第3章圓的基本性質單元復習題2024-2025學年浙教版九年級數(shù)學上冊

浙教版九年級數(shù)學上冊第3章圓的基本性質單元復習題一、單選題1．已知圓弧的度數(shù)為120°，弧長為6πcm，則圓的半徑為（）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm2．九個相同的等邊三角形如圖所示，已知點O是一個三角形的外心，則這個三角形是（）A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE3．如圖，在中，，，將繞點A逆時針旋轉，得到，連接，若，則線段的長為（）A． B．4 C． D．4．如圖，點，，都在上，連接，，，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．5．如圖，是蹺蹺板的示意圖，支柱OC與地面垂直，點O是AB的中點，AB繞著點O上下轉動.當A端落地時，∠OAC＝25°，則蹺蹺板上下可轉動的最大角度（即∠A'OA）是（）A．25° B．35° C．45° D．50°6．七巧板被西方人稱為“東方魔術”，如圖，小米同學運用數(shù)學知識設計徽標，將邊長為的正方形分割成的七巧板拼成了一個軸對稱圖形，取名為“火箭”，過該圖形的，，三個頂點作圓，則該圓的半徑長上（）A． B． C． D．7．如圖，A、B是⊙O上的兩點，∠AOB＝120°，OA＝3，則劣弧AB的長是（）A．π B．2π C．3π D．4π8．如圖，已知點、、、在上，弦、的延長線交外一點，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．9．在平面直角坐標系中，已知點A（0，1），B（0，﹣5），若在x軸正半軸上有一點C，使∠ACB＝30°，則點C的橫坐標是（）A．34 B．12 C．6+3 D．610．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是邊AD上一點，且AE＝8，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是（）A．4 B．4 C．4 D．4二、填空題11．如圖，的弦相交于點P．若，則°．12．如圖，將△ABC繞著點C順時針旋轉50°后得到△A’B’C．若=40°，=110°，則∠的度數(shù)為.13．如圖，四邊形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為C，D．若BC＝2，CD＝3，∠ACD＝45°，則AB＝．14．如圖，在等邊三角形ABC中，，于點D，點E是線段CD上一動點，連接AE，將線段AE繞點A順時針旋轉，得到線段AP，連接DP，則DP長的最小值為．三、解答題15．如圖1所示，圓形拱門屏風是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味．圖2是一款拱門的示意圖，其中拱門最下端分米，C為中點，D為拱門最高點，圓心O在線段上，分米，求拱門所在圓的半徑．16．如圖，是的內(nèi)接正三角形，半徑為1，連接，．（1）求陰影部分的面積．（2）求的面積．17．如圖，是的一條弦，，垂足為，交于點，點在上．（1）若，求的度數(shù)（2）若，，求的半徑．18．如圖1，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，點，一次函數(shù)與y軸相交于點C．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）連接、，在x軸上是否存在一點D使的面積是面積的2倍，請求出點D的坐標；（3）如圖2，點E是反比例函數(shù)圖象上A點右側一點，連接，把線段繞點A順時針旋轉，點E的對應點F恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點E的坐標．四、綜合題19．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即.下面是運用“截長法”證明的部分證明過程.證明：如圖2，在上截取，連接和.∵M是的中點，∴任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，D為上一點，，與點E，則的周長是.20．如圖，在中，，，將繞點C順時針旋轉一定的角度得到，點A，B的對應點分別是點D，E．（1）如圖①，當點E恰好在邊上時，連接，求的度數(shù)；（2）如圖②，點F是上一點，當旋轉角且時，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．21．如圖所示，是的一條弦，，垂足為，交于點，點在上，.（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長.22．如圖，在中，E是AD上一點，延長CE到點F，使得.（1）求證：；（2）請用無刻度直尺與圓規(guī)在AD上求作一點P，使.（保留作圖痕跡，不寫作法）23．在中，．（1）如圖1，在邊上找一點E，連接，使得，過點B作的垂線交延長線于點G，延長，交于點D．若，求的長度；（2）如圖2，在內(nèi)部找一點E，連接，將繞點E旋轉至交于點O，使得，連接，取的中點D，連接．求證：；（3）如圖3，在（2）問的條件下，若，且，交于點R，點P為線段上一動點，連接，將線段繞著R點順時針方向旋轉，得到線段，連接．當線段長度最小時，請直接寫出的值．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】設半徑為R，由弧長公式得，故選B.【分析】根據(jù)弧長公式，建立方程即可求解.2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D【解析】【解答】解：∵點O是AB的中點，∴OA＝OB，由旋轉得：OB＝OB′，∴OA＝OB′，∴∠OAC＝∠OB′C＝25°，∴∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C＝50°.故答案為：D.【分析】根據(jù)中點的概念可得OA＝OB，由旋轉得：OB＝OB′，則OA＝OB′，由等腰三角形的性質可得∠OAC＝∠OB′C＝25°，根據(jù)外角的性質可得∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C，據(jù)此計算.6．【答案】C7．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得，劣弧AB的長是：．故答案為：B．

