專題937三角形的中位線（題型分類拓展）-2023-2024學年八年級數學下冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題9.37三角形的中位線（題型分類拓展）【題型目錄】【題型1】坐標系背景下的中位線；【題型2】作圖題背景中的中位線；【題型3】中位線性質與折疊問題；【題型4】三角形中位線中的旋轉問題；【題型5】三角形中位線中的最值問題；【題型6】三角形中位線中的動點問題.單選題【題型1】坐標系背景下的中位線；1．（2023下·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點的坐標為，點的坐標為，點分別是各邊的中點，順次連接各中點，并連接交于點，點為的中點，則的長為（

）

A．2 B．2.5 C．1.5 D．32．（2019下·北京昌平·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，2），B（4，0），點N為線段AB的中點，則點N的坐標為（

）A．（1，2） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，1）【題型2】作圖題背景中的中位線；3．（2022·河北唐山·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，按如下步驟作圖：①分別以點，為圓心，以大于的長為半徑在兩邊作弧，交于兩點，；②作直線，分別交，于點，；③過作

交于點，連接，．則四邊形的周長為（）

A． B． C． D．4．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）如圖，已知在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC邊上的中線．按下列步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑作弧，相交于點M，N；②過點M，N作直線MN，分別交BC，BE于點D，O；③連接CO，DE．則下列結論錯誤的是（

）A．OB=OC B．DEAB C．DB=DE D．=【題型3】中位線性質與折疊問題；5．（2023下·貴州黔西·八年級校聯(lián)考期末）在中，，，，是邊上的高．將按如圖所示的方式折疊，使點與點．重合，折痕為，則的周長為（

）

A．9.5 B．10 C．11 D．15.56．（2022上·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，，點D為BC的中點，點E在AC上，將沿DE折疊，使得點C恰好落在BA的延長線上的點F處，連結AD，則下列結論不一定正確的是（

）①；②；③和的面積相等；④和的面積相等A．①② B．①③ C．③ D．①②③【題型4】三角形中位線中的旋轉問題；7．（2023上·福建龍巖·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知正方形、正方形的邊長分別為4和1，將正方形繞點旋轉，連接，點是的中點，連接，則線段的最大值為（

）．A． B． C． D．8．（2022上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，的兩條直角邊分別在軸，軸上，C，D分別是邊，的中點，連接，已知，將繞點C順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2023次旋轉結束時，點D的坐標為（

）

A． B． C． D．【題型5】三角形中位線中的最值問題；9．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點，分別是，邊上的動點，連結，，分別是，的中點，則的最小值為（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.810．（2023下·江西九江·八年級濂溪一中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，，點H、G分別是邊上的動點．連接，點E為的中點，點F為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為（

）

A． B． C． D．2【題型6】三角形中位線中的動點問題.11．（2023下·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，E為上一動點，M，N分別為的中點，則的長為（

）

A．4 B．3 C．2 D．不確定12．（2023下·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，D，E分別是，的中點，是邊上的一個動點，連接，，．若的面積為，則的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．6填空題【題型1】坐標系背景下的中位線；13．（2023下·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，直線與x軸、y軸分別交于，兩點，點C，D分別為線段，的中點，點為上一動點，當時，點的坐標為．

14．（2023下·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中已知點和點，是的中點，若有一動點在折線上運動，直線截所得的三角形為直角三角形，則點的坐標為．

【題型2】作圖題背景中的中位線；15．（2023上·江蘇南通·九年級海南中學校考階段練習）如圖，的對角線與相交于點，按以下步驟作圖：以點為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點，；以點為圓心，以長為半徑作弧，交于點；以點為圓心，以長為半徑作弧，在內部交前面的弧于點；過點作射線交于點，若，則線段的長為．

