高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練71事件的獨(dú)立性條件概率與全概率公式

七十一事件的獨(dú)立性、條件概率與全概率公式(時間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)若P(AB)=19,P(A)=23,P(B)=13,則事件A與B的關(guān)系是A.互斥 B.對立C.相互獨(dú)立 D.既互斥又相互獨(dú)立【解析】選C.因?yàn)镻(A)=1P(A)=123=13,所以P(A)P(B)=19,所以P(AB)=P(A)P(B)≠0,所以事件A與B相互獨(dú)立,事件A與2.(5分)(2023·泉州模擬)某運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率均相等,若三次射擊中,至少有一次擊中目標(biāo)的概率為6364,則射擊一次,擊中目標(biāo)的概率為 (A.78 B.34 C.14 【解析】選B.設(shè)該運(yùn)動員射擊一次,擊中目標(biāo)的概率為p,該運(yùn)動員三次射擊中,至少有一次擊中目標(biāo)的概率為1(1p)3=6364,解得p=33.(5分)小王每天在6:30至6:50出發(fā)去上班,其中在6:30至6:40出發(fā)的概率為0.3,在該時間段出發(fā)上班遲到的概率為0.1;在6:40至6:50出發(fā)的概率為0.7,在該時間段出發(fā)上班遲到的概率為0.2,則小王某天在6:30至6:50出發(fā)上班遲到的概率為 ()A.0.13 B.0.17 C.0.21 D.0.3【解析】選B.由題意,在6:30至6:50出發(fā)上班遲到的概率為0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.4.(5分)設(shè)甲乘汽車、動車前往目的地的概率分別為0.4,0.6,汽車和動車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.7,0.9,則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為 ()A.0.78 B.0.8 C.0.82 D.0.84【解析】選C.設(shè)事件A表示“甲正點(diǎn)到達(dá)目的地”,事件B表示“甲乘動車到達(dá)目的地”,事件C表示“甲乘汽車到達(dá)目的地”,由題意知P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A|B)=0.9,P(A|C)=0.7.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.6×0.9+0.4×0.7=0.54+0.28=0.82.5.(5分)(多選題)甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球、3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機(jī)取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下列結(jié)論中正確的是 ()A.P(B)=2B.P(B|A1)=5C.事件B與事件A1相互獨(dú)立D.A1,A2,A3是兩兩互斥的事件【解析】選BD.由題意知,A1,A2,A3是兩兩互斥的事件,故D正確;P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(A3)=310,P(B|A1)=5P(B|A2)=411,P(B|A3)=4而P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=6.(5分)(多選題)(2023·常州模擬)在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時,收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1α;發(fā)送1時,收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1).下列說法正確的為()A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1α)(1β)2B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1β)2C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1β)2+(1β)3D.當(dāng)0<α<0.5時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【解析】選ABD.對于A.依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積,它們相互獨(dú)立,所以所求概率為(1β)(1α)(1β)=(1α)(1β)2,A正確;對于B,三次傳輸,發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件,是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積,它們相互獨(dú)立,所以所求概率為(1β)·β·(1β)=β(1β)2,B正確;對于C,三次傳輸,發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1、1、0,1、0、1,0、1、1和1、1、1的事件和,它們互斥,由選項(xiàng)B知,所求的概率為C32β(1β)2+(1β)3=(1β)2(1+2β),C對于D,由選項(xiàng)C知,三次傳輸,發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(1α)2(1+2α),單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P'=1α,而0<α<0.5,因此PP'=(1α)2(1+2α)(1α)=α(1α)(12α)>0,即P>P',D正確.7.(5分)某醫(yī)生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的條件下,他在周三晚上值班的概率為________.

【解析】設(shè)事件A為“周二晚上值班”,事件B為“周三晚上值班”,則P(A)=C61CP(AB)=1C72=121,故P(B|A)=答案:18.(5分)某射擊運(yùn)動員每次擊中目標(biāo)的概率為45,現(xiàn)連續(xù)射擊兩次(1)已知第一次擊中,則第二次擊中的概率是________;

(2)在僅擊中一次的條件下,第二次擊中的概率是________.

