2025屆浙江省“七彩陽光”高三數(shù)學第一學期期末預測試題含解析

2025屆浙江省“七彩陽光”高三數(shù)學第一學期期末預測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設為虛數(shù)單位，為復數(shù)，若為實數(shù)，則（）A． B． C． D．2．在中，點為中點，過點的直線與，所在直線分別交于點，，若，，則的最小值為（）A． B．2 C．3 D．3．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知正四面體的棱長為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．5．設復數(shù)滿足，在復平面內(nèi)對應的點為，則不可能為（）A． B． C． D．6．若，則的虛部是A．3 B． C． D．7．設函數(shù)滿足，則的圖像可能是A． B．C． D．8．如圖，在正方體中，已知、、分別是線段上的點，且.則下列直線與平面平行的是（）A． B． C． D．9．計算等于()A． B． C． D．10．若復數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-511．已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)12．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）如圖是一個算法的流程圖，若輸出的值是，則輸入的值為____________．14．觀察下列式子，，，，……，根據(jù)上述規(guī)律，第個不等式應該為__________．15．如圖，是圓的直徑，弦的延長線相交于點垂直的延長線于點．求證：16．函數(shù)滿足，當時，，若函數(shù)在上有1515個零點，則實數(shù)的范圍為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.（1）寫出的極坐標方程和的直角坐標方程；（2）已知點、的極坐標分別為和，直線與曲線相交于，兩點，射線與曲線相交于點，射線與曲線相交于點，求的值.18．（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，其短半軸長為1，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上，且．（1）證明：直線與圓相切；（2）設與橢圓的另一個交點為，當?shù)拿娣e最小時，求的長．19．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值1，證明：（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）在如圖所示的多面體中，四邊形是矩形，梯形為直角梯形，平面平面，且，，.（1）求證：平面.（2）求二面角的大小.21．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，需引進一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇，生產(chǎn)線①：有A，B兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為15萬元；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②：有a，b兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04，0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為14萬元；若a工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加8萬元；若b工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元；若a，b兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加13萬元.（1）若選擇生產(chǎn)線①，求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率；（2）為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本，你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線？請說明理由.22．（10分）已知拋物線：的焦點為，過上一點（）作兩條傾斜角互補的直線分別與交于，兩點，（1）證明：直線的斜率是－1；（2）若，，成等比數(shù)列，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

可設，將化簡，得到，由復數(shù)為實數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設，則.由題意有，所以.故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的模長、除法運算，由復數(shù)的類型求解對應參數(shù)，屬于基礎題2、B【解析】

由，，三點共線，可得，轉化，利用均值不等式，即得解.【詳解】因為點為中點，所以，又因為，，所以．因為，，三點共線，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為1．故選：B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.3、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進行判斷.【詳解】如圖，“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【點睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.4、A【解析】

如圖設平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結合已知求出的值.【詳解】如圖設平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因為為重心，因此，則，因此，因此，則，故選A.【點睛】本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.5、D【解析】

依題意，設，由，得，再一一驗證.【詳解】設，因為，所以，經(jīng)驗證不滿足，故選：D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的概念、復數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎題.6、B【解析】

因為，所以的虛部是.故選B．7、B【解析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì)．由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B．8、B【解析】

連接，使交于點，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可得解．【詳解】如圖，連接，使交于點，連接、，則為的中點，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．9、A【解析】

利用誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值，結合對數(shù)運算，求得所求表達式的值.【詳解】原式.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.10、C【解析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．11、C【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進而可知在R上為增函數(shù)，轉化條件得，解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數(shù).又，所以，解得.故選：C.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.12、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動，基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為，故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】

依題意，當時，由，即，解得；當時，由，解得或(舍去)．綜上，得或．14、【解析】

根據(jù)題意，依次分析不等式的變化規(guī)律，綜合可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，對于第一個不等式，，則有，對于第二個不等式，，則有，對于第三個不等式，，則有，依此類推：第個不等式為：，故答案為．【點睛】本題考查歸納推理的應用，分析不等式的變化規(guī)律．15、證明見解析．【解析】試題分析：四點共圓，所以，又△∽△，所以，即，得證．試題解析：A．連接，因為為圓的直徑，所以，又，則四點共圓，所以．又△∽△，所以，即，∴．16、【解析】