16．（2023上·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形的對角線，相交于點，按下列步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧的交點分別為點，；②過點，作直線，交于點；③連接．若，則菱形的周長為．【題型3】中位線性質與折疊問題；17．（2023上·山東青島·九年級期末）如圖，矩形中，，.F是上一點，將沿所在的直線折疊，點A恰好落在邊上的點E處，連接交于點G，取的中點H，連接，則.18．（2022上·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如圖，在中，，點D為的中點．將沿折疊得到，連接．若，則線段．【題型4】三角形中位線中的旋轉問題；19．（2023上·湖北黃石·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，將線段繞點進行旋轉，，取中點，，連接，已知點的坐標為，那么將線段繞點的旋轉過程中，的最小值為．

20．（2023下·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，點為的中點，將繞點旋轉得到，連接，為的中點，連接，若，，當時，的長為．

【題型5】三角形中位線中的最值問題；21．（2023上·福建福州·八年級福建省福州第十六中學校考階段練習）如圖，在中，，，點D，E分別是，邊上的動點，連結，F，M分別是，的中點，則的最小值為．22．（2023下·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖，矩形的邊，是上一點，，是上一動點，、分別是、的中點，則周長的最小值為．

【題型6】三角形中位線中的動點問題.23．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知矩形，，分別是和上的動點，，分別是，的中點．若，，則的長為．24．（2023上·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在邊長為2的正方形中，，分別是邊，上的動點（可與端點重合），，分別是，的中點，則的最大值為．解答題【題型1】坐標系背景下的中位線；25．（2019上·上海青浦·九年級?？计谥校┤鐖D，已知點和點都在一次函數上，是的平分線，過點作，垂足為點，過點作軸的垂線，垂足為．

（1）求這條直線的解析式；（2）求證：為的中點；（3）若一次函數圖像上有點，和點，，構成梯形，試求點的坐標．26．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標系中，點，點在x軸的負半軸上，．將繞點順時針旋轉，得，點旋轉后的對應點為．記旋轉角為．

（1）如圖①，當時，求與的交點的坐標；（2）如圖②，連接，當經過點A時，求的長；（3）設線段的中點為，連接，求線段的長的取值范圍（直接寫出結果即可）．【題型2】作圖題背景中的中位線；27．（2023上·廣西南寧·九年級?？计谥校┤鐖D，中，點D、E分別為、的中點．（1）過點C作，并交延長線于點F（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）求證：；（3）若，求的長．28．（2023上·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，是邊的中點，是邊上一點，且．

（1）用直尺和圓規(guī)在邊上作點，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下：①求的長；②線段與線段的數量關系是______，位置關系是______．【題型3】中位線性質與折疊問題；29．（2023上·廣東佛山·九年級?？茧A段練習）動手操作：在數學實踐課上，老師引導同學們對如圖的紙片進行以下操作，并探究其中的問題：將紙片沿過邊中點D的直線折疊，點C的對應點恰好落在邊的中點處，折痕交于點E，連接、．（1）探究一：判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）探究二：若，四邊形的對角線之和為14，求四邊形的面積．30．（2019上·廣東深圳·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，一張矩形紙片，其中，，先沿對角線折疊，點落在點的位置，交于點．（1）求證：；（2）求的長；（3）如圖2，再折疊一次，使點與重合，折痕交于，求的長．【題型4】三角形中位線中的旋轉問題；31．（2023上·福建南平·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，將繞頂點C逆時針旋轉得到，使點落在邊上，設M是的中點，連接，．（1）寫出旋轉角的度數．（2）求的面積．32．（2023上·福建莆田·九年級?？计谥校┤鐖D1，在等邊中，點D、E分別是上的點，與交于點O．（1）填空：度；（2）如圖2，將繞點A旋轉得，連接，求證：；（3）如圖3，若點G是的中點，連接，判斷與有什么數量關系？并說明理由．【題型5】三角形中位線中的最值問題；33．（2022下·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）在與中，，，．

