第22節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖（原卷版）

第22節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖基礎(chǔ)知識要夯實1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR33．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖．[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]1．正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形．2．正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫作正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心．3．空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，主視圖和左視圖的“高平齊”，主視圖和俯視圖的“長對正”，左視圖和俯視圖的“寬相等”．其中，主視圖、左視圖的高就是空間幾何體的高，主視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，左視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度．要盡量按照這個規(guī)則畫空間幾何體的三視圖．基本技能要落實考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個面都是直角三角形的四面體；④棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號是________.【方法技巧】1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例.2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.【跟蹤訓(xùn)練】1.下列命題正確的是()A.兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖【例2】安徽省黃山市屯溪第一中學(xué)2020-2020學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理)試題】水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為()A． B． C． D．【方法技巧】1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝S原圖形.【跟蹤訓(xùn)練】如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A.2＋ B. C. D.1＋考點(diǎn)三空間幾何體的三視圖【例3】在一個幾何體的三視圖中，主視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的左視圖可以為 【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是 ()達(dá)標(biāo)檢測要扎實一、單選題1．已知一個側(cè)棱均相等的三棱錐的三視圖(如圖)，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸(單位：)，可得這個三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的棱長為A． B． C． D．3．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，且是正三角形，若點(diǎn)P是上底面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為（

）（注：以垂直于平面的方向為正視圖方向）A． B． C．1 D．4．若一個平面圖形的斜二測直觀圖是一個邊長為2的正方形（如圖），則原圖的周長為（）A． B．16 C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為V，該幾何體所有棱的棱長之和為L，則（

）A． B．C． D．6．如圖，一個水平放置的圖形的直觀圖是一個等腰直角三角形，斜邊長，那么原平面圖形的面積是（）A．2 B． C． D．7．某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．8．水平放置的有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是邊長為2的正，則的面積是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法不正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺B．圓柱的任意兩條母線互相平行C．四棱柱是平行六面體D．菱形的直觀圖是菱形10．如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，是中邊上的一點(diǎn)，且，又軸，那么原的、、三條線段中（

）A．最長的是B．最長的是C．最短的是D．最短的是11．利用斜二測畫法得到的下列結(jié)論中正確的是（

）A．三角形的直觀圖是三角形 B．正方形的直觀圖是正方形C．菱形的直觀圖是菱形 D．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形12．三棱錐的三視圖如圖，圖中所示頂點(diǎn)為棱錐對應(yīng)頂點(diǎn)的投影，正視圖與側(cè)視圖是全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為的正方形，則（）A．該棱錐各面都是直角三角形 B．直線與所成角為C．點(diǎn)到底面的距離為 D．該棱錐的外接球的表面積為三、填空題13．已知一三角形ABC用斜二測畫法畫出的直觀圖是面積為的正三角形(如圖)，則三角形ABC中邊長與正三角形的邊長相等的邊上的高為______．14．一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是_________．15．如圖，是平面四邊形的直觀圖，若是邊長為2的正方形，則四邊形的周長為________.16．已知某圓錐被一過該圓錐頂點(diǎn)的平面所截得到的幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周都在球的球面上，則球的表面積為_______________________．四、解答題17．已知一長方體的底面是邊長為3cm的正方形，高為4cm，試用斜二測畫法畫出此長方體的直觀圖．圖（1）

圖（2）18．水平放置的平面圖形與直觀圖的面積間有何關(guān)系?19．用斜二測畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時，判斷下列命題的真假.（1）三角形的直觀圖還是三角形；（2）平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形；（3）正方形的直觀圖還是