由已知，在上有3個根，分，，，四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知，的周期為4，且至多在上有4個根，而含505個周期，所以在上有3個根，設，，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，.若時，在上無根，在必有3個根，則，即，此時；若時，在上有1個根，注意到，此時在不可能有2個根，故不滿足；若時，要使在有2個根，只需，解得；若時，在上單調(diào)遞增，最多只有1個零點，不滿足題意；綜上，實數(shù)的范圍為.故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）.【解析】試題分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，進而利用即可化為極坐標方程，同理可得曲線C2的直角坐標方程；

（2）由過的圓心，得得，設，，代入中即可得解.試題解析：（1）曲線的普通方程為，化成極坐標方程為曲線的直角坐標方程為（2）在直角坐標系下，，，恰好過的圓心，

∴由得，是橢圓上的兩點，在極坐標下，設，分別代入中，有和∴，則，即18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）分斜率為0，斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設的方程為，可求解得到，，可得到的距離為1，即得證；（2）表示的面積為，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點在x軸上，且，所以．所以橢圓的方程為．由點在直線上，且知的斜率必定存在，當?shù)男甭蕿?時，，，于是，到的距離為1，直線與圓相切．當?shù)男甭什粸?時，設的方程為，與聯(lián)立得，所以，，從而．而，故的方程為，而在上，故，從而，于是．此時，到的距離為1，直線與圓相切．綜上，直線與圓相切．（2）由（1）知，的面積為，上式中，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以面積的最小值為1．此時，點在橢圓的長軸端點，為．不妨設為長軸左端點，則直線的方程為，代入橢圓的方程解得，即，，所以．【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和圓的位置關系判斷，面積的最值問題，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算能力，屬于較難題.19、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由在處取得極值1，可得且.解出，構造函數(shù)，分析其單調(diào)性，結合，即可得到的范圍，命題得證；

（2）由分離參數(shù)，得到恒成立，構造函數(shù)，求導函數(shù)，再構造函數(shù)，進行二次求導.由知，則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知有唯一零點，且.由此判斷出時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，則，即.由得，再次構造函數(shù)，求導分析單調(diào)性，從而得，即，最終求得，則.【詳解】解：（1）由題知，∵函數(shù)在，處取得極值1，，且，，，令，則為增函數(shù)，，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，則令，則,，，在上單調(diào)遞增，且，有唯一零點，且，當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增.，由整理得，令，則方程等價于而在上恒大于零，在上單調(diào)遞增，.，∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的極值，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點存在定理，證明不等式，解決不等式恒成立問題.其中多次構造函數(shù)，是解題的關鍵，屬于綜合性很強的難題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線面垂直性質(zhì)，可證明；由所給線段關系，結合勾股定理逆定理，可證明，進而由線面垂直的判定定理證明平面.（2）建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，由空間向量法求得兩個平面夾角的余弦值，結合圖形即可求得二面角的大小.【詳解】（1）證明：∵平面平面ABEG，且，∴平面，∴，由題意可得，∴，∵，且，∴平面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面的法向量是，則，令，，由（1）可知平面的法向量是，∴，由圖可知，二面角為鈍二面角，所以二面角的大小為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定，面面垂直及線面垂直的性質(zhì)應用，空間向量法求二面角的大小，屬于中檔題.21、（1）0.0294.（2）應選生產(chǎn)線②.見解析【解析】

（1）由題意轉化條件得A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障，利用相互獨立事件的概率公式即可得解；（2）分別算出兩個生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期望，進而求出兩個生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值，比較期望值即可得解.【詳解】（1）若選擇生產(chǎn)線①，生產(chǎn)成本恰好為18萬元，即A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障，故所求的概率為.（2）若選擇生產(chǎn)線①，設增加的生產(chǎn)成本為(萬元)，則的可能取值為0，2，3，5.，，,,所以萬元；故選生產(chǎn)線①的生產(chǎn)成本期望值為(萬元).若選生產(chǎn)線②，設增加的生產(chǎn)成本為（萬元），則的可能取值為0，8，5，13.，，，，所以，故