（1）如圖1，若點D，B，C在同一直線上，連接，，則與的關系為________．（2）如果將圖1中的繞點B在平面內順時針旋轉到如圖2的位置，那么請你判斷與的關系，并說明理由（3）如圖3，若，，連接，分別取，，的中點M，P，N，連接，，，將繞點B在平面內順時針旋轉一周，請直接寫出旋轉過程中的面積最大值和最小值．34．（2023下·湖南婁底·八年級婁底市第三中學?？计谥校┤鐖D，菱形的邊長為2，，點是邊上任意一點（端點除外）,線段的垂直平分線交，分別于點，，，的中點分別為，．（1）求證：（2）求證：的最小值（3）當點在上運動時，的大小是否變化?為什么?【題型6】三角形中位線中的動點問題.35．（2024上·上海靜安·八年級上海田家炳中學校考期末）如圖，直角中，，，點D是邊的中點，點E是邊上的一個動點（不與A，B重合），交于點F，設，．（1）求證：；（2）寫出y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；（3）寫出x為何值時，？36．（2023上·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，在的同側以AB、AC為底邊向外作等腰、，其中，P為BC的中點，連接PD、PE．

圖1

圖2

圖3（1）如圖1，當時，直接寫出PD與PE的關系_____．（2）如圖2，當時，（1）的結論還成立嗎？請你做出判斷并說明理由；（3）如圖3，當，，連接DE，取其中點M，若動點A從的位置運動到時停止，則M點的運動路徑長為______．參考答案：1．B【分析】根據矩形的性質和點分別是各邊的中點可得，，，，根據兩點間的距離公式可得，從而可得四邊形為菱形，從而得到為的中點，由點為的中點，可得為的中位線，即可得到答案．解：四邊形是矩形，點的坐標為，點的坐標為，點分別是各邊的中點，，，，，，，，，，四邊形為菱形，為的中點，點為的中點，為的中位線，，故選：B．【點撥】本題主要考查了矩形的性質、菱形的判定與性質、三角形的中位線定理、兩點間的距離公式，熟練掌握矩形的性質、菱形的判定與性質、三角形的中位線定理、兩點間的距離公式，是解題的關鍵．2．D【分析】根據三角形的中位線的性質和點的坐標，解答即可．解：過N作NE⊥y軸，NF⊥x軸，∴NE∥x軸，NF∥y軸，∵點A（0，2），B（4，0），點N為線段AB的中點，∴NE=2，NF=1，∴點N的坐標為（2，1），故選：D【點撥】本題主要考查坐標與圖形的性質，掌握三角形的中位線的性質和點的坐標的定義，是解題的關鍵．3．C【分析】由根據題意得是的垂直平分線，即可得，，然后由，可證得，繼而證得四邊形是菱形，根據勾股定理逆定理可得，所以，可得是的中位線，再根據三角形中位線定理求出，進而求出菱形的周長．解：根據作圖過程可知：是的垂直平分線，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∵，，，∴，，，又∵，∴，即，∴，∴點是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴菱形的周長為．故選：C．【點撥】本題考查作圖—復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質，等邊等對角，平行線的判定和性質，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，勾股定理的逆定理，三角形中位線定理．4．C【分析】作圖步驟可得出直線為線段的垂直平分線，根據垂直平分線的性質判斷選項；線段為的中位線，根據中位線的性質判斷選項即可．解：由題意可知直線為線段的垂直平分線∴，，故選項A正確；∵為線段的中點，為線段的中點∴線段為的中位線∴，，故選項B正確；∴=，故選項D正確；∵∴，故選項C錯誤；故選：C．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質，三角形的中位線等知識．解題的關鍵在于熟練掌握垂直平分線的畫法與性質以及中位線的性質．5．D【分析】先根據折疊的性質可得，再根據垂直的定義、直角三角形的性質可得，又根據等腰三角形的性質可得，從而可得，同理可得出，然后根據三角形中位線定理可得，最后根據三角形的周長公式即可得．解：由折疊的性質得：AD是BC邊上的高，即，同理可得：又點E是AB的中點，點F是AC的中點是的中位線則的周長為故選：D．【點撥】本題考查了折疊的性質、等腰三角形的性質、三角形中位線定理、直角三角形的性質等知識點，利用折疊的性質和等腰三角形的性質得出是解題關鍵．6．A【分析】先判斷出是直角三角形，再利用三角形的外角判斷出①正確，進而判斷出，得出是的中位線判斷出②正確，利用等式的性質判斷出④正確．解：如圖，連接，∵點是中點，∴，由折疊知，，，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確，由折疊知，，∴，∵，∴是的中位線，∴，故②正確，∵，∴，由折疊知，，∴，∴，故④正確，無法判斷和的面積是否相等，∴③不正確，故選：A．【點撥】此題主要考查了折疊的性質，直角三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，作出輔助線是解本題的關鍵．7．D【分析】本題主要考查了、三角形中位線定理、正方形的性質、三角形三邊關系、勾股定理，延長至點，使，連接，，，由三角形中位線定理可得，由正方形的性質結合勾股定理可得，，由三角形三邊關系可得，從而可得的最大值為，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．解：如圖，延長至點，使，連接，，，，點是的中點，，是的中位線，，正方形、正方形的邊長分別為4和1，，，，的最大值為，的最大值為，故選：D．8．C【分析】根據已知條件求出點D的坐標，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．解：∵∴∵C，D分別是邊，的中點，∴，，∴點D的坐標為，點C的坐標為∴第1次旋轉結束時，點D在C點正下方，且，點D的坐標為，第2次旋轉結束時，點D在C點左邊，且，，點D的坐標為，第3次旋轉結束時，點D在C點正上方，且，點D的坐標為，則第4次旋轉結束時，點D的坐標為，???觀察可知，4次一個循環(huán)，∵，∴第2023次旋轉結束時，點D的坐標為，故選：C．【點撥】本題考查了坐標與圖形變化旋轉、規(guī)律型點的坐標，解決本題的關鍵是根據旋轉的性質發(fā)現規(guī)律，總結規(guī)律．9．D【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質．連接，作于點H．由三角形中位線的性質得，由垂線段最短可知當最小，即點E與點H重合時的值最小，然后利用勾股定理求出的長即可．解：連接，作于點H．