【分析】利用弧長公式求出劣弧AB的長即可。8．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠BCD=25°，∠E=39°，

∴∠ABC=∠BCD+∠E=64°，

由圓周角定理得：∠BAD=∠BCD=25°，

∴∠APC=∠BAD+∠ABC=89°，

故答案為：B．

【分析】根據(jù)三角形的外角性質求出∠ABC，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠BAD=∠BCD=25°，再根據(jù)三角形的外角性質計算，得到答案．9．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，作的外接圓連接過作軸于作軸于則四邊形是矩形，是等邊三角形，故答案為：A

【分析】作△ABC的外接圓圓D，連接DA，DB，DC，過點D作DH⊥x軸于點H，作DG⊥y軸于點G，則四邊形DGOH是矩形，利用點的坐標可求出AB的長，∠ADB=60°，同時可證得DA=DB，可推出△ABD是等邊三角形，利用等邊三角形的性質可求出AG，BG的長，利用勾股定理求出DG的長；從而可求出OH，DH的長，利用勾股定理求出CH的長，然后根據(jù)OC=OH+CH，可求出OC的長，即可得到點C的坐標.10．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，取AB得中點N，連接EN、GN、CE，過點E作EH⊥CD，交CD的延長線于點H，

∵AE=8，AD=12，

∴DE=4，

∵點N是AB的中點，AB=16，

∴AN=NB=8，

∴AE=AN，

又∵∠A=60°，

∴△AEN是等邊三角形，

∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，

∴∠AEF=∠NEG，

由旋轉的性質得EF=EG，

在△AEF與△NEG中，

∵EA=EN，∠AEF=∠NEG，EF=EG，

∴△AEF≌△NEG（SAS），

∴∠ENG=∠A=60°，

∵∠ANE=60°，

∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，

∴點G的運動軌跡是射線NG，

在△EGN與△BGN中，

∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，

∴△EGN≌△BGN（SAS），

∴GB=GE，

∴GB+GC=GE+GC≥EC，

在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，

∴DH=DE=2，EH=，

在Rt△ECH中，，

∴GB+GC的最小值為.

故答案為：C.【分析】取AB得中點N，連接EN、GN、CE，過點E作EH⊥CD，交CD的延長線于點H，易得AE=AN，由有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形得△AEN是等邊三角形，由等邊三角形的性質得∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，由等式的性質推出∠AEF=∠NEG，由旋轉的性質得EF=EG，從而用SAS判斷出△AEF≌△NEG，得∠ENG=∠A=60°，根據(jù)平角的定義得∠GNB=60°，從而可得點G的運動軌跡是射線NG；再用SAS判斷出△EGN≌△BGN，得GB=GE，根據(jù)兩點之間線段最短得GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，由含30°角直角三角形得性質得DH、EH得長，進而在Rt△ECH中，利用勾股定理算出EC得長即可.11．【答案】3212．【答案】80°【解析】【解答】根據(jù)旋轉的性質可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，∵∠A=40°，∴∠A′=40°，∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°-110°-40°=30°，∴∠ACB=30°，∵將△ABC繞著點C順時針旋轉50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，∴∠BCA′=30°+50°=80°．

【分析】根據(jù)旋轉的性質可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，得出∠A′=40°，從而得出∠ACB=30°，再將將△ABC繞著點C順時針旋轉50°后得到△A′B′C′，得出∠ACA′=50°，求解即可。13．【答案】【解析】【解答】解：過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，

∵AC⊥BC，AD⊥BD，

∴∠ACB=∠ACE=∠E=∠ADB=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠DCE=90°-45°=45°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE=DE，

∴2DE2=CD2即2DE2=（）2，

解之：CE=DE=3，

∴BE=BC+CE=2+3=5，

在Rt△BDE中，

，

∵∠ACB=∠ADB=90°，

∴A，B，C，D四點共圓，直徑為AB，

∵，

∴∠ACD=∠ABD=45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴，

在Rt△ABD中

.

