高考數(shù)學一輪復習專練73二項分布與超幾何分布

七十三二項分布與超幾何分布(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,3件正品,檢驗員從中隨機抽取2件進行檢測,記取到的正品數(shù)為ξ,則均值E(ξ)= ()A.45 B.910 C.1 D【解析】選D.ξ的所有可能取值為0,1,2,則P(ξ=0)=C22C52=110,P(P(ξ=2)=C32C52=310,則E(ξ)=0×1102.(5分)(2023·昆明模擬)袋中裝有2個紅球,3個黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,則3次中恰有2次抽到黃球的概率是 ()A.25 B.35 C.18125 【解析】選D.每次抽到黃球的概率為35,所以3次中恰有2次抽到黃球的概率P=C32(35)2(3.(5分)(2023·佛山模擬)已知隨機變量X~B(n,p),且E(X)=4,D(X)=2,則P(X=1)=()A.123 B.124 C.【解析】選C.隨機變量X~B(n,p),且E(X)=4,D(X)=2,則np=4,np(1-p)=2,解得n故P(X=1)=C81(12)1(114.(5分)(2023·泉州模擬)甲、乙兩位選手進行乒乓球比賽,5局3勝制,每局甲贏的概率是23,乙贏的概率是13,則甲以3∶1獲勝的概率是 (A.827 B.427 C.49 【解析】選A.由題意知,甲以3∶1獲勝是指前3局比賽中甲2勝1負,第4局比賽甲勝,所以甲以3∶1獲勝的概率是P=C32×(23)2×13×5.(5分)從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回地摸取5次,設摸得的白球數(shù)為X,已知E(X)=3,則D(X)= ()A.85 B.65 C.43 【解析】選B.由題意,知X~B(5,3m+3),所以E(X)=5×3m+3=3,解得m=2,所以X~B(5,35),所以D(X)=5×35×(6.(5分)(多選題)(2023·張家口模擬)袋子中有2個黑球,1個白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分數(shù)為X,則()A.X~B(4,23) B.P(X=2)=C.E(X)=83 D.D(X)=【解析】選ACD.從袋子中有放回地隨機取球4次,則每次取球互不影響,并且每次取到黑球的概率相等,又取到黑球記1分,取4次球的總分數(shù),即為取到黑球的個數(shù),所以隨機變量X服從二項分布,即X~B(4,23),故A正確;P(X=2)=C42(23)2(13)2=827,故B錯誤;因為X~B(4,23),所以E(X)=4×23=83,故C正確;D(X7.(5分)在某“猜羊”游戲中,一只羊隨機躲在兩扇門后,選手選擇其中一扇門并打開,如果這只羊就在該門后,則為猜對;否則,為猜錯.已知一位選手有4次“猜羊”機會,若至少猜對2次才能獲獎,則該選手獲獎的概率為________.

【解析】由題意可知一位選手獲得了4次“猜羊”機會,則猜對的次數(shù)X~B(4,12),因為至少猜對2次才能獲獎,所以該選手獲獎的概率為P=1P(X=0)P(X=1)=1C40(12)4C41×12×(答案:118.(5分)一袋中有除顏色不同,其他都相同的2個白球,2個黃球,1個紅球,從中任意取出3個球,有黃球的概率是________,若ξ表示取到黃球的個數(shù),則E(ξ)=________.

【解析】一袋中有除顏色不同,其他都相同的2個白球,2個黃球,1個紅球,從中任意取出3個球,樣本點總數(shù)n=C5其中有黃球包含的樣本點個數(shù)m=C22C31+C21ξ表示取到黃球的個數(shù),則ξ的所有可能取值為0,1,2,P(ξ=0)=C33C53=110,P(ξ=1)=C21C32C53=610,P(ξ=2)=C2答案:9109.(10分)為普及空間站相關(guān)知識,某部門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動,它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是:編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程,全部結(jié)束后提交評委測試,若其中2個及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個程序中,甲只能正確完成其中6個,乙正確完成每個程序的概率均為35,每位選手每次編程都互不影響(1)求乙闖關(guān)成功的概率;(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和均值,并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.【解析】(1)乙正確完成2個程序或者3個程序即為闖關(guān)成功,記乙闖關(guān)成功為事件A,則P(A)=C32(35)2×25+((2)由題意知,隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=C43C103=130,P(X=1)=C61C42C103=310,P故X的分布列為X0123P1311所以E(X)=0×130+1×310+2×12+3×1所以甲闖關(guān)成功的概率為12+16=23,因為81125<【能力提升練】10.(5分)將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落的過程中,將3次遇到障礙物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障礙物時,向左、右兩邊下落的概率都是12,則小球落入A袋中的概率為(A.14 B.12 C.34 【解析】選C.由于小球每次遇到障礙物時,有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時,小球?qū)⒙淙階袋,所以P(A)=C31(12)1(112)2+C32(111.(5分)(2023·寧波模擬)一個袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中有1個紅球、2個黑球,現(xiàn)隨機等可能地取出小球.當有放回地依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為ξ1;當無放回地依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為ξ2,則 ()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【解析】選B.依題意知,ξ1的所有可能取值為0,1,2,ξ1~B(2,13),所以E(ξ1)=2×13=23,D(ξ1)=2×13×ξ2的所有可能取值為0,1,P(ξ2=0)=23×12=13,P(ξ2=1)=23×12+13×22=23,所以E(ξ2)=0×13+1×23=23,D(ξ2)=(023)2×13+(123)2×23=29.所以E(ξ1)=12.(5分)(2023·天津模擬)欲從4名男志愿者,3名女志愿者中隨機抽取3人成為志愿者小組去完成某項服務,則在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下,“抽取的3人全是男志愿者”的概率是________;若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù),則E(X)=________.