∵點，分別是，邊上的動點，∴是的中位線，∴，∴當最小，即點E與點H重合時的值最?。O，則，∵，∴，∴，∴的最小值為4.8．故選D．10．C【分析】如圖，取的中點M，連接，作于N．首先證明，求出，利用三角形中位線定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解決問題．解：如圖，取的中點M，連接，作于N．

∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵點M是的中點，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，∵，，∴，∵點E為的中點，點F為的中點，∴是的中位線，∴，

∵點G是上的動點，∴，∴，即∴EF的最大值為，最小值為，∴EF的最大值與最小值的差為．故選：C．【點撥】本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質、含30度角的直角三角形的性質、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，本題的突破點是證明．11．A【分析】由平行四邊形的對邊相等的性質求得；然后利用三角形中位線定理求得即可解答．解：如圖，在平行四邊形中，．，分別為的中點，是的中位線，．故選：A．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質和三角形中位線定理，利用平行四邊形的性質結合三角形中位線定理來求有關線段的長度是解答本題的關鍵．12．C【分析】連接，根據三角形的面積公式求出的面積，根據三角形中位線定理得到，得到的面積=的面積，同底等高的三角形面積相等，即可得到答案．解：連接，∵點E是的中點，的面積的為，∴的面積的面積，∵點D是的中點，∴的面積的面積，∵D，E分別是，的中點，∴，∴的面積的面積，故選：C．【點撥】本題考查的是三角形中位線定理、三角形的面積計算，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．13．/【分析】連接，過點作于點，由點，分別為線段，的中點，可得出是的中位線，進而可得出，利用“兩直線平行，內錯角相等”及，可得出，結合等腰三角形的三線合一，可得出點為線段的中點，利用一次函數圖象上點的坐標特征，可得出點，的坐標，結合點為線段的中點，可得出點的坐標，進而可得出點的坐標．解：連接，過點作于點，如圖所示．

