湖南省湘西州2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試卷

湖南省高二年級期末考試數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.雙曲線的焦距為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，得出，計算出，即可求出焦距.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，因為，所以，所以雙曲線的焦距為4.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，再由交集運算得解.【詳解】求解，得或即或所以集合或，則.故選：B3.虛數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)相等可得①，②，即可將選項中的值代入驗證.或者利用因式分解求解。【詳解】解法一：設復數(shù),則，化簡得，故，即①，②此時，對于選項中的值，代入：若，則，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，綜上可得故選：A解法二：由可得，故，故或，由于為虛數(shù)，故，故虛部為1，故選：A4.已知，是兩個平面，m，n，l是三條直線，且，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線垂直于這個平面，若，且，但如果直線與不相交，則不能得到，從而不能推出；如果兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面，若，由于，，，則，又，所以.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知曲線在點處的切線與圓相切，該圓的半徑為（）A. B. C.或 D.或1【答案】C【解析】【分析】求出曲線在點處的切線方程，利用直線與圓相切的幾何關系即可求出圓的半徑．【詳解】由，得，故切線的斜率，所以曲線在點處的切線方程為.又因為與圓相切，所以的半徑，解得或，所以圓的半徑為或.故選：C6.要安排4名學生（包括甲）到A，B兩個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有1名志愿者，且甲不去A鄉(xiāng)村，則不同的安排方法共有（）A.7種 B.8種 C.12種 D.14種【答案】A【解析】【分析】先將名學生分為組，第一種情況組人數(shù)分別為、，第二種情況組人數(shù)分別為、，采用特殊元素分析法求解.詳解】先把名學生分成組，第一種情況組人數(shù)分別為、，由于甲不去A鄉(xiāng)村，所以從另外3人中選一人和甲一起去B村，有種，第二種情況組人數(shù)分別為、，則可能甲單獨去B村，或者甲與另外人去B村，有種，故共有種.故選：A.7.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，其中記載了關于家畜偷吃禾苗的問題.假設有羊、騾子、馬、牛吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、騾子的主人、馬的主人、牛的主人共賠償12斗粟.羊的主人說：“羊吃得最少，羊和騾子吃的禾苗總數(shù)只有馬和牛吃的禾苗總數(shù)的一半.”騾子的主人說：“騾子吃的禾苗只有羊和馬吃的禾苗總數(shù)的一半.”馬的主人說：“馬吃的禾苗只有騾子和牛吃的禾苗總數(shù)的一半.”若按照此比率償還，則羊的主人應賠償?shù)乃诘亩窋?shù)為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意設羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次為，由題意得通過等差中項可判斷羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次成等差數(shù)列，，列出相關等式解求首項即可；【詳解】設羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次為，由題意得通過等差中項可判斷羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次成等差數(shù)列，設該數(shù)列為，公差為，則．由題意得即解得故選：B.8.已知為偶函數(shù)，若函數(shù)與圖象的交點為，，…，，則（）A.45 B. C.90 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)與圖象的交點關于直線對稱，由中點公式可解.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關于直線對稱，又函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)與圖象的交點關于直線對稱，由交點有9個，故兩函數(shù)必都過點，即.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線對稱性即可求解.【詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布的對稱軸為，根據(jù)對稱性可知：，得，A正確，B錯誤；則，C錯誤，D正確.故選：AD10.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關于點對稱，則a的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圖象平移得，即可根據(jù)求解，取值即可求解.【詳解】由題意可得，由于的圖象關于點對稱，所以,故，解得，取，，取，故選：AC11.已知函數(shù)恰好有三個零點，分別為，，，且，則下列說法正確的是（）A. B.，，成等差數(shù)列C.，，成等比數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】【分析】將函數(shù)的零點問題轉化為方程的解的問題，即問題轉化為直線與曲線和交于三個點，且三個點的橫坐標依次為，，，且，利用導數(shù)研究兩個函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而逐項判斷.【詳解】根據(jù)題意，，即或，所以或，即問題轉化為直線與曲線和交于三個點，且三個點的橫坐標依次為，，，且，對于，得，當時，，即函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，即函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最大值，對于，得，當時，，即函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，即函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最大值，如圖，作出函數(shù)與的圖象，由，可得，由，可得，又，且在上單調(diào)遞增，又，所以，即，A正確；，且在上單調(diào)遞減，又，所以，即，故，則C正確，B錯誤；因為，所以，則，則D正確故選：ACD【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正四棱柱的底面邊長為2，高為6，則該正四棱柱的外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)正四棱柱的邊長和高求外接球的半徑，再代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】設外接球的半徑為，則,所以正四棱柱外接球的表面積.