【解析】(1)設(shè)第一次擊中為事件A,第二次擊中為事件B,則P(A)=45由題意知,第一次擊中與否對第二次沒有影響,因此已知第一次擊中,則第二次擊中的概率是45(2)設(shè)僅擊中一次為事件C,則僅擊中一次的概率為P(C)=C21×45×1在僅擊中一次的條件下,第二次擊中的概率是P(B|C)=15×4答案:(1)45(2)9.(10分)小王某天乘火車從重慶到上海,若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率;(2)這三列火車恰好有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率;(3)這三列火車至少有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率.【解析】用A,B,C分別表示這三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件,則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,所以P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1.(1)由題意得A,B,C之間相互獨(dú)立,所以恰好有兩列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為P1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.(2)恰好有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.(3)三列火車至少有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為P3=1P(ABC)=1P(A)P(B)P(C)=10.2×0.3×0.1=0.994.【能力提升練】10.(5分)甲、乙兩名選手進(jìn)行象棋比賽,已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,若采用三局兩勝制,則甲最終獲勝的概率為 ()A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648【解析】選D.由題意可得甲最終獲勝有兩種情況:一是前兩局甲獲勝,概率為0.6×0.6=0.36,二是前兩局甲一勝一負(fù),第三局甲勝,概率為C21×0.6×0.4×0.6=0.288,所以甲最終獲勝的概率P=0.36+0.288=0.648.11.(5分)將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①,②,③三個村莊進(jìn)行義診活動,每個村莊至少派1名醫(yī)生,A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”;B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”;C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”,則 ()A.事件A與B相互獨(dú)立B.事件A與C相互獨(dú)立C.P(B|A)=5D.P(C|A)=5【解析】選D.將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①,②,③三個村莊進(jìn)行義診包含C42A33事件A含有的樣本點(diǎn)個數(shù)為A33+則P(A)=1236=13,同理P(B)=P(C)=事件AB含有的樣本點(diǎn)個數(shù)為A2則P(AB)=236=1事件AC含有的樣本點(diǎn)個數(shù)為C22+C21C21=5,對于A,P(A)P(B)=19≠P(AB),即事件A與B不相互獨(dú)立,故A不正確對于B,P(A)P(C)=19≠P(AC),即事件A與C不相互獨(dú)立,故B不正確對于C,P(B|A)=P(AB)P(A)對于D,P(C|A)=P(AC)P(A)12.(5分)(2023·泉州模擬)某校老師要求參賽學(xué)生從星期一到星期四每天學(xué)習(xí)2個漢字及正確注釋,每周五對一周內(nèi)所學(xué)漢字隨機(jī)抽取4個進(jìn)行檢測(一周所學(xué)的漢字每個被抽到的可能性相同),若已知抽取4個進(jìn)行檢測的字中至少有一個字是最后一天學(xué)習(xí)的,則所抽取的4個進(jìn)行檢測的字中恰有3個是后兩天學(xué)習(xí)過的漢字的概率為________.

【解析】設(shè)進(jìn)行檢測的4個漢字中至少有一個是最后一天學(xué)習(xí)的為事件A,恰有3個是后兩天學(xué)習(xí)過的漢字為事件B,則事件A所包含的基本事件數(shù)n(A)=C21×C63+事件B所包含的基本事件數(shù)n(B)=C41×C43=16,所以P(B|A)=n(答案:1613.(5分)某電視臺舉辦知識競答闖關(guān)比賽,每位選手闖關(guān)時需要回答三個問題.第一個問題回答正確得10分,回答錯誤得0分;第二個問題回答正確得20分,回答錯誤得0分;第三個問題回答正確得30分,回答錯誤得20分.規(guī)定每位選手回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關(guān)成功.若某位選手回答前兩個問題正確的概率都是23,回答第三個問題正確的概率是12,且各題回答正確與否相互之間沒有影響,則該選手僅回答正確兩個問題的概率是________;該選手闖關(guān)成功的概率是【解析】該選手僅回答正確兩個問題的概率P1=23×23×(112)+23×(123)×12+(123)該選手要闖關(guān)成功,則只有第3個問題回答正確或者第1,3兩個問題回答正確或者第2,3兩個問題回答正確或者三個問題都回答正確,所以闖關(guān)成功的概率為(123)2×12+23×(123)×12+(123)×23×12+答案:4914.(10分)某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).在試產(chǎn)初期,該款芯片的生產(chǎn)有四道工序,前三道工序的生產(chǎn)互不影響,第四道是檢測評估工序,包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中,前三道工序的次品率分別為P1=110,P2=19,P3=(1)求該款芯片生產(chǎn)在進(jìn)入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰,合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行人工抽檢.在芯片智能自動檢測顯示合格率為90%的條件下,求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時,抽檢一個芯片恰為合格品的概率.【解析】(1)該款芯片生產(chǎn)在進(jìn)入第四道工序前的次品率P=1(1110)(119)(118)(2)設(shè)“該款芯片智能自動檢測合格”為事件A,“人工抽檢合格”為事件B,則P(A)=910,P(AB)=1310=則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時,抽檢一個芯片恰為合格品的概率P(B|A)=P(AB)P(15.(10分)兩臺車床加工同樣的零件,第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03,第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02.加工出來的零件放在一起,并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是廢品,求它是第二臺車床加工的概率.【解析】設(shè)Ai表示“第i臺車床加工的零件(i=1,2)”,B表示“出現(xiàn)廢品”,C表示“出現(xiàn)合格品”.(1)P(C)=P(A1C∪A2C)=P(A1C)+P(A2C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=23×(10.03)+13×(10.02)≈0.(2)P(A2|B)=P(A2B)P(B【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)(多選題)紅、黃、藍(lán)被稱為三原色,選取其中任意幾種顏色調(diào)配,可以調(diào)配出其他顏色.已知同一種顏色混合顏色不變,等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色;等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫色;等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)顏料各兩瓶,甲從六瓶顏料中任取兩瓶,乙再從余下四瓶顏料中任取兩瓶,兩人分別進(jìn)行等量調(diào)配,A表示事件“甲調(diào)配出紅色”,B表示事件“甲調(diào)配出綠色”;C表示事件“乙調(diào)配出紫色”,則下列說法正確的是 ()A.事件A與事件C是獨(dú)立事件B.事件A與事件B是互斥事件C.P(C|A)=0D.P(B)=P(C)【解析】選BCD.根據(jù)題意,事件A為