【解析】記全是男志愿者為事件A,至少有一名男志愿者為事件B,則P(AB)=P(A)=C43C73=435,P(B)=1C33C73=3435,故P(A|B)=P(AB)P(B)=由題意可知,X服從超幾何分布,E(X)=3×37=9答案:21713.(10分)羽毛球比賽的計分規(guī)則:采用21分制,即雙方分數(shù)先達21分者勝,3局2勝.每回合中,取勝的一方加1分.每局中一方先得21分且領(lǐng)先至少2分即算該局獲勝,否則繼續(xù)比賽;若雙方打成29平后,一方領(lǐng)先1分,即算該局取勝.某次羽毛球比賽中,甲選手在每回合中得分的概率為34,乙選手在每回合中得分的概率為1(1)在一局比賽中,若甲、乙兩名選手的得分均為18分,求再經(jīng)過4回合比賽甲獲勝的概率;(2)在一局比賽中,記前4回合比賽甲選手得分為X,求X的分布列及數(shù)學期望E(X).【解析】(1)記“再經(jīng)過4回合比賽甲獲勝”為事件A,可知甲在第4回合勝,前3回合勝2回合,所以P(A)=34×C32×(34)2×(2)易知X的可能取值為0,1,2,3,4,且X~B(4,34)P(X=0)=C40×(14)4P(X=1)=C41×34×(14)P(X=2)=C42×(34)2×(14)P(X=3)=C43×(34)3×1P(X=4)=C44×(34)4所以X的分布列為X01234P13272781數(shù)學期望E(X)=4×34=314.(10分)某學校舉行“百科知識”競賽,分兩輪進行,第一輪需要從給定的5道題中選3道進行回答,答對一道得3分,答錯一道扣1分,第二輪需要回答3道問題,答對一道得5分,答錯不得分.選手甲在第一輪的5道題中只能答對其中2道,第二輪的3道題中答對任意一道的概率均為25.假設選手甲兩輪比賽的答題結(jié)果是相互獨立的(1)求選手甲兩輪比賽的得分相等的概率;(2)記選手甲兩輪比賽的得分分別為X和Y,試比較X,Y的數(shù)學期望的大小.【解析】(1)選手甲第一輪比賽所選的3道題答對的道數(shù)可能為0,1,2,得分分別為3,1,5.選手甲第二輪比賽需要回答的3道題中答對的道數(shù)可能為0,1,2,3,得分分別為0,5,10,15.選手甲兩輪比賽的得分相等即甲在第一輪比賽答對2道且在第二輪比賽答對1道,其概率為C22C31C53×C31(2)選手甲第一輪比賽的得分X的可能取值為3,1,5,P(X=3)=C33C53=110,P(X=1)=C21C32所以E(X)=(3)×110+1×35+5×310由題意知選手甲第二輪比賽答對題的數(shù)量Z服從二項分布B(3,25),則E(Y)=E(5Z)=5E(Z)=5×3×25=6,因此E(Y)>E(X【素養(yǎng)創(chuàng)新練】15.(5分)(多選題)某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位數(shù)中ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為13,出現(xiàn)1的概率為23,記X=a2+a3+a4+a5,則當程序運行一次時 (A.X服從二項分布 B.P(X=1)=8C.X的均值E(X)=83D.X的方差D(X)=8【解析】選ABC.由二進制數(shù)A的特點知每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0,1,且每個數(shù)位上的數(shù)字再填時互不影響,故5位數(shù)中后4位的所有結(jié)果有5類:①后4個數(shù)都出現(xiàn)0,X=0,記其概率為P(X=0)