高等數(shù)學三章導數(shù)與微分

1§3.1導數(shù)的概念§3.2導數(shù)運算法則§3.3隱函數(shù)、含參數(shù)導數(shù)、高階導數(shù)§3.4函數(shù)的微分第三章導數(shù)與微分2§3.1導數(shù)的概念一、引出導數(shù)概念的實例二、導數(shù)的定義三、利用定義計算導數(shù)四、導數(shù)的幾何意義五、可導與連續(xù)的關(guān)系3一、引例1.自由落體運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動42.曲線的切線斜率曲線在M

點處的切線割線MN

的極限位置MT(當時)割線MN

的斜率切線MT的斜率5兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.63.1.2、導數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限為也叫做微商，記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導,在點的導數(shù),

若上述極限不存在,在點不可導.就說函數(shù)7例3.3

求函數(shù)在點的導數(shù)解：8

3.1.3單側(cè)導數(shù)

定義3.2如果極限

存在，則稱此極限為函數(shù)在點處的左導數(shù)，記作；如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點處的右導數(shù)，記作定理3.1：函數(shù)在x0點處可導當且僅當910若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點都可導（對于區(qū)間端點，考慮相應(yīng)地單側(cè)導數(shù)）,就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導.

此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù).

記作:3.1.4導函數(shù)11解：1213

定理3.2:如果函數(shù)在點處可導，則它在處必連續(xù)．證明因為函數(shù)y=f(x)在x0點處可導，則存在所以有即函數(shù)在點處連續(xù)．14四、幾何意義(切線方程)

函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線斜率k，即.這就是導數(shù)的幾何意義．因此,曲線在點處的切線方程為法線方程為15

例３求曲線在點(1，1)處的切線方程和法線方程．解因此切線方程為,即

法線方程為

,即16(7)(8)(3)(4)(1)(2)基本初等函數(shù)的導數(shù)(為常數(shù))

(5)(6)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)17

3．對數(shù)函數(shù)的導數(shù)即特別地，當a=e時，18導數(shù)的四則運算法則復合函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)的導數(shù)對數(shù)求導法參量函數(shù)求導§3.2求導法則反函數(shù)的導數(shù)19

3.2.1導數(shù)的四則運算法則定理3.31．若函數(shù)u(x)和v(x)都在x處可導，則有以下結(jié)論。20例3.7

設(shè)，求．解解:21例3.9

設(shè)，求．解即22

定理

若在區(qū)間內(nèi)(單調(diào))可導且則有反函數(shù)定義于值域反函數(shù)的導數(shù)為3.2.2反函數(shù)的導數(shù)例7求函數(shù)的導數(shù)．解由已知，則，23例3.10

解由已知，則，.24

注:1.這個公式可以推廣到兩個以上函數(shù)復合的情形．2.注意區(qū)別與.3.復合函數(shù)的求導法則也被稱作是鏈式求導法則。

定理3.5

如果函數(shù)u=g(x)在x點處可導，而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)的點u處可導，那么復合函數(shù)y=f(g(x))也在點x處可導，且有3.2.3復合函數(shù)的導數(shù),因此25例3.12

求導數(shù)

解：顯然是由，由復合函數(shù)的鏈式求導法則可得：26例3.13

求下列函數(shù)的導數(shù)解：函數(shù)顯然是由復合而成的,因此27例3.14

求下列函數(shù)的導數(shù)解

:

函數(shù)顯然是由復合而成的,因此28例3.16

求的導數(shù)．解293031

前面我們所討論的函數(shù)y=f(x)，其因變量y直接可用含自變量x的表達式表示，稱這樣的函數(shù)為顯函數(shù)．但經(jīng)常也會遇到由方程F(x,y)=0所確定的兩個變量x,y之間的函數(shù)關(guān)系，稱這樣的函數(shù)為隱函數(shù)．如由方程:3.3隱函數(shù)、參變量函數(shù)的導數(shù)和高階導數(shù)

有些隱函數(shù)可化成顯函數(shù)，如由方程解出,則隱函數(shù)化成了顯函數(shù)，但有些隱函數(shù)不易化成顯函數(shù),例如隱函數(shù).32

下面介紹由方程所確定的隱函數(shù)的直接求導方法：

將方程兩邊逐項對自變量x求導數(shù),在求導過程中，把y看成x的函數(shù)，可得到包含y'及x和y的一個方程,從中解出y'，即得到隱函數(shù)的導數(shù)33

