答案為：y

32.②

【解析】

【分析】

由線面的位置關(guān)系可判斷①，利用線面平行的判定定理可判斷②，再利用線線的位置關(guān)系判斷③.

【詳解】

直線”在平面a外，包含直線。與a相交、直線”與a平行兩種情況，①不正確；

由直線與平面平行的判定定理知②正確；

③中。與a內(nèi)的直線可能平行，相交、異面，③不正確.

故答案為：②

33.④

【解析】

【分析】

利用線面平行的判定定理及性質(zhì)分析判斷即可

【詳解】

對(duì)于①，當(dāng)直線/平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線時(shí)，/〃?；?在平面a內(nèi)，所以①錯(cuò)誤,

對(duì)于②，直線a在平面a外，則?！╝或a與平面a相交，所以②錯(cuò)誤，

對(duì)于③，若直線a〃6,bua,則“〃a或。在平面a內(nèi)，所以③錯(cuò)誤，

對(duì)于④，若直線。〃從bua,則由線面平行的性質(zhì)可得。平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，所以④正確，

故答案為：④

34.①②③

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，EF//BD//HG,EF=yBD,HG=^-BD,進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理即可得答案.

【詳解】

解：在△A8D中，AE:EB=AF:FD=\:5,

：.EF//BD,EF，BD,

6

又：EFu平面EFG”，平面EFG”，BDu平面8C。，平面BCD

BD〃平面EFGH；所〃平面BCD；

"：H,G分別為8C,CO的中