湖南省多校高三下學(xué)期4月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024屆高三4月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（試題卷）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試題卷上無(wú)效.3.本試題卷共7頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.如缺頁(yè)，考生須及時(shí)報(bào)告監(jiān)考老師，否則后果自負(fù).4.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.姓名______.準(zhǔn)考證號(hào)______.祝你考試順利！機(jī)密★啟用前一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的展開式中，的系數(shù)是（）A.160 B. C.220 D.【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理直接列式求出的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)為.故選：B2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解集合中的不等式，得到這兩個(gè)集合，再由交集的定義求解.【詳解】不等式解得，不等式，即，解得，可得.故選：D.3.若復(fù)數(shù)滿足，則可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由此寫出，根據(jù)與的關(guān)系得到與的關(guān)系，從而選出正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，即，即，故選：A4.原核生物大腸桿菌存在于人和動(dòng)物的腸道內(nèi)，在適宜的環(huán)境和溫度下會(huì)迅速繁殖導(dǎo)致腸道內(nèi)生態(tài)環(huán)境失衡從而引發(fā)腹瀉等癥狀，已知大腸桿菌是以簡(jiǎn)單的二分裂法進(jìn)行無(wú)性繁殖，在適宜的條件下分裂一次（1個(gè)變?yōu)?個(gè)）需要約24分鐘，那么在適宜條件下1個(gè)大腸桿菌增長(zhǎng)到1萬(wàn)個(gè)大腸桿菌至少需要約（）（參考數(shù)據(jù)：）A.4小時(shí) B.5小時(shí) C.6小時(shí) D.7小時(shí)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意列出方程，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合給定的特殊對(duì)數(shù)值處理即可.【詳解】設(shè)適宜條件下1個(gè)大腸桿菌增長(zhǎng)到1萬(wàn)個(gè)大腸桿菌大約需要分鐘，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，解得，所以大約需要小時(shí)，故在適宜條件下1個(gè)大腸桿菌增長(zhǎng)到1萬(wàn)個(gè)大腸桿菌至少需要6小時(shí).故選：C.5.已知直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直線與拋物線聯(lián)立方程組消去，由求出的值，由拋物線方程求其準(zhǔn)線方程.【詳解】依題意，聯(lián)立，消去得，則，由得，故拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.故選：C.6.在不斷發(fā)展的過(guò)程中，我國(guó)在兼顧創(chuàng)新創(chuàng)造的同時(shí)，也在強(qiáng)調(diào)已有資源的重復(fù)利用，廢棄資源的合理使用，如土地資源的再利用是其中的重要一環(huán).為了積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地計(jì)劃將如圖所示的四邊形荒地改造為綠化公園，并擬計(jì)劃修建主干路與.為更好的規(guī)劃建設(shè)，利用無(wú)人機(jī)對(duì)該地區(qū)俯視圖進(jìn)行角度勘探，在勘探簡(jiǎn)化圖中，平分，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)余弦定理及二倍角公式求得，根據(jù)的范圍即可得解.【詳解】設(shè)，則，設(shè)，則.故在中，由余弦定理可得，而，故，解得，在直角三角形中，為銳角，故，故.故選：A.7.將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中，每個(gè)凹槽放一個(gè)小球，則至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排列組合，先求出將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中的放法數(shù)，再求出至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的放法數(shù)，再利用古典概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】將編號(hào)為4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中，共有種放法，恰有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的有種放法，4個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的有1種放法，所以至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是，故選：B.8.使得不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】換元，利用二倍角公式和兩角和的余弦公式的逆用將題干不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式，解出t滿足的關(guān)系進(jìn)而排除得到正確選項(xiàng).【詳解】令，則，所以已知不等式化為.，故原不等式的解分兩段：①得，原不等式化為，即.②得，原不等式化為，即.四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值范圍分別為，當(dāng)時(shí)，由②不符合題意，排除A、B；當(dāng)時(shí)，由①不符合題意，排除D；時(shí)易驗(yàn)證滿足①，故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分9.已知直線，圓，則（）A.過(guò)定點(diǎn)B.圓與軸相切C.若與圓有交點(diǎn)，則的最大值為0D.若平分圓，則【答案】ABD【解析】【分析】利用直線方程與的取值無(wú)關(guān)，求解定點(diǎn)判A，利用直線與圓的位置關(guān)系判斷B，C,先發(fā)現(xiàn)直線必過(guò)圓心，后將圓心代入直線，求解參數(shù)，判斷D即可.【詳解】對(duì)A，整理直線的方程，得，令，解得，當(dāng)時(shí)，直線方程與的取值無(wú)關(guān)，又，解得，即必過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)B，整理圓的方程，得，易知圓心到軸的距離為，又，故得圓與軸相切，故B正確；對(duì)C，若與圓有交點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，可得，解得故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若平分圓，則必過(guò)圓心，易知圓心為，將代入直線的方程，得，解得，故D正確.故選：ABD.10.把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)（）A.B.直線與平面所成角的大小為C.平面與平面夾角的余弦值為D.四面體的內(nèi)切球的半徑為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由幾何法求解異面直線垂直、線面成角、面面成角和內(nèi)切球半徑即可.【詳解】如圖所示，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，記為中點(diǎn)，此時(shí)平面，因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，所以與不垂直，A錯(cuò)誤.對(duì)于B：直線和平面所成角即為，因?yàn)?，故，B正確.對(duì)于C：由于，取中點(diǎn)，則有，故為平面與平面所成角的平面角.則，C正確.對(duì)于D：設(shè)內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，由等體積法知，其中，，，故，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且在定義域上處處可導(dǎo)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)可判斷在單調(diào)遞增，即可判斷A，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求解在單調(diào)遞增，即可判斷BC,構(gòu)造，求導(dǎo)求解在單調(diào)遞減，即可判斷D.