河北省唐山市高三下學期二?？荚嚁?shù)學

2024屆唐山市普通高等學校招生統(tǒng)一考試第二次模擬演練數(shù)學本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂黑其他答案標號．解答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設全集，集合，集合，則（）A． B． C． D．2．某地區(qū)5000名學生的數(shù)學成績（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績在的學生人數(shù)約為1800，則估計成績在100分以上的學生人數(shù)約為（）A．200 B．700 C．1400 D．25003．若一條雙曲線的實軸及虛軸分別為另一條雙曲線的虛軸及實軸，則它們互為共軛雙曲線．已知雙曲線的標準方程為，則的共軛雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．24．函數(shù)（）在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知長方體的一條棱長為2，體積為16，則其外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，，則（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知為平面外的一條直線，則下列命題中正確的是（）A．存在直線，使得， B．存在直線，使得，C．存在直線，使得， D．存在直線，使得，8．已知圓：，過點的直線與軸交于點，與圓交于，兩點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．為研究光照時長（小時）和種子發(fā)芽數(shù)量（顆）之間的關系，某課題研究小組采集了10組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖所示，并進行線性回歸分析，若去掉點后，下列說法正確的是（）A．相關系數(shù)變小 B．經(jīng)驗回歸方程斜率變小C．殘差平方和變小 D．決定系數(shù)變小10．設拋物線：的焦點為，準線為，過點的直線與交于，兩點，則下列說法正確的是（）A． B．以為直徑的圓與相切C．以為直徑的圓過坐標原點 D．為直角三角形11．設函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．為奇數(shù)時，在單調(diào)遞增B．為奇數(shù)時，在有一個極值點C．為偶數(shù)時，在單調(diào)遞增D．為偶數(shù)時，的最小值為0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為______．13．公式，其等號右側展開式共有3類非同類項，的展開式共有6類非同類項；那么的展開式共有______類非同類項，的展開式共有______類非同類項．14．銳角中，邊上的高為4，則面積的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖，在三棱臺中，平面，，，．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．16．（15分）某學校組織游戲活動，規(guī)則是學生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結果相互獨立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．（1）若學生甲摸球2次，其總得分記為，求隨機變量的分布列與期望；（2）學生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．17．（15分）（1）證明：；（2）若，，利用（1）結合自己所學知識，求．18．（17分）已知橢圓的右焦點為，其四個頂點的連線圍成的四邊形面積為；菱形內(nèi)接于橢圓．（1）求橢圓的標準方程；（2）（?。┳鴺嗽c在邊上的投影為點，求點的軌跡方程；（ⅱ）求菱形面積的取值范圍．19．（17分）數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立．證明分為下面兩個步驟：1．證明當（）時命題成立；2．假設（，且）時命題成立，推導出在時命題也成立．用模取余運算：表示“整數(shù)除以整數(shù)，所得余數(shù)為整數(shù)”．用帶余除法可表示為：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)，即，整數(shù)是商．如，則；再如，則．當時，則稱整除．現(xiàn)從序號分別為，，，，…，的個人中選出一名幸運者，為了增加趣味性，特制定一個遴選規(guī)則：大家按序號圍成一個圓環(huán)，然后依次報數(shù)，每報到（）時，此人退出圓環(huán)；直到最后剩1個人停止，此人即為幸運者，該幸運者的序號下標記為．如表示當只有1個人時幸運者就是；表示當有6個人而時幸運者是；表示當有6個人而時幸運者是．（1）求；（2）當時，，求；當時，解釋上述遞推關系式的實際意義；（3）由（2）推測當（）時，的結果，并用數(shù)學歸納法證明．

唐山市2024年普通高等學校招生統(tǒng)一考試第二次模擬演練數(shù)學參考答案一、選擇題：1～4．DBAC5～8．CDBD二、多選題：9．BC10．AC11．ABD三、填空題：12．13．10，（前空2分，后空3分）14．四、解答題：（若有其他解法，請參照給分）15．解：（1）因為平面，平面，所以，作交于點，在等腰梯形中，，，所以在中，，所以，在中，由余弦定理得，所以，從而有，又，所以平面，因為平面，所以．（2）以為原點，、分別為軸、軸正向，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，，因為平面，所以為面的一個法向量．設為面的法向量，則，即取，，，則依題意，，所以平面與平面夾角的余弦值為．16．解：（1）由題意知學生甲摸球2次總得分的取值為2，3，4，，，所以的分布列為：234所以．（2）記“甲最終得分為分”，；“乙獲得獎勵”．，．當甲最終得9分時，乙獲得獎勵需要最終得10分，則；當甲最終得8分時，乙獲得獎勵需要最終得10分或9分，則；故．即乙獲得獎勵的概率為．17．解：（1）（2）由（1）可知，，即是方程的一個實根．令，，顯然，當時，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，即．18．解：（1）根據(jù)題意設橢圓的標準方程為，，由已知得，，，解得，，所以橢圓的標準方程為：．（2）依題意設直線方程為，由，得，由題意，則，，所以．（?。┧倪呅螢榱庑?，，，，，即．為點到直線的距離，，所以點的軌跡方程為：．（ⅱ）因為，的面積令，則，，，，，當時，，當時，，所以．由對稱性可知菱形面積等于面積的4倍，所以菱形面積的取值范圍為．19．解：（1）因為，所以．（2）因為，且，所以，故．當時，遞推關系式的實際意義：當從個人中選出一個幸運者時，幸運者的序號下標為，而從個人中選出一個幸運者時，幸運者的序號下標為．如果把二者關聯(lián)起來，后者的圓環(huán)可以認為是前者的圓環(huán)退出一人而形成的，當然還要重新排序，由于退出來的是，則原環(huán)的就成了新環(huán)的，也就是說原環(huán)的序號下標要比新環(huán)的大，原環(huán)的就成了新環(huán)的．需要注意，新環(huán)序號后面一直到，如果下標加上，就會超過．如新環(huán)序號對應的是原環(huán)中的，…，新環(huán)序號對應的是原環(huán)中的．也就是說，得用新環(huán)的序號下標