2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章函數(shù)3.1.2第2課時(shí)函數(shù)的平均變化率課后素養(yǎng)落實(shí)含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(二十二)函數(shù)的平均改變率(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．已知A(1,2)，B(－3，－4)，C(2，m)，若A，B，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則m＝()A．eq\f(5,2) B．3C．eq\f(7,2) D．4C[∵A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴kAB＝kAC，∴eq\f(－4－2,－3－1)＝eq\f(m－2,2－1)，解得m＝eq\f(7,2).故選C．]2．函數(shù)y＝1在[2,2＋Δx]上的平均改變率是()A．0 B．1C．3 D．ΔxA[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－1,Δx)＝0.故選A．]3．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s＝2t2＋5，則在時(shí)間(3,3＋Δt)中，相應(yīng)的平均速度等于()A．6＋Δt B．12＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．12＋2Δt D．12C[eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([23＋Δt2＋5]－2×32＋5,Δt)＝12＋2Δt.故選C．]4．假如函數(shù)y＝ax＋b在區(qū)間[1,2]上的平均改變率為3，則a＝()A．－3 B．2C．3 D．－2C[依據(jù)平均改變率的定義，可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3，故選C．]5．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)從1到a的平均改變率為eq\f(1,4)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．10 B．9C．8 D．7B[f(x)＝eq\r(x)從1到a的平均改變率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(a)－1,a－1)＝eq\f(1,1＋\r(a))＝eq\f(1,4)，解得a＝9，故選B．]二、填空題6．函數(shù)y＝－x2＋x在x＝－1旁邊的平均改變率為_(kāi)_______．3－Δx[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－－1＋Δx2＋－1＋Δx＋－12－－1,Δx)＝3－Δx.]7．如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖像．(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均改變率為_(kāi)_______；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均改變率為_(kāi)_______．(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(3,4)[(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均改變率為eq\f(f1－f－1,1－－1)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).(2)由函數(shù)f(x)的圖像知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1<x≤3，))所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均改變率為eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).]8．函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均改變率為_(kāi)_______，當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)平均改變率的值為_(kāi)_______．6x0＋3Δx12.3[函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均改變率為eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f([3x0＋Δx2＋2]－3x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)，函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[2，2.1]上的平均改變率為6×2＋3×0.1＝12.3.]三、解答題9．推斷函數(shù)g(x)＝eq\f(k,x)(k＜0，k為常數(shù))在(－∞，0)上的單調(diào)性．[解]設(shè)x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，則g(x1)－g(x2)＝eq\f(k,x1)－eq\f(k,x2)＝eq\f(kx2－x1,x1x2)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(gx1－gx2,x1－x2)＝－eq\f(k,x1x2).∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(k,x1x2)＞0，∴g(x)＝eq\f(k,x)(k＜0)在(－∞，0)上為增函數(shù)．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3,5]．(1)推斷函數(shù)在區(qū)間[3,5]上的單調(diào)性，并給出證明；(2)求該函數(shù)的最大值和最小值．[解](1)函數(shù)f(x)在[3,5]上是增函數(shù)．證明：設(shè)隨意x1，x2滿(mǎn)意3≤x1＜x2≤5，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1－1,x1＋1)－eq\f(2x2－1,x2＋1)＝eq\f(2x1－1x2＋1－2x2－1x1＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＝eq\f(3,x1＋1x2＋1).因?yàn)?≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3,x1＋1x2＋1)＞0，所以f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)在[3,5]上是增函數(shù)．(2)f(x)min＝f(3)＝eq\f(2×3－1,3＋1)＝eq\f(5,4)，f(x)max＝f(5)＝eq\f(2×5－1,5＋1)＝eq\f(3,2).1．若函數(shù)f(x)＝－x2＋10的圖像上一點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(31,4)))及鄰近一點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx，\f(31,4)＋Δy))，則eq\f(Δy,Δx)＝()A．3 B．－3C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3D[∵Δy＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－3Δx－(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－3Δx－Δx2,Δx)＝－3－Δx，故選D．]2.(多選題)下列各選項(xiàng)正確的有()A．若x1，x2∈I，當(dāng)x1＜x2時(shí)，f(x1)＜f(x2)，則y＝f(x)在I上是增函數(shù)B．函數(shù)y＝x2在R上是增函數(shù)C．函數(shù)y＝－eq\f(1,x)在定義域上不是增函數(shù)D．函數(shù)y＝x2的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]CD[A中，沒(méi)強(qiáng)調(diào)x1，x2是區(qū)間I上的隨意兩個(gè)數(shù)，故不正確；B中，y＝x2在x≥0時(shí)是增函數(shù)，在x<0時(shí)是減函數(shù)，從而y＝x2在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性，故不正確；C中，y＝－eq\f(1,x)在整個(gè)定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故正確；D正確．]3．已知曲線(xiàn)y＝eq\f(1,x)－1上兩點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋Δx，－\f(1,2)＋Δy))，當(dāng)Δx＝1時(shí)，割線(xiàn)AB的斜率為_(kāi)_______．－eq\f(1,6)[∵Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,2＋Δx)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－2＋Δx,22＋Δx)＝eq\f(－Δx,22＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－Δx,22＋Δx),Δx)＝eq\f(－1,22＋Δx)，即k＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx).∴當(dāng)Δx＝1時(shí)，k＝－eq\f(1,2×2＋1)＝－eq\f(1,6).]4．若函數(shù)f(x)＝x2由x＝1至x＝1＋Δx的平均改變率的取值范圍是(2,2.025)，則Δx的取值范圍為_(kāi)_______．(0,0.025)[∵x由x＝1至x＝1＋Δx時(shí)，Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(Δx＋1)2－12＝(Δx)2＋2Δx，∴f(x)由x＝1至x＝1＋Δx的平均改變率為eq\f(Δy,Δx)＝Δx＋2.∵Δx＋2∈(2,2.025)，∴Δx∈(0,0.025)．]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對(duì)隨意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(1,2x)＋2.設(shè)1≤x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x1x2)))，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(2x1x2－1,2x1x2).∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x1x2－1,2x1x2)＞0，∴f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[1，＋∞