點，分別為線段，的中點，是的中位線，，，，又，，點為線段的中點．當時，，點的坐標為，點的坐標為；當時，，解得：，點的坐標為，又點為線段的中點，點的坐標為，，點的坐標為，．故答案為：，．【點撥】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、三角形的中位線、平行線的性質以及等腰三角形的判定與性質，利用平行線的性質及等腰三角形的性質，確定點的位置是解題的關鍵．14．、、【分析】分類討論：當時，，易得P點坐標為；當時，，易得P點坐標為；當時，連接，可得為的垂直平分線，根據勾股定理得到的長，從而得到P點坐標．解：當時，，由點C是的中點，可得P為的中點，此時P點坐標為；當時，，由點C是的中點，可得P為的中點，此時P點坐標為；當時，如圖，連接，

由點C是的中點，可得為的垂直平分線，∴，由勾股定理可得，，∴，∴此時P點坐標為，綜上所述，滿足條件的P點坐標為、、．故答案為:、、．【點撥】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，一次函數圖象上點的坐標特征，掌握勾股定理是解題的關鍵．15．【分析】此題主要考查了尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質和中位線性質定理，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質及中位線的性質的應用．解：由作法得，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴為的中位線，∴，故答案為：．16．【分析】根據作圖可得是的中點，根據菱形的性質得出是的中點，根據三角形中位線的性質得出，根據菱形的性質即可得周長．解：根據作圖可知是的垂直平分線，∴是的中點，∵菱形的對角線，相交于點，∴，∴，∵，∴，∴菱形的周長為，故答案為：．【點撥】本題考查了作線段垂直平分線，菱形的性質，三角形中位線的性質，掌握基本作圖是解題的關鍵．17．【分析】本題考查圖形的折疊，熟練掌握翻折的性質，矩形的性質，三角形中位線的性質是解題的關鍵．由折疊可知，垂直平分，連接，可得是的中位線，求出即可求．解：由折疊可知，垂直平分，連接，是的中點，是的中點，，，，，，故答案為：．18．/【分析】連接，設與交于點O，由折疊的性質可知，再根據勾股定理可得的長度，最后利用三角形中位線得出答案．解：連接，設與交于點O，

由折疊性質可知，，且，又∵，，是的中點，，設，則，，，即，解得，即，又，（三角形中位線定理），．故答案為：．【點撥】本題考查了翻折變換的性質，利用直角三角形斜邊上中線的性質和勾股定理是解題關鍵．19．【分析】連接，取中點，連接，由三角形中位線定理可得，即，由三角形三邊關系可得，當三點共線時，上式取等號，由的坐標可得，再根據兩點間的距離公式可得，即可得到答案．解：連接，取中點，連接，

，為的中點，，即，，當三點共線時，上式取等號，，，，，的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了坐標與圖形、三角形中位線定理、勾股定理、三角形三邊關系等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．20．或【分析】當時，需分兩種情況進行討論：①當點F位于矩形內部時，如圖①，延長與交于點，證明點與點E重合，由為的中位線，由勾股定理求解，由旋轉性質得可得，從而可得答案；②當點F位于矩形外部時，如圖②，同理可得，，從而可得答案．解：當時，①當點F位于矩形內部時，如圖①，

延長與交于點，∵，∴，∵點G為的中點，∴，∴點為的中點，則點與點E重合，而為的中位線，∵，∴，∵，由勾股定理得由旋轉性質得，∴∴；②當點F位于矩形外部時，如圖②，

