福建省廈門市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下期中考試數(shù)學(xué)試卷

福建省廈門市第一中學(xué)20232024學(xué)年高一下期中考試數(shù)學(xué)試卷命題教師李寅童審核教師周翔2024．4本試卷共4頁(yè)，滿分150分注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的班級(jí)、座號(hào)、姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“考號(hào)、姓名”與考生本人考號(hào)、姓名是否一致.2．回答選擇題時(shí)，選出答案后用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無效.3．考試結(jié)束，考生只須將答題卡交回.一、單選題：本大題8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)正確答案.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】設(shè)出，a，，利用復(fù)數(shù)相等求出實(shí)部與虛部，得到所在象限.【詳解】設(shè)，其中a，，則，則，，即，，故，此時(shí)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選：D.2.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，因?yàn)?，可得，解?故選：C.3.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由斜二測(cè)畫法還原該平面圖形的原圖，計(jì)算可得．【詳解】在直角梯形中，，，則，直角梯形對(duì)應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，，所以該平面圖形的高為.故選：C.4.直線與平面平行的充要條件是（）A.直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)B.直線與平面內(nèi)的一條直線平行C.直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行D.直線與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】A.由無數(shù)個(gè)點(diǎn)不代表所有的點(diǎn)來判斷，B.由線面平行的判定定理來判斷，C.由無數(shù)個(gè)不代表所有的來判斷D.由直線與平面平行的定義來判斷.【詳解】A.無數(shù)個(gè)點(diǎn)不是所有點(diǎn)，所以不正確；B.缺少直線在平面外，所以不正確；C.無數(shù)條直線不是所有的直線，所以不正確；D.由直線與平面平行的定義，正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的定義及判定定理，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.5.在△中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由，則或和，則，則，可得出答案.【詳解】若，則或，即或，所以在△中，“”是“”的不充分條件若，則，則，所以在△中，“”是“”的必要條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分、必要條件的判斷，考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，，E為的中點(diǎn)，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，利用幾何法找到所成角，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)F，連接EF，CF，，易知，所以為異面直線BD與CE所成的角或其補(bǔ)角.因?yàn)椋?，所以由余弦定理?故選：C

7.如圖，這是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為，山高為是山坡上一點(diǎn)，且．現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，公路上坡路段長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合圖象，求最小值．【詳解】依題意，半徑為，山高為，則母線，底面圓周長(zhǎng)，則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開圖，顯然，由點(diǎn)向引垂線，垂足為點(diǎn)，此時(shí)為點(diǎn)和線段上的點(diǎn)連線的最小值，即點(diǎn)為公路的最高點(diǎn)，段為上坡路段，段為下坡路段，由直角三角形射影定理知，即，解得，所以公路上坡路段長(zhǎng)為．故選：D8.已知平面向量滿足，，，且對(duì)于任意的，恒有，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，設(shè)，根據(jù)可知，然后建系，假設(shè)點(diǎn)，表示出，最后計(jì)算即可.詳解】設(shè)，如圖，其中由對(duì)于任意的，恒有，即，所以當(dāng)重合時(shí)滿足條件，故以為原點(diǎn)，作為軸，過作的垂線為軸，如圖所示所以，又，不妨設(shè)由，所以所以，令，則，由，所以則，所以故選：A二、多選題：本大題3小題，全選對(duì)得6分，選對(duì)但不全得部分分，選錯(cuò)或不答得0分.9.已知非零復(fù)數(shù)，，其共軛復(fù)數(shù)分別為則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.若，則的最小值為2D.【答案】BD【解析】【分析】設(shè)，對(duì)A根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷，對(duì)B根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的加減即可判斷；對(duì)C根據(jù)復(fù)數(shù)表示的幾何意義即可判斷；對(duì)D，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計(jì)算即可判斷.【詳解】設(shè)，對(duì)A，，，當(dāng)至少一個(gè)為0時(shí)，，當(dāng)均不等于0，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，則，而，故，故B正確；對(duì)C，若，即，即，即，則在復(fù)平面上表示的是以為圓心，半徑的圓，的幾何意義表示為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，顯然，則點(diǎn)在圓外，則圓心到定點(diǎn)的距離，則點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，，而，故，故D正確；故選：BD.10.在中，，，，則（）A. B.C.的面積為 D.外接圓的直徑是【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用倍角公式求出；B選項(xiàng)，由余弦定理求出；C選項(xiàng)，先計(jì)算出，利用三角形面積公式求解；D選項(xiàng)，利用正弦定理得到外接圓直徑.【詳解】A選項(xiàng)，，故A正確；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，由余弦定理得．故，B正確；C選項(xiàng)，由于在中，，故，所以，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)外接圓半徑為R，，D正確．故選：ABD11.約翰遜多面體是指除了正多面體、半正多面體（包括13種阿基米德多面體、無窮多種側(cè)棱與底棱相等的正棱柱、無窮多種正反棱柱）以外，所有由正多邊形面組成的凸多面體．其中，由正多邊形構(gòu)成的臺(tái)塔是一種特殊的約翰遜多面體，臺(tái)塔，又叫帳塔、平頂塔，是指在兩個(gè)平行的多邊形（其中一個(gè)的邊數(shù)是另一個(gè)的兩倍）之間加入三角形和四邊形所組成的多面體．各個(gè)面為正多邊形的臺(tái)塔，包括正三、四、五角臺(tái)塔．