例3.22

求由方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)．解方程兩邊對求導，得解之得34

例3.23

求在點處的切線方程。解方程兩邊對求導，得35

參數(shù)函數(shù)是隱函數(shù)以外的另一種靈活表達函數(shù)的形式。如：3.3.2、參數(shù)函數(shù)求導對，也可寫為一般形式：（直觀：運動）36導數(shù)聯(lián)系：斜率＝兩方向速度比直觀：點運動速度（切于曲線）37例橢圓參數(shù)方程求處切線方程解：38

如果導函數(shù)仍是的可導函數(shù)，就稱其的導數(shù)為函數(shù)的二階導數(shù),記作或

相應(yīng)地，把y=f(x)的導數(shù)y'=f'(x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導數(shù)．

類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)，一般地函數(shù)y=f(x)的n-1階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的n階導數(shù)，分別記作二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)．3.3.3

高階導數(shù)39解例1

求函數(shù)的二階及三階導數(shù)．40例2

求函數(shù)的階導數(shù)．解41例3

求的階導數(shù)．解由公式常用公式42求參數(shù)方程的2階導數(shù)43例3.30求參數(shù)方程的2階導數(shù)44一、微分的概念二、微分的幾何意義三、微分的基本公式與運算法則四、微分的形式不變性五、微分在近似計算上的應(yīng)用§3.4函數(shù)的微分45

函數(shù)的導數(shù)表示函數(shù)關(guān)于自變量變化的快慢程度(變化率)．但在許多情況下，需要考察或者估算函數(shù)改變量的大小，特別是當自變量發(fā)生微小變化時函數(shù)改變量的大小．這就需要引進微分的概念．

一、微分的概念

引例已知正方形的面積是邊長的函數(shù)，若其邊長由變化到，問正方形的面積改變了多少?當很微小時,正方形的§3.4函數(shù)的微分46面積改變的近似值是多少?

當邊長由變化到，面積相應(yīng)的改變量為如圖中藍色部分區(qū)域即表示

可以把分成兩部分第一部分是的線性函數(shù)(圖中天藍部分)，第二部分(圖中純藍部分)，當時，是比較高階的無窮小量，因此當很小時，我們用近似地表示,即47

上述結(jié)論對于一般的函數(shù)是否成立呢?下面說明對于可導函數(shù)都有此結(jié)論．設(shè)函數(shù)在點處可導，則有根據(jù)函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系得于是

當時，函數(shù)的改變量表示成兩部分之和，一部分關(guān)于的線性函數(shù)，通常把它叫做的線性主部；另一部分當時，是比較高階的無窮小量，所以當很小時，有48一般地有

特別當時,稱為函數(shù)在點的微分,記作

或即

注1:規(guī)定自變量的微分就等于其改變量,即.于是有即函數(shù)

定義3.5:設(shè)函數(shù)在點處可導，稱為函數(shù)在點處的微分，記作或，即此時,我們也說函數(shù)在點處可微.49在點處的微分等于該函數(shù)在該點的導數(shù)與自變量微分的乘積.

注2:對兩邊同時除以后得到,它反映了函數(shù)的微分與其導數(shù)之間的關(guān)系,可見函數(shù)的導數(shù)即是函數(shù)的微分與自變量微分的商,因此常常把導數(shù)也稱為微商.注3:從定義易見可微與可導的關(guān)系是定理3.6可微必可導,可導也必可微.例1求下列函數(shù)的微分解(1)

因為50例2

已知求及．解所以(2)

方程兩邊同時對求導,并把看作的函數(shù),得解之得故51微分的幾何意義：設(shè)函數(shù)的圖象如下圖所示．在曲線上取定一點，過該點作曲線的切線它與軸的交角為，則該切線的斜率為改變量，且

當自變量在處取得改變量時，就得到曲線上另一點，即相應(yīng)曲線縱坐標得到相應(yīng)的改變量同時點處的切線的縱坐標也得到相應(yīng)的演示52

三、微分的基本公式與運算法則

根據(jù)定義，函數(shù)微分就是函數(shù)導數(shù)與自變量微分之積，所以由導數(shù)的基本公式和運算法則得到相應(yīng)的微分基本公式和運算法則．

（9）

微分的幾何意義：在曲線上點處，當自變量取得改變量時，曲線在該點處切線縱坐標的改變量即是函數(shù)在點處微分的幾何意義.．顯然,與相差，當很小時有531．微分基本公式542．微分的運算法則設(shè)在點均可微,則有(3)(4)(1)(2)55

四、微分形式的不變性

設(shè)函數(shù)可導，當

是自變量時，其微分為

而當是的函數(shù),而是的函數(shù),即時,為復合函數(shù),微分為