同理可得，，∴．故答案為：或．【點撥】本題考查的是矩形的性質，勾股定理的應用，三角形的中位線的性質，旋轉的性質，清晰的分類討論是解本題的關鍵．21．【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，三線合一定理，勾股定理，過點B作于G，連接，由三線合一定理和勾股定理求出，進而求出，證明是的中位線，得到，則當時，最小，即此時最小，利用面積法求出，則．解：如圖所示，過點B作于G，連接，∵在中，，，∴，∴，∴，∵F，M分別是，的中點，∴是的中位線，∴，∴當時，最小，即此時最小，∵當時，，∴，∴，∴最小值為，故答案為：．22．8【分析】延長到，使，連接，則，，當、、在同一直線上時，最小，即周長的最小,最小值為．根據、分別是、的中點，得到從而周長的最小,最小值為．解：∵，，∴延長到，使，連接，

則，，當、、在同一直線上時，最小，即周長的最小,最小值為．在中，即最小為，∵、分別是、的中點，∴∴周長的最小,最小值為,故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱最小值問題，熟練運用軸對稱的性質和中位線定理是解題的關鍵．23．6.5【解析】略24．【分析】本題考查正方形的性質，三角形中位線的性質，勾股定理，確定何時有最大值是解題關鍵．連接，則是的中位線，，當最大時，有最大值求出即可．解：連接，如圖：，分別是，的中點，是的中位線，，當最大時，有最大值，，分別是邊，上的動點，當與重合時，最大為的長，正方形邊長為2，，的最大值為，故答案為：．25．（1）；（2）見分析；（3）或【分析】（1）直接用待定系數法求解即可；（2）延長交軸于點，根據等腰三角形的判定可得到，再根據平行線的性質得到，即可得出結論；（3）由（2）可知，，從而得到，，分兩種情況當時和時兩種情況進行求解即可．（1）解：把點和點代入得：，解得：，這條直線的解析式為；（2）如圖，延長交軸于點，

是的平分線，，，，，，，，為的中點；（3）如圖：

由（2）可知，，，為的中點，，，，，當時，在中，令得，；當時，由，得直線的解析式為，設直線的解析式為，把代入，得，，解得：，直線的解析式為，解，得，，綜上所述，的坐標為或．【點撥】本題考查一次函數的綜合應用，涉及待定系數法，三角形中位線，梯形等知識，解題的關鍵是分類討論思想的應用．26．（1）；（2）；（3）【分析】（1）過點作軸，利用，可得，利用和可得點D是OB的中點，從而得知點D的橫坐標，利用和是等邊三角形可得，即點D的縱坐標，從而得解；（2）過點作軸，垂足為，推導，從而得出，再計算，用勾股定理得，從而得解；（3）取線段的中點N，連接、，則，用中位線定理求，用勾股定理求，最后利用求范圍．（1）解：如圖，過點作軸，垂足為．

∵點，∴．∵，∴．在中，．∵，∴．∴．∴，∴是等邊三角形，∵，軸∴．∴．∴點的坐標為．（2）如圖，過點作軸，垂足為．

由旋轉得，．∴．∴．∴．∴．∴．在中，．（3）解：取線段的中點N，連接、，則

∵點M是線段的中點，點N是線段的中點，∴由旋轉的性質得：，∴∴即【點撥】本題考查旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質，中位線定理，勾股定理等知識，掌握旋轉的性質和正確作出輔助線是解題的關鍵．27．（1）見分析；（2）見分析；（3）【分析】（1）利用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法作，根據平行線的判定可得；（2）求出，，利用可直接證明；（3）根據是的中位線求出，再利用全等三角形的性質得出答案．（1）解：如圖所示：點F，即為所求；（2）證明：由作圖知，，∵點E為的中點，∴，又∵，∴；（3）∵點D、E分別為、的中點，∴是的中位線，∴，∵，∴．【點撥】本題考查了尺規(guī)作圖，平行線的判定，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，靈活運用相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．28．（1）見分析；（2）①；②，【分析】此題考查作角平分線，三角形全等的判定和性質，勾股定理，等角對等邊證明邊相等，三角形中位線的性質定理，熟練掌握各知識點并綜合應用是解題的關鍵．（1）作的平分線，可得；（2）①由得到，，利用推出，進而得到，證得，即可求出；②勾股定理求出，根據中點得到是的中位線，由此得到．解：（1）如圖，連接，