如圖是所有棱長(zhǎng)均為1的正三角臺(tái)塔，則（）A.該臺(tái)塔共有15條棱 B.平面C.該臺(tái)塔高為 D.該臺(tái)塔外接球的體積為【答案】ABD【解析】【分析】由臺(tái)塔的結(jié)構(gòu)特征，數(shù)出棱的條數(shù)，即可判斷A，根據(jù)線面平行的判定定理證明B，計(jì)算出高，即可判斷C，由外接球半徑計(jì)算體積，即可判斷D.詳解】臺(tái)塔下底面6條棱，上底面3條棱，6條側(cè)棱，共15條棱，故A正確；臺(tái)塔表面有1個(gè)正六邊形，3個(gè)正方形，4個(gè)正三角形，由所有棱長(zhǎng)均為1，連接，因?yàn)榍?，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故B正確；上底面正三角形在下底面正六邊形內(nèi)的投影為，則點(diǎn)是正六邊形的中心，也是的中心，和都是正三角形，是的中心，由棱長(zhǎng)為，則，所以臺(tái)塔的高，故C錯(cuò)誤；設(shè)上底面正三角形的外接圓圓心為，則半徑，下底面正六邊形的外接圓圓心為，則半徑，設(shè)臺(tái)塔的外接球半徑為，，則有或，解得，所以，臺(tái)塔的外接球體積，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.寫出與向量反向的單位向量_________．【答案】【解析】【分析】由相反向量以及單位向量的定義，設(shè)且，即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)相反向量定義可知，設(shè)，即，且，解得；所以.故答案為：13.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，因此，又，所以.故答案：14.有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（墻面與頂部都封閉），已知走廊的寬度與高度都是3米，現(xiàn)有不能彎折的硬管需要通過走廊，若不計(jì)硬管粗細(xì)，則可通過的最大極限長(zhǎng)度為______米.【答案】【解析】【分析】先求出硬管不傾斜，水平方向通過的最大長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出硬管傾斜后能通過的最大長(zhǎng)度，即可得到答案.【詳解】如圖示，先求出硬管不傾斜，水平方向通過的最大長(zhǎng)度.設(shè),則.過作垂直內(nèi)側(cè)墻壁于，作垂直內(nèi)側(cè)墻壁于，則.在直角三角形中，，所以.同理可得.所以.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立）.所以.因?yàn)樽呃鹊膶挾扰c高度都是米，所以把硬管傾斜后能通過的最大長(zhǎng)度為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把解答過程填寫在答題卡的相應(yīng)位置.15.已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的向量得復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的分類求得a的值；（2）計(jì)算，由其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列出不等式組，解不等式組得a的取值范圍.【小問1詳解】由題，則，由為純虛數(shù)得，，解得．【小問2詳解】，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則，即，解得．16.如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且.（1）用向量表示；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用為基底和表達(dá)出；（2）計(jì)算得到，即可得到.【小問1詳解】【小問2詳解】.因?yàn)?，所以，則，即，所以.17.如圖，在三棱錐中，已知，，且，、分別為、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）由異面直線所成角的定義可知，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，求出三邊邊長(zhǎng)，可知該三角形為等腰三角形，取線段的中點(diǎn)，連接，可知，即可求得的值，即為所求.【小問1詳解】證明：因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?【小問2詳解】解：因?yàn)椋瑒t異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)?，，則為等邊三角形，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，因?yàn)椋?、分別為、的中點(diǎn)，則，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，則，所以，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.18.已知銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，（1）求；（2）若為邊上的高，過點(diǎn)分別作邊、的垂線，垂足分別為、，（?。┣笞C：；（ⅱ）求的最大值．【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）依題意可得，利用誘導(dǎo)公式及和差角公式得到，即可得解；（2）（?。┯捎嘞叶ɡ淼玫剑儆梢阎獥l件得到，由等面積法得到，從而得證；（ⅱ）設(shè)，，在中由余弦定理，由三角形相似得到，，從而得到，，則，再利用換元法及函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可求出的最大值.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即，即，又，所以，所以，又，所以，所以，即，因?yàn)?，所?【小問2詳解】（ⅰ）因?yàn)?，即，由余弦定理，即，所以，則，所以，又，所以，所以；（ⅱ）設(shè)，，在中由余弦定理，由（?。┛傻?，，因?yàn)椋?，即，且，即，即，則，所以，，所以，且，，令，則原式，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又越大則的值越小，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第（ⅱ）問關(guān)鍵是設(shè)，，得到，通過條件表示出、，然后通過換元以及基本不等式得到的最大值.19.如圖（1），正三棱柱，將其上底面ABC繞的中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，分別連接得到如圖（2）的八面體（1）若，依次連接該八面體側(cè)棱的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，R，S，（ⅰ）求證：共面；（ⅱ）求多邊形的面積；（2）求該八面體體積的最大值．【答案】（1）（?。┳C明見解析；（ⅱ）（2）【解析】【分析】（?。┤c(diǎn)確定平面，證明其余務(wù)點(diǎn)都在內(nèi)；（ⅱ）由多邊形的形狀，利用分割法求面積。（2）八面體補(bǔ)成六棱柱，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求體積.【小問1詳解】（?。┳C明：由基本事實(shí)1，三點(diǎn)共面，設(shè)這三點(diǎn)確定的平面為，因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面，同理，平面，又因?yàn)槠矫嬗衫庵系酌胬@中心旋轉(zhuǎn)得到，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，若平面與平面相交，設(shè)平面平面，則至少與中一條直線相交，不失一般性，設(shè)，則平面，且，由基本事實(shí)3知，與矛盾，故平面平面，若平面，則與平面相交，由平面平面，則與平面相交，因?yàn)槠矫?，所以與相交，與矛盾，所以平面，即四點(diǎn)共面；同理，綜上，六點(diǎn)共面.（ⅱ）旋轉(zhuǎn)后俯視圖形如下，由條件知，且，旋轉(zhuǎn)前與夾角為，旋轉(zhuǎn)后夾角為，由平行關(guān)系，得，同理，聯(lián)結(jié)，所以全等且