故答案為：

【分析】過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，利用垂直的定義可證得∠ACB=∠ACE=∠E=∠ADB=90°，同時可求出∠DCE，可證得△CDE是等腰直角三角形，由此可推出CE=DE，再利用勾股定理求出DE的長，可得到BE的長；在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD的長；再證明A，B，C，D四點共圓，直徑為AB，利用圓周角定理可求出∠ACD=∠ABD=45°，可證得△ADB是等腰直角三角形，可求出AD的長，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的長.14．【答案】1.5【解析】【解答】解：取AC的中點K，連接DK、EK，如圖，

∵為等邊三角形，，，

∴

∵將線段AE繞點A順時針旋轉，得到線段AP，

∴

∴

∴

在和中

∴

∴

∴當EK最小時，DP最小，此時EK⊥CD，

又∵，

∴

∴EK為的中位線，

∴

∴DP的最小值為，故答案為：.【分析】取AC的中點K，連接DK、EK，根據(jù)題意得到：然后根據(jù)旋轉的性質并利用"SAS"證明則即可知當EK最小時，DP最小，此時EK⊥CD，然后根據(jù)三角形中位線定理得到：進而即可求解.15．【答案】解：連接過圓心，C為中點，，為中點，，設半徑為分米，則，，，在中，，，．拱門所在圓的半徑是15分米．【解析】【分析】連接AO，利用垂徑定理求出，設半徑為分米，則，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。16．【答案】（1）（2）17．【答案】（1）解：，．；（2）解：設的半徑為，則．，，．在中，，，解得．的半徑是．【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得再根據(jù)圓周角定理即可求解；

（2）設的半徑為，則，根據(jù)垂徑定理可得，然后再根據(jù)勾股定理即可求解.18．【答案】（1）；（2）或（3）點E的坐標為619．【答案】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和.∵M是的中點，∴在和中∴，∴，又∵，∴，∴；（2）【解析】【解答】解：（2）如圖3，截取，連接，由題意可得：，在和中，∴，∴，∵，∴，則，∵，∴，則的周長是.故答案為：.【分析】（1）在CB上截取CG=AB，連接MA、MB、MC、MG，由中點的概念可得MA=MC，

由圓周角定理可得∠A=∠C，證明△MBA≌△MGC，得到MB=MG，結合等腰三角形的性質可得BD=GD，據(jù)此證明；

（2）截取BF=CD，連接AF、AD、CD，由題意可得AB=AC，∠ABF=∠ACD，證明△ABF≌△ACD，得到AF=AD，結合等腰三角形的性質可得FE=DE，則CD+DE=BE，易得BE的值，據(jù)此不難求出△BDC的周長.20．【答案】（1）解：∵將繞點C順時針旋轉一定的角度得到，E點在上，∴，，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）解：四邊形為平行四邊形．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵將繞點C順時針旋轉60°得到，∴，，，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．【解析】【分析】（1）利用旋轉的性質可得，，利用三角形的內(nèi)角和求出，再利用角的運算求出即可；

（2）先證明是等邊三角形，可得，利用旋轉的性質可得，所以，再結合，證出，即可得到四邊形為平行四邊形。21．【答案】（1）解：連接OB，則∠BOD=2∠BED=230°=60°，∵OD⊥AB，∴∠AOD=∠BOD=60°.（2）解：∵OD⊥AB，∠AOD=60°，∴∠OAC=30°.∴OC=OA=2=1.∴AC=.∴AB=2AC=2.【解析】【分析】（1）連接OB，由圓周角定理可得∠BOD=2∠BED=60°，根據(jù)垂徑定理即可求解；

（2）由三角形內(nèi)角和求出∠OAC=30°，根據(jù)直角三角形的性質可得OC=OA=1，AC=，由垂徑定理可得AB=2AC，繼而得解.22．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠CED＝∠BCF.∵∠CED＋∠DCE＋∠D＝180°，∠BCF＋∠FBC＋∠F＝180°，∴∠D＝180°?∠CED?∠DCE，∠F＝180°?∠BCF?∠FBC.又∵∠DCE＝∠FBC，∴∠D＝∠F；（2）解：圖中P就是所求作的點.【解析】【分析】（1）根據(jù)?ABCD的性質定理可得AD∥BC，則由平