2025屆江蘇省沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題含解析

2025屆江蘇省沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個(gè)精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對(duì)稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.402．已知直線為拋物線的準(zhǔn)線，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C.4 D.83．已知曲線，則“”是“C為雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．“”是“函數(shù)在上無極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.6．一道數(shù)學(xué)試題，甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立完成，設(shè)命題是“甲同學(xué)解出試題”，命題是“乙同學(xué)解出試題”，則命題“至少一位同學(xué)解出試題”可表示為（）A. B.C. D.7．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.8．七巧板是中國古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.9．動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和是，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定10．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.11．已知圓過點(diǎn)，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)的部分圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.的最小正周期為6C.圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞減二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的最大值為___________.14．某商場對(duì)華為手機(jī)近28天的日銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)，t36811ym357利用最小二乘法得到日銷售量y（百部）與時(shí)間t（天）的線性回歸方程為，則表格中的數(shù)據(jù)___________.15．過點(diǎn),的直線方程（一般式）為___________.16．已知數(shù)列中，.若為等差數(shù)列，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的短軸長和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)的距離.18．（12分）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，，前4項(xiàng)和.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求和：.19．（12分）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E是AD的中點(diǎn)，將沿BF折起至的位置，使得二面角的大小為120°（如圖2），M，N分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.20．（12分）如圖是一拋物線型機(jī)械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對(duì)稱軸，已知頂點(diǎn)深度4cm，口徑長為12cm（1）以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點(diǎn)深度減少1cm，求此時(shí)該磨具的口徑長21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M（1）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N，問：y軸上是否存在點(diǎn)Q（不與O重合），使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由22．（10分）（1）求過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（2）甲，乙，丙等7名同學(xué)站成一排，若甲和乙相鄰，但甲乙二人都不和丙相鄰，則共有多少種不同排法？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為由雙曲線的性質(zhì)可知：該頸部中最細(xì)處直徑為實(shí)軸長，所以，可得，因?yàn)殡x心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據(jù)對(duì)稱性可知頸部最右點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B2、D【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長公式可求的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€為拋物線的準(zhǔn)線，故即，故拋物線方程為：.設(shè)直線，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最小值為8，故選：D.3、A【解析】根據(jù)充分必要條件的定義，以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷可得選項(xiàng)【詳解】解：當(dāng)時(shí)，表示雙曲線，當(dāng)表示雙曲線時(shí)，則，所以“”是“C為雙曲線”的充分不必要條件.故選A4、B【解析】根據(jù)極值的概念，可知函數(shù)在上無極值，則方程的，再根據(jù)充分、必要條件判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，可得，若函數(shù)在上無極值，所以對(duì)于方程，,解得.所以“”是“函數(shù)在上無極值”的必要不充分條件.故選：B.5、C【解析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以,因此，故選：C6、D【解析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【詳解】“至少一位同學(xué)解出試題”的意思是“甲同學(xué)解出試題，或乙同學(xué)解出試題”.故選：D.7、C【解析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.8、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長為4，則大陰影等腰三角形底邊長為4，底邊上的高為2，可得小正方形對(duì)角線長為2，小正方形邊長為，小陰影等腰直角三角形腰長為，小白色等腰直角三角形底邊長為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A9、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選：A10、B【解析】直接利用直線垂直公式計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計(jì)算參數(shù)，屬于簡單題.11、B【解析】根據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.12、D【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出，再利用函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期公式逆推即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，所以，又，所以，A正確；因?yàn)榈膱D象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期為，B正確；，所以是的一條對(duì)稱軸，C正確；令，解得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】設(shè)出，根據(jù)條件推出在圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意要使雙曲線和圓有交點(diǎn)，則得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得：，所以，化簡得：，即滿足條件的點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，又點(diǎn)存在于上，故雙曲線與圓有交點(diǎn)，則,即實(shí)數(shù)a的最大值為2，故答案為：214、1【解析】根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，線性回歸方程為，，解得故答案為：115、【解析】利用兩點(diǎn)式方程可求直線方程.【詳解】∵直線過點(diǎn),，∴，∴，化簡得.故答案為：.16、【解析】利用等差中項(xiàng)求解即可【詳解】由為等差數(shù)列，則，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），短軸長為，焦距為；（2）.【解析】（1）由長軸得，再由離心率求得，從而可得后可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)后可得距離【詳解】（1）由已知：，，故，，則橢圓的方程為：，所以橢圓的短軸長為，焦距為.（2）聯(lián)立，解得，，所以，，故18、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的基本量，即可容易求得數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，構(gòu)造數(shù)列，證明其為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和即可求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，故可得數(shù)列為等比數(shù)列，且公比，則；數(shù)列為等差數(shù)列，，前4項(xiàng)和，設(shè)其公差為，故可得，解得，則；綜上所述，，.【小問2詳解】由（1）可知：，，故，又，又，則是首項(xiàng)1，公比為的等比數(shù)列；則.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構(gòu)造中位線，利用面面平行，可以證明;（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法即可.【小問1詳解】證明：如圖，取ED的中點(diǎn)P，連接MP，NP.在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，，所以，又，所以四邊形BCDE是平行四邊形；因?yàn)镸，N分別是，BC的中點(diǎn)，所以，.又平面，平面，所以平面，平面.因?yàn)?，所以平面平?又平面，所以平面【小問2詳解】取BE的中點(diǎn)O，連接，CO，CE.在圖1中，因?yàn)?，所以是等邊三角形，，又四邊形ABCD等腰梯形，所以，即是等邊三角形；所以如圖，，，所以.以為原點(diǎn)，射線OB為x軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，則，，，，則，設(shè)平面的法向量為，，得令，則，，即，由題可知，平面BCD的一個(gè)法向量為，.由圖可知，平面與平面BDC夾角余弦值為；20、（1）（2）cm【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得拋物線過點(diǎn)，將此點(diǎn)代入方程中可求出的值，從而可得拋物線方程，（2）設(shè)此時(shí)的口徑長為，則拋物線過點(diǎn)，代入拋物線方程可求出的值，從而可求得答案【小問1詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)轫旤c(diǎn)深度4，口徑長為12，所以該拋物線過點(diǎn)，所以，得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】若將磨具的頂點(diǎn)深度減少，設(shè)此時(shí)的口徑長為，則可得，得，所以此時(shí)該磨具的口徑長21、（1），；（2）存在或，使得，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)離心率，及求出，，進(jìn)而得到橢圓方程及用m，n表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）假設(shè)存在，根據(jù)得到，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，得到，結(jié)合得到，從而求出答案.【小問1詳解】由離心率可知：，又，，解得：，，故橢圓C：，直線PA為：，令得：，所以；【小問2詳解】存在或，使得，理由如下：假設(shè)，使得，則，其中，直線：，令得：，則，，解得：，其