∵∴；（2）①∵，∴，，∵，是邊的中點，．∴∴∵∴∴∴；②∵，，，∴∵∴是的中位線，∴，故答案為：，．29．（1）四邊形是菱形，理由見分析；（2）四邊形的面積為24．【分析】（1）連接，由三角形中位線定理得到，推出，證明，得到，即可證明結論成立；（2）設，，由三角形中位線定理求得菱形的邊長為5，利用菱形的性質得到，利用勾股定理得到，據此求解即可．（1）解：四邊形是菱形，證明：連接，由折疊的性質得，，，即，∵點D是邊中點，點是邊的中點，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：由（1）知四邊形是菱形，∴設，，即，，四邊形的面積為，由（1）知是的中位線，∴，由勾股定理得，∵四邊形的對角線之和為14，∴，∴，即，∴，即四邊形的面積為24．【點撥】本題考查了折疊的性質，三角形中位線定理，菱形的判定和性質，完全平方公式，全等三角形的判定和性質，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．30．（1）證明見分析；（2）；（3）【分析】（1）由折疊性質知，，再證明，根據全等三角形的性質可得結論；（2）設，由全等性質知，再在中，利用勾股定理得，解之可得答案；（3）利用勾股定理求出，再證是的中位線得，，證明，設，則，由勾股定理得，即，解之可得答案．解：（1）證明：∵矩形紙片沿對角線折疊，點落在點的位置，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，設，則，∴，∵在中，，∴，解得：，∴，∴的長為；（3）再折疊一次，使點與重合，得折痕，且，，∴，即點是的中點，∴在中，，∵，，∴，∴點是的中點，∴是的中位線，∴，，由折疊的性質可知，在矩形中，，∴，∴，∴，∴，設，則，在中，，∴，解得：，∴，∴的長為．【點撥】本題是四邊形的綜合問題，解題的關鍵是掌握矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，等角對等邊知識點．31．（1）旋轉角的度數是；（2）【分析】本題考查了旋轉的性質，三角形中位線定理，（1）根據三角形的全等，旋轉的性質，推理判斷即可．（2）根據三角形中位線定理，直角三角形的性質計算即可．解：（1）∵繞頂點C逆時針旋轉得到，∴，∴，故旋轉角為．（2）如圖，作的中點H,連接，∵繞頂點C逆時針旋轉得到，使點落在邊上∴，，∴點、C、B共線，∵M是的中點，點H是的中點，∴，∴，∴．32．（1）120；（2）見分析；（3），見分析【分析】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質“三邊相等，三個角都是”，全等三角形的判定和性質，全等三角形常見判定方法“”添加恰當的輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．（1）由“”可證，可得，由外角的性質可求解；（2）由“”可證，可得；（3）由三角形中位線定理可得，由“”可證，可得．（1）解：是等邊三角形，在和中，，，，；故答案為：120；（2）證明：將繞點A旋轉得，連接，是等邊三角形，，，；（3）解：，理由如下：如圖，延長至H，使，連接，∵點G是的中點，，又，，∵是等邊三角形，，，，，，又，，，．33．（1），；（2），；理由見分析；（3）最小值為2，最大值為8．【分析】（1）延長交于，證明，得出，，根據，得出，即可得出結論；（2）延長交于點，交于點，通過證明，得出，，根據，，得出，即可得出結論；（3）連接，由（1）（2）同理可得，，，根據三角形的中位線定理可得，，進而得出，，則，當點E在上時，取最小值，此時也取最小值，則最??；當點E在延長線上時，取最大值，此時也取最大值，則最大．（1）解：延長交于，

在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：，；（2）解：，；理由：延長交于點，交于點，

∵，∴，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，；（3）解：連接，

由（1）（2）同理可得，，∵點M，P，N為，，的中點，∴，，∴∵，，∴，∴，∵繞點B在平面內