【詳解】由已知得，故，又因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，所以A錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，因此，即，B正確；由于，故，因此，C正確；構(gòu)造函數(shù)，則，而，故在單調(diào)遞減，因此，D錯(cuò)誤.故選:BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公比為2的等比數(shù)列滿足，則______.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】由題意可得，解得，故答案為：.13.函數(shù)的圖象在與處的切線斜率相同，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，可得，則，即可得出的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在與處的切線斜率相同，所以，，故有，即，則或，解得或，當(dāng)時(shí)，取最小值取得最小值，因?yàn)?，故的最小值?故答案為：.14.若函數(shù)，且的圖象與直線沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意可得方程在無(wú)解，即函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直接判斷，當(dāng)時(shí)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，當(dāng)時(shí)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，依題意只需，從而求出的取值范圍，再結(jié)合求出的范圍.【詳解】由題意可得方程在無(wú)解，將方程變形得，即函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，易得的定義域?yàn)?，僅在討論零點(diǎn)時(shí)舍去的情況；若時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在無(wú)零點(diǎn)，因此符合題意；當(dāng)時(shí)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，由于時(shí)，時(shí)，由零點(diǎn)存在性定理可知在必有、且只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，故只需令，當(dāng)時(shí)符合題意，因此，即，解得，則，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，則；當(dāng)時(shí)，，，故在區(qū)間必有零點(diǎn)，與所求不符.綜上，的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的極值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）極大值，極小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)解出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)第1問(wèn)的單調(diào)性求出極值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，令，解得或，令得或，令得，列表如下?30+0極小值極大值故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得的極大值為，極小值為.16.多樣性指數(shù)是生物群落中種類與個(gè)體數(shù)的比值.在某個(gè)物種數(shù)目為的群落中，辛普森多樣性指數(shù)，其中為第種生物的個(gè)體數(shù)，為總個(gè)體數(shù).當(dāng)越大時(shí)，表明該群落的多樣性越高.已知兩個(gè)實(shí)驗(yàn)水塘的構(gòu)成如下：綠藻衣藻水綿藍(lán)藻硅藻66666124365（1）若從中分別抽取一個(gè)生物個(gè)體，求兩個(gè)生物個(gè)體為同一物種的概率；（2）（i）比較的多樣性大??；（ii）根據(jù)（i）的計(jì)算結(jié)果，分析可能影響群落多樣性的因素.【答案】（1）（2）（i）的多樣性大于（ii）答案見解析【解析】【分析】（1）利用古典概型的求法可得答案；（2）根據(jù)給出求出，然后比較即可.【小問(wèn)1詳解】記事件為“兩個(gè)生物個(gè)體為同一物種”，則發(fā)生的概率為.【小問(wèn)2詳解】（i）由表可知所以，；即，故的多樣性大于；（ii）在（i）中兩群落物種數(shù)目相同，各物種數(shù)量不同，而中各物種數(shù)量均相同，即物種均勻度更大，分析可得物種均勻度也會(huì)影響群落多樣性.17.如圖所示，正四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，，平面與交于.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先通過(guò)，證，再通過(guò)平面，證，最后通過(guò)線面垂直判定定理即可證平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求二面角的余弦值即可.【小問(wèn)1詳解】連接，設(shè)，連接，有平面，由題意得，且,連接，，設(shè)，則，故在上，過(guò)作為垂足，在中，，故，因?yàn)?，所以，故，所以，所以，又平面，平面，，故平面，因?yàn)槠矫妫?又平面平面，故平面.【小問(wèn)2詳解】以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系可得，由（1）得平面，故平面的一個(gè)法向量為其中設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令可得設(shè)為二面角的平面角，則，由圖可知所求二面角為銳角，故二面角的余弦值為.18.已知橢圓，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，在點(diǎn)處的切線交于兩點(diǎn).（1）求直線的方程（用含的式子表示）；（2）若點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率和所過(guò)的點(diǎn)求出雙曲線的方程為，由點(diǎn)在第一象限，將雙曲線變形為，利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)處的切線方程.（2）直線與雙曲線聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離表示出面積，消元后由基本不等式求最大值.【小問(wèn)1詳解】焦點(diǎn)在軸上雙曲線的離心率為，則雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，由雙曲線過(guò)點(diǎn)，代入方程，解得雙曲線，點(diǎn)在上，有，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以可以將雙曲線變形為.求導(dǎo)有，當(dāng)時(shí)，，所以的方程為：，化簡(jiǎn)有.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，有，聯(lián)立，消去得，有，，，點(diǎn)到直線的距離，則，將代入，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．19.若數(shù)列在某項(xiàng)之后的所有項(xiàng)均為一常數(shù)，則稱是“最終常數(shù)列”.已知對(duì)任意，函數(shù)和數(shù)列滿足.（1）當(dāng)時(shí)，證明：是“最終常數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)任意正整數(shù).若方程無(wú)實(shí)根，證明：不是“最終常數(shù)列”的充要條件是：對(duì)任意正整數(shù)，；（3）若不是“最終常數(shù)列”，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用“最終常數(shù)列”定義即可證明；（2）利用反證法結(jié)合“最終常數(shù)列”新定義證明必要性，利用“最終常數(shù)列”定義證明必要性；（3）利用第二問(wèn)的證明結(jié)論即可求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以?duì)任意，故數(shù)列最小值不變.即對(duì)于任意恒成立.故對(duì)于任意，有，故是“最終常數(shù)列”.【小問(wèn)2詳解】必要性，若不