故答案為：13.已知數(shù)列的前n項和滿足，則______.【答案】【解析】【分析】首先利用公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再代入公式，即可求解.【詳解】令，得，得，，當時，，兩式相減得，，即，即，所以數(shù)列是以首項，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：14.已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，橢圓C的離心率為，P是C在第一象限上的一點.若，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】設，由和，得，，再由且橢圓C的離心率為，解出，可計算.【詳解】如圖，記，，因為，則，，由橢圓的定義可得，所以，則，又且，有或，解得或，又點在第一象限，所以，得，則.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：注意綜合運用橢圓的有關定義和性質(zhì)、、三角形的正弦定理、余弦定理、內(nèi)角和定理，以及三角形的面積公式等等.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，，且.（1）求A；（2）若，的面積為，求a.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標運算可得，再由正弦定理邊化角，化簡即可解；（2）由三角形面積公式結合已知可得，再利用余弦定理求解.【小問1詳解】由，則得，由正弦定理得，又，則，所以，即，因為，所以；【小問2詳解】由得結合，得，由余弦定理得，所以.16.已知F為拋物線C：的焦點，且C上一點到點F的距離為4.（1）求C的方程；（2）若斜率為2的直線l與C交于A，B兩點，且，求l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線方程的定義即可由焦半徑求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用焦半徑公式即可求解.【小問1詳解】C上一點到點F的距離為4,由拋物線定義可得，，拋物線的方程為．【小問2詳解】設直線，，設,,,，將方程代入方程整理得，需滿足，，故，解得，當時，滿足，故符合題意，故直線方程為17.如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，四邊形BCDE為等腰梯形，，，.（1）證明：（2）若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）的中點，的中點，證明四邊形為平行四邊形，由已知的面面垂直，證得，由，，勾股定理可得.（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，向量法求二面角的正弦值.【小問1詳解】證明：因為四邊形為等腰梯形，，所以，取的中點，的中點，連接，則，，所以，，從而四邊形為平行四邊形，則，，在中，，且為的中點，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又，所以平面.又平面，所以，，，由，，得.【小問2詳解】由平面，，所以兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，平面內(nèi)過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則有，不妨設，則，，，由圖可知，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量，由，令，則，，則，所以二面角的正弦值為.18.某校為激發(fā)學生對天文、航天、數(shù)字科技三類知識的興趣，舉行了一次知識競賽（三類題目知識題量占比分別為，，）.甲回答這三類問題中每道題的正確率分別為，，.（1）若甲在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率.（2）知識競賽規(guī)則：隨機從題庫中抽取2n道題目，答對題目數(shù)不少于n道，即可以獲得獎勵.若以獲得獎勵的概率為依據(jù)，甲在和之中選其一，則應選擇哪個？【答案】（1）（2）選【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由全概率公式即可得到結果；（2）當時，X為甲答對題目的數(shù)量，則，求出概率，當時，分情況分析，求出概率，再比較大小.【小問1詳解】設所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關知識的題目分別為事件，，，所選的題目回答正確為事件B，則，所以該同學在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為；【小問2詳解】當時，X為甲答對題目的數(shù)量，則，故當時，甲獲獎勵的概率，當時，甲獲獎勵的情況可以分為如下情況：①前10題答對題目的數(shù)量大于等于6，②前10題答對題目的數(shù)量等于5，且最后2題至少答對1題，③前10題答對題目的數(shù)量等于4，且最后2題全部答對，故當時，甲獲獎勵的概率，，即，所以甲應選.19.若函數(shù)滿足對于任意的，恒成立，則稱為“反轉函數(shù)”.已知函數(shù)，.（1）當時，證明：為“反轉函數(shù)”.（2）已知有三個零點，，，且.①求a的取值范圍；②證明：.【答案】（1）證明見解析（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)求的單調(diào)性，分和兩種情況討論的符號，證明恒成立即可；（2）①利用的單調(diào)區(qū)間和極值，結合零點存在定理求a的取值范圍；②由且，利用零點可得，要證，即證，即證6×1x3x3+1x【小問1詳解】當時，得，gx得g′則在上單調(diào)遞減.當時，，當時，所以對于任意的，，即x?1f故為“反轉函數(shù)”.【小問2詳解】①：由題意得gx=2aln令tx=x二次函數(shù)圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，當時，，恒成立，有，則在上單調(diào)遞減，不符合題意，當時，在上單調(diào)遞增，tx>t0=1，有，則在上單調(diào)遞減，不符合題意，當時，x∈0,a?a2?1∪a+x∈a?a2?1,a+則在0,a?a2?1,a+由，有，則，即a?12<a2?1，得因為，，所以ga?a2設函數(shù)Fx=ex?x得F2a=e由，得，所以，設函數(shù)Gx=e令Hx=G′x=2e因為G′x>則Ga=綜上，時，，，g1得ge由零點存在定理可知，當時，有3個零點.所以a的取值范圍為.②證明：由①可知由題意得g1x=?2alnx+x?且，gx1=g1有2aln則2aln得alnx3要證，即證，即x3+得